Calcul littéral : développer, factoriser, réduire

Rappels de 5ᵉ (traduire une phrase, écrire et calculer une expression, somme ou produit), distributivité simple k(a + b) = ka + kb et k(a − b) = ka − kb avec des nombres relatifs, supprimer des parenthèses précédées d’un signe −, réduire une expression (termes en x², en x et nombres), factoriser par un facteur commun (nombre, lettre ou les deux), identité, contre-exemple et démonstration par le calcul littéral.

À propos de cette page

Des exercices corrigés de 4e classés par cas et par difficulté : somme, différence ou produit, valeurs d’expressions pour des nombres négatifs, développer avec un facteur négatif comme −3(x − 5), supprimer des parenthèses, réduire avec des x², factoriser au maximum, tester une égalité et compléter une identité.

15 exercices, classés par cas comme le cours. Écris ta réponse, puis « Vérifier ».

Cas 1Rappels de 5ᵉ : écrire et calculer une expression

Réflexe — je remets les × cachés, je remplace la lettre (entre parenthèses si elle est négative) et je respecte les priorités. Revoir la méthode →

Exercice 1★★★Facile

Complète.

$7 (y - 2)$ est (écris « une somme », « une différence » ou « un produit »)
On calcule d’abord $y - 2$ , puis on multiplie par $7$ : c’est un produit, de facteurs $7$ et $(y - 2)$ .
$7 y - 2$ est (écris « une somme », « une différence » ou « un produit »)
On calcule d’abord $7 y = 7 \times y$ , puis on soustrait $2$ : c’est une différence, de termes $7 y$ et $2$ .
$3 + 2 x^{2}$ est (écris « une somme », « une différence » ou « un produit »)
On calcule d’abord $x^{2}$ , puis $2 x^{2}$ , et on termine par l’addition : c’est une somme.
$x \times 8 \times x$ s’écrit, sans signe × :
$8$ s’écrit devant, et $x \times x = x^{2}$ : $8 x^{2}$ .
« Le triple de la différence de $y$ et $5$ » s’écrit :
On calcule d’abord la différence $y - 5$ , puis on la triple : $3 (y - 5)$ . Ne pas confondre avec $3 y - 5$ , la différence du triple de $y$ et de $5$ .
Le successeur du carré de l’entier $n$ s’écrit :
Le carré de $n$ est $n^{2}$ ; son successeur est l’entier qui le suit : $n^{2} + 1$ . À ne pas confondre avec $(n + 1)^{2}$ , le carré du successeur.

Exercice 2★★★Moyen

Calcule la valeur de l’expression.

$4 (x - 3) + 2$ pour $x = - 2$ :
$4 \times (- 2 - 3) + 2 = 4 \times (- 5) + 2 = - 20 + 2 = - 18$ .
$6 - 5 x$ pour $x = - 3$ :
$5 x$ vaut $5 \times (- 3) = - 15$ , donc $6 - 5 x$ vaut $6 - (- 15) = 6 + 15 = 21$ .
$x^{2} + 2 x$ pour $x = - 5$ :
$(- 5)^{2} = 25$ et $2 \times (- 5) = - 10$ : $25 - 10 = 15$ .
$3 a - 2 b$ pour $a = - 1$ et $b = 4$ :
$3 \times (- 1) - 2 \times 4 = - 3 - 8 = - 11$ .

Exercice 3★★★Difficile

Calcule de tête avec la distributivité.

$17 \times 99 =$
$17 \times (100 - 1) = 1 700 - 17 = 1 683$ .
$8 \times 105 =$
$8 \times (100 + 5) = 800 + 40 = 840$ .
$46 \times 7 + 46 \times 3 =$
Facteur commun $46$ : $46 \times (7 + 3) = 46 \times 10 = 460$ .
$15 \times 13 - 15 \times 3 =$
Facteur commun $15$ : $15 \times (13 - 3) = 15 \times 10 = 150$ .

Cas 2Développer avec la distributivité simple

Réflexe — le facteur multiplie chaque terme de la parenthèse, avec son signe ; un signe − devant une parenthèse change chaque signe. Revoir la méthode →

Exercice 4★★★Facile

Développe (écris le résultat sans espace, par exemple 2x+5).

$7 (x + 4) =$
$7 \times x + 7 \times 4 = 7 x + 28$ .
$5 (2 x - 1) =$
$5 \times 2 x - 5 \times 1 = 10 x - 5$ .
$8 (3 - x) =$
$8 \times 3 - 8 \times x = 24 - 8 x$ .
$- 4 (x + 6) =$
Le facteur $- 4$ multiplie les deux termes : $(- 4) \times x + (- 4) \times 6 = - 4 x - 24$ .

Exercice 5★★★Moyen

Développe : le facteur est négatif ou contient la lettre (écris x² ou x^2).

$- 3 (x - 5) =$
$(- 3) \times x + (- 3) \times (- 5) = - 3 x + 15$ : moins par moins donne plus.
$- 7 (2 - 3 y) =$
$(- 7) \times 2 + (- 7) \times (- 3 y) = - 14 + 21 y$ .
$x (x - 8) =$
$x \times x - x \times 8 = x^{2} - 8 x$ .
$4 x (3 x + 2) =$
$4 x \times 3 x + 4 x \times 2 = 12 x^{2} + 8 x$ : on multiplie les nombres ( $4 \times 3$ ) et les lettres ( $x \times x$ ).
$- 2 x (x - 6) =$
$(- 2 x) \times x + (- 2 x) \times (- 6) = - 2 x^{2} + 12 x$ .

Exercice 6★★★Difficile

Supprime les parenthèses, puis regroupe les nombres seuls s’il y en a plusieurs.

$- (x + 11) =$
Un signe − devant la parenthèse change le signe de chaque terme : $- x - 11$ .
$- (7 - 4 x) =$
Les deux signes changent : $- 7 + 4 x$ .
$12 - (5 + 2 x) =$
$12 - 5 - 2 x = 7 - 2 x$ : le $2 x$ aussi change de signe.
$9 - (3 x - 8) =$
$9 - 3 x + 8 = 17 - 3 x$ : $- (- 8)$ donne $+ 8$ .

Cas 3Réduire une expression

Réflexe — je regroupe les termes semblables (en x², en x, nombres) en ajoutant leurs coefficients ; s’il y a des parenthèses, je développe d’abord. Revoir la méthode →

Exercice 7★★★Facile

Réduis en regroupant les termes semblables (écris x² ou x^2).

$9 x - 4 x =$
$9 - 4 = 5$ : cinq $x$ .
$6 x + 2 + 3 x + 9 =$
$6 x + 3 x = 9 x$ et $2 + 9 = 11$ .
$5 x^{2} + 3 x^{2} =$
Termes semblables en $x^{2}$ : $5 + 3 = 8$ , donc $8 x^{2}$ (et non $8 x^{4}$ ).
$4 x - 7 - x + 2 =$
$4 x - x = 3 x$ et $- 7 + 2 = - 5$ .

Exercice 8★★★Moyen

Réduis : attention aux signes et aux termes en x².

$- 6 x + 4 - 3 x - 10 =$
Les $x$ : $- 6 x - 3 x = - 9 x$ ; les nombres : $4 - 10 = - 6$ .
$2 x^{2} - 5 x + 3 x^{2} + x =$
Termes en $x^{2}$ : $2 x^{2} + 3 x^{2} = 5 x^{2}$ ; termes en $x$ : $- 5 x + x = - 4 x$ .
$x^{2} - 4 x + 7 - 3 x^{2} + 4 x =$
$x^{2} - 3 x^{2} = - 2 x^{2}$ ; $- 4 x + 4 x = 0$ ; il reste le nombre $7$ .
$8 - 2 x - 8 + 5 x =$
$- 2 x + 5 x = 3 x$ et $8 - 8 = 0$ .

Exercice 9★★★Difficile

Développe puis réduis.

$6 (x + 2) + 5 x =$
$6 x + 12 + 5 x = 11 x + 12$ .
$2 (3 x - 1) + 5 (x + 4) =$
$6 x - 2 + 5 x + 20 = 11 x + 18$ .
$7 - 3 (x + 2) =$
$7 - 3 x - 6 = 1 - 3 x$ : le facteur $- 3$ multiplie $x$ et $2$ .
$6 (x - 1) - 4 (x - 3) =$
$6 x - 6 - 4 x + 12 = 2 x + 6$ : le $- 4$ change les deux signes.
$x (x - 2) - (x^{2} + 5 x) =$
$x^{2} - 2 x - x^{2} - 5 x = - 7 x$ : les termes en $x^{2}$ s’annulent.

Cas 4Factoriser par un facteur commun

Réflexe — je cherche le plus grand nombre commun, puis la lettre commune ; je mets dans la parenthèse ce qui reste de chaque terme. Revoir la méthode →

Exercice 10★★★Facile

Complète la factorisation.

$5 x + 35 = 5 (x +$ $)$
$35 = 5 \times 7$ : $5 x + 35 = 5 \times x + 5 \times 7 = 5 (x + 7)$ .
$14 y - 21 =$ $(2 y - 3)$
$14 y = 7 \times 2 y$ et $21 = 7 \times 3$ : le facteur commun est $7$ .
$x^{2} - 9 x = x (x -$ $)$
$x^{2} = x \times x$ et $9 x = x \times 9$ : $x^{2} - 9 x = x (x - 9)$ .
$11 a + 11 = 11 (a +$ $)$
$11 = 11 \times 1$ : il reste $1$ , pas $0$ .

Exercice 11★★★Moyen

Factorise avec le plus grand facteur commun (par exemple 3(x+2)).

$8 x + 32 =$
$8 \times x + 8 \times 4 = 8 (x + 4)$ .
$9 x - 12 =$
Facteur commun $3$ : $3 \times 3 x - 3 \times 4 = 3 (3 x - 4)$ .
$4 x^{2} + 7 x =$
$x \times 4 x + x \times 7 = x (4 x + 7)$ .
$10 x^{2} - 15 x =$
Facteur commun $5 x$ : $5 x \times 2 x - 5 x \times 3 = 5 x (2 x - 3)$ .

Exercice 12★★★Difficile

Factorise au maximum.

$24 x + 36 =$
Le plus grand nombre qui divise $24$ et $36$ est $12$ : $12 \times 2 x + 12 \times 3 = 12 (2 x + 3)$ . $6 (4 x + 6)$ est juste mais pas au maximum.
$8 x^{2} - 12 x =$
Facteur commun $4 x$ : $4 x \times 2 x - 4 x \times 3 = 4 x (2 x - 3)$ .
$18 - 27 y =$
Facteur commun $9$ : $9 \times 2 - 9 \times 3 y = 9 (2 - 3 y)$ .
$3 a b + 6 a =$
Facteur commun $3 a$ : $3 a \times b + 3 a \times 2 = 3 a (b + 2)$ .

Cas 5Égalité, identité et démonstration

Réflexe — pour tester, je calcule chaque membre séparément ; pour démontrer, je transforme un membre jusqu’à obtenir l’autre. Revoir la méthode →

Exercice 13★★★Facile

Teste l’égalité pour la valeur donnée.

$5 x - 3 = 2 x + 9$ pour $x = 4$ : à gauche ; à droite
À gauche : $5 \times 4 - 3 = 17$ ; à droite : $2 \times 4 + 9 = 17$ . L’égalité est vraie pour $x = 4$ .
$x^{2} + 3 = 4 x$ pour $x = 2$ : à gauche ; à droite
À gauche : $2^{2} + 3 = 7$ ; à droite : $4 \times 2 = 8$ . $7 \neq 8$ : l’égalité est fausse pour $x = 2$ .
On teste l’égalité $4 (x + 3) = 4 x + 3$ pour $x = 2$ . De combien le membre de gauche dépasse-t-il le membre de droite ?
À gauche : $4 \times (2 + 3) = 20$ ; à droite : $4 \times 2 + 3 = 11$ ; écart : $20 - 11 = 9$ . $x = 2$ est un contre-exemple : l’égalité est fausse (on doit écrire $4 x + 12$ ).

Exercice 14★★★Moyen

Complète pour obtenir une identité, ou calcule les deux membres.

$5 (x - 4) + 2 x = 7 x -$
$5 x - 20 + 2 x = 7 x - 20$ : l’identité est $5 (x - 4) + 2 x = 7 x - 20$ .
$- (2 x - 9) + 6 x = 4 x +$
$- 2 x + 9 + 6 x = 4 x + 9$ .
Pour l’égalité $x^{2} = 2 x$ et $x = 3$ : $x^{2}$ vaut et $2 x$ vaut
$3^{2} = 9$ et $2 \times 3 = 6$ : $x = 3$ est un contre-exemple, $x^{2} = 2 x$ n’est pas une identité (elle est vraie pour $x = 2$ , mais pas pour tout $x$ ).

Exercice 15★★★Difficile

Démontre avec le calcul littéral : écris l’expression demandée.

Choisir un nombre $x$ , lui ajouter $5$ , multiplier le résultat par $3$ , puis soustraire le triple du nombre de départ. Résultat, réduit :
$3 (x + 5) - 3 x = 3 x + 15 - 3 x = 15$ : le résultat est toujours $15$ .
Somme de deux entiers consécutifs $n$ et $n + 1$ , réduite :
$n + n + 1 = 2 n + 1$ : c’est un nombre impair, quel que soit l’entier $n$ .
Pour tout entier $n$ , $6 n + 15 = 3 \times ($ $)$ : c’est un multiple de $3$ .
$6 n = 3 \times 2 n$ et $15 = 3 \times 5$ : $6 n + 15 = 3 (2 n + 5)$ , et $2 n + 5$ est un entier.

Bloqué sur ce chapitre ?

Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.

Réserver un 1^er cours → Voir les tarifs

Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au collège · Aide aux devoirs