À propos de cette page
Ces exercices corrigés sur « Développement et factorisation » en quatrième permettent de s'entraîner et de vérifier ses acquis en mathématiques. Ils suivent le programme officiel de quatrième et sont classés par difficulté (facile, moyen, difficile). Au programme : Le calcul littéral : convention d'écriture, Substituer : remplacer une lettre par un nombre, Réduire une expression, Développer avec la simple distributivité : k(a + b). Écris ta réponse puis clique sur « Vérifier » : la correction est immédiate et tolère majuscules, espaces et ponctuation. Cet entraînement aide à mémoriser les méthodes, repérer ses erreurs et gagner en confiance avant un contrôle. Exercices gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour réviser mathématiques en quatrième.
Entraîne-toi par niveau. Chaque exercice teste une partie du cours. Cherche d'abord seul, puis clique sur « Voir le corrigé ».
Facile
Ex. 1Écris plus simplement (supprime les signes ×) :
a) 4 × x
b) a × b
c) 7 × y × 2
d) x × x
a) 4x.
b) ab.
c) 14y (on multiplie d'abord 7 × 2 = 14).
d) x². Le nombre s'écrit toujours en premier.
Ex. 2Calcule la valeur de l'expression A = 3x + 5 pour :
a) x = 2
b) x = 0
c) x = 10
a) A = 3 × 2 + 5 = 6 + 5 = 11.
b) A = 3 × 0 + 5 = 5.
c) A = 3 × 10 + 5 = 30 + 5 = 35.
Ex. 3Réduis :
a) 4x + 3x
b) 9a − 2a
c) x + x + x
d) 5y + y
a) 7x.
b) 7a.
c) 3x.
d) 6y (car y = 1y). On additionne les nombres devant et on garde la lettre.
Ex. 4Développe avec la simple distributivité :
a) 2(x + 3)
b) 5(a + 4)
c) 3(x + 1)
d) 6(y + 2)
a) 2x + 6.
b) 5a + 20.
c) 3x + 3.
d) 6y + 12. On multiplie le facteur par chaque terme de la parenthèse.
Ex. 5Développe :
a) 4(x − 2)
b) 3(a − 5)
c) 7(2 − y)
d) 2(3x − 1)
a) 4x − 8.
b) 3a − 15.
c) 14 − 7y.
d) 6x − 2.
Ex. 6Quel est le facteur commun aux deux termes ?
a) 5x + 5y
b) 3a + 3b
c) x² + 4x
d) 7a + 7
a) 5.
b) 3.
c) x (car x² = x×x et 4x = x×4).
d) 7 (car 7 = 7×1).
Ex. 7Factorise :
a) 2x + 2y
b) 5a + 5b
c) 3x + 12
d) 4a + 4
a) 2(x + y).
b) 5(a + b).
c) 3(x + 4) (car 12 = 3×4).
d) 4(a + 1).
Ex. 8Vrai ou faux ? Justifie en une ligne.
a) 3x + 2 = 5x
b) 4x + 3x = 7x
c) x² + x² = x⁴
a) FAUX : 3x et 2 ne sont pas semblables (le 2 n'a pas de x).
b) VRAI : termes semblables, 4 + 3 = 7 → 7x.
c) FAUX : x² + x² = 2x² (on additionne, on ne change pas l'exposant).
Ex. 9Développe et simplifie si possible :
a) x(x + 2)
b) a(a + 5)
c) y(3 + y)
a) x² + 2x.
b) a² + 5a.
c) 3y + y². Une lettre multipliée par elle-même donne un carré.
Ex. 10Réduis en regroupant les termes semblables :
a) 2x + 5 + 3x + 1
b) 7a + 2 + a + 6
a) (2x + 3x) + (5 + 1) = 5x + 6.
b) (7a + a) + (2 + 6) = 8a + 8.
Moyen
Ex. 11Réduis :
a) 3x² + 2x + 5x² + 4x
b) 8a − 3a + 2a²
c) x² + 6x + x² − 2x
a) (3x² + 5x²) + (2x + 4x) = 8x² + 6x.
b) (8a − 3a) + 2a² = 2a² + 5a.
c) (x² + x²) + (6x − 2x) = 2x² + 4x. On ne mélange jamais les x² et les x.
Ex. 12Développe (attention au signe négatif) :
a) −3(x + 4)
b) −2(a − 5)
c) −(x + 7)
d) −(x − 6)
a) −3x − 12.
b) −2a + 10.
c) −x − 7.
d) −x + 6. Un « − » devant la parenthèse change le signe de chaque terme.
Ex. 13Développe puis réduis :
a) 2(x + 3) + 5x
b) 3(a + 1) + 4(a + 2)
a) 2x + 6 + 5x = 7x + 6.
b) 3a + 3 + 4a + 8 = 7a + 11.
Ex. 14Développe avec la double distributivité :
a) (x + 2)(x + 3)
b) (x + 1)(x + 5)
a) x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6.
b) x² + 5x + x + 5 = x² + 6x + 5.
Ex. 15Développe et réduis :
a) (x + 4)(x − 2)
b) (x − 3)(x + 5)
a) x² − 2x + 4x − 8 = x² + 2x − 8.
b) x² + 5x − 3x − 15 = x² + 2x − 15.
Ex. 16Factorise :
a) x² + 5x
b) 7a − a²
c) 6x + 9
d) 10y − 15
a) x(x + 5).
b) a(7 − a).
c) 3(2x + 3).
d) 5(2y − 3).
Ex. 17Factorise (facteur commun = nombre et lettre) :
a) 4x + 6x²
b) 9a² + 12a
a) facteur commun 2x : 4x = 2x×2, 6x² = 2x×3x → 2x(2 + 3x).
b) facteur commun 3a : 9a² = 3a×3a, 12a = 3a×4 → 3a(3a + 4).
Ex. 18Calcule B = 2x² − 3x + 1 pour :
a) x = 2
b) x = 0
c) x = 1
a) B = 2×2² − 3×2 + 1 = 2×4 − 6 + 1 = 8 − 6 + 1 = 3.
b) B = 0 − 0 + 1 = 1.
c) B = 2×1 − 3×1 + 1 = 2 − 3 + 1 = 0. On calcule le carré en premier.
Ex. 19Développe et réduis :
a) 5(x + 2) − 3(x + 1)
b) 4(a − 1) − 2(a − 3)
a) 5x + 10 − 3x − 3 = 2x + 7.
b) 4a − 4 − 2a + 6 = 2a + 2. Attention au signe « − » devant la 2ᵉ parenthèse.
Ex. 20Factorise par la parenthèse commune :
a) (x + 3)×5 + (x + 3)×x
b) 2(a − 1) + a(a − 1)
a) facteur commun (x + 3) → (x + 3)(5 + x).
b) facteur commun (a − 1) → (a − 1)(2 + a).
Difficile
Ex. 21Développe et réduis :
a) (2x + 1)(x + 3)
b) (3x − 2)(x + 4)
a) 2x×x + 2x×3 + 1×x + 1×3 = 2x² + 6x + x + 3 = 2x² + 7x + 3.
b) 3x×x + 3x×4 − 2×x − 2×4 = 3x² + 12x − 2x − 8 = 3x² + 10x − 8.
Ex. 22Développe et réduis :
a) (x + 5)(x − 5)
b) (x + 3)² (c'est-à-dire (x + 3)(x + 3))
a) x² − 5x + 5x − 25 = x² − 25 (les termes en x se compensent).
b) (x + 3)(x + 3) = x² + 3x + 3x + 9 = x² + 6x + 9.
Ex. 23Développe, réduis, puis calcule pour x = 10 :
C = (x + 2)(x + 3) − x²
(x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6, donc C = x² + 5x + 6 − x² = 5x + 6.
Pour x = 10 : C = 5×10 + 6 = 56.
Ex. 24Démontre que pour tout nombre x :
(x + 4)(x + 1) = x² + 5x + 4
On développe le membre de gauche : (x + 4)(x + 1) = x² + x + 4x + 4 = x² + 5x + 4.
C'est exactement le membre de droite → l'égalité est vraie pour tout x.
Ex. 25Programme de calcul : choisis un nombre, ajoute 5, multiplie par 3, puis retire 15.
a) Teste avec 4, puis avec 10.
b) Prouve avec le calcul littéral ce que fait ce programme.
a) Avec 4 : (4+5)×3 − 15 = 27 − 15 = 12 = 3×4. Avec 10 : (10+5)×3 − 15 = 45 − 15 = 30 = 3×10.
b) Départ x → 3(x + 5) − 15 = 3x + 15 − 15 = 3x. Le programme triple le nombre de départ.
Ex. 26Factorise complètement :
a) 6x² + 15x
b) 8a² − 12a
c) 14x + 21x²
a) facteur commun 3x → 3x(2x + 5).
b) facteur commun 4a → 4a(2a − 3).
c) facteur commun 7x → 7x(2 + 3x).
Ex. 27Vrai ou faux ? Justifie. Si c'est faux, donne un contre-exemple.
a) (x + 1)(x + 2) = x² + 2 pour tout x.
b) 3(x − 2) = 3x − 6 pour tout x.
a) FAUX : (x+1)(x+2) = x² + 3x + 2 ≠ x² + 2. Contre-exemple x = 1 : à gauche 2×3 = 6, à droite 1 + 2 = 3.
b) VRAI : c'est la simple distributivité, 3×x − 3×2 = 3x − 6.
Ex. 28Un carré a un côté de longueur x. On augmente un côté de 3 et on diminue l'autre de 3 pour former un rectangle.
a) Écris l'aire du rectangle sous forme de produit.
b) Développe-la et compare à l'aire x² du carré.
a) Aire = (x + 3)(x − 3).
b) (x + 3)(x − 3) = x² − 3x + 3x − 9 = x² − 9. L'aire du rectangle vaut x² − 9, donc 9 de moins que celle du carré : transformer ainsi un carré en rectangle fait toujours perdre 9 unités d'aire.