Équations : résoudre une équation du premier degré

Parmi les trois nombres proposés, un seul est solution de l’équation : recopie-le.

1. $4x-5=7$ ; nombres : $-3$ ; $1$ ; $3$. Solution :
   Pour $x=3$ : $4\times 3-5=7$, comme le membre de droite. Pour $-3$ : $4\times (-3)-5=-17$ ; pour $1$ : $4\times 1-5=-1$.
2. $3(x-1)=x-7$ ; nombres : $-4$ ; $2$ ; $-2$. Solution :
   Pour $x=-2$ : $3\times (-2-1)=3\times (-3)=-9$ et $-2-7=-9$. Pour $2$ : $3$ et $-5$ ; pour $-4$ : $3\times (-5)=-15$ et $-11$.
3. $1-2t=4$ ; nombres : $1,5$ ; $-2,5$ ; $-1,5$. Solution :
   L’inconnue s’appelle $t$ : on teste de la même façon. Pour $t=-1,5$ : $1-2\times (-1,5)=1+3=4$. Pour $1,5$ : $1-3=-2$ ; pour $-2,5$ : $1+5=6$.
4. $5x-2=3x-2$ ; nombres : $-2$ ; $0$ ; $1$. Solution :
   Pour $x=0$, les deux membres valent $-2$ : $5\times 0-2=-2$ et $3\times 0-2=-2$. Pour $1$ : $3$ et $1$ ; pour $-2$ : $-12$ et $-8$.
5. $x^2-3=2x$ ; nombres : $-3$ ; $1$ ; $3$. Solution :
   Pour $x=3$ : $3^2-3=6$ et $2\times 3=6$. Pour $1$ : $-2$ et $2$ ; pour $-3$ : $(-3{)}^2-3=6$ et $2\times (-3)=-6$. On sait tester cette équation, mais la résoudre n’est pas au programme de 4e.

Résous (rappels de 5e) : une seule opération à défaire.

1. $x+13=9$  donc  $x=$
   $x=9-13=-4$. Vérification : $-4+13=9$.
2. $y-6,5=2$  donc  $y=$
   $y=2+6,5=8,5$. Vérification : $8,5-6,5=2$.
3. $7x=-21$  donc  $x=$
   $x=(-21)÷7=-3$. Vérification : $7\times (-3)=-21$.
4. $-5x=32$  donc  $x=$
   On divise par $-5$ : $x=32÷(-5)=-6,4$. Vérification : $(-5)\times (-6,4)=32$.
5. $23-n=30$  donc  $n=$
   $n$ est ce qu’il faut retirer à $23$ pour obtenir $30$ : $n=23-30=-7$. Vérification : $23-(-7)=30$.

Résous. Donne la solution exacte.

1. $9x=5$ : $x$ est la fraction de numérateur et de dénominateur
   On divise par $9$ : $x={\displaystyle \frac{5}{9}}$. La division de $5$ par $9$ ne tombe pas juste : $0,56$ n’est qu’une valeur approchée.
2. $-0,4x=3$  donc  $x=$
   $x=3÷(-0,4)=-7,5$. Vérification : $(-0,4)\times (-7,5)=3$.
3. Léo teste $-1$, $-2$ et $-3$ dans $-21=6t$ ; aucun ne convient, et il écrit « pas de solution ». En résolvant : $t=$
   L’équation se lit aussi $6t=-21$ : on divise les deux membres par $6$, $t=(-21)÷6=-3,5$. Vérification : $6\times (-3,5)=-21$. Léo s’est trompé : tester quelques nombres n’est pas résoudre, la solution n’était simplement pas parmi ses essais.

Une règle à appliquer : complète.

1. $3x+8=20$ : on soustrait aux deux membres et on obtient $3x=$
   On soustrait $8$ aux deux membres : $3x=20-8=12$. Il restera à diviser par $3$ : $x=4$.
2. ${\displaystyle \frac{x}{4}}=2,5$  donc  $x=$
   On multiplie les deux membres par $4$ : $x=2,5\times 4=10$.
3. On divise les deux membres de $6x-15=9$ par $3$ : on obtient $2x-$ $=$
   Diviser les deux membres par $3$, c’est diviser tous les termes : $6x÷3=2x$, $15÷3=5$ et $9÷3=3$, d’où $2x-5=3$ (et non $2x-15=3$). On termine : $2x=8$, donc $x=4$.
4. $-x=9$  donc  $x=$
   $-x$, c’est $-1\times x$ : on divise les deux membres par $-1$, donc $x=-9$. Vérification : $-(-9)=9$.

Résous les équations du type $ax+b=c$.

1. $3x+11=2$  donc  $x=$
   On soustrait $11$ : $3x=2-11=-9$. On divise par $3$ : $x=(-9)÷3=-3$.
2. $-11=7+8y$  donc  $y=$
   L’inconnue est à droite : on soustrait $7$ aux deux membres, $-18=8y$ ; on divise par $8$ : $y=(-18)÷8=-2,25$. Vérification : $7+8\times (-2,25)=7-18=-11$.
3. $12-4x=2$  donc  $x=$
   On soustrait $12$ : $-4x=2-12=-10$. On divise par $-4$ : $x=(-10)÷(-4)=2,5$.
4. $7-3z=7$  donc  $z=$
   On soustrait $7$ aux deux membres : $-3z=0$ ; on divise par $-3$ : $z=0÷(-3)=0$. Une solution peut valoir $0$ : ce n’est pas « pas de solution ». Vérification : $7-3\times 0=7$.

Quotients, signes, solution exacte et coefficient inconnu.

1. $4-{\displaystyle \frac{3x}{2}}=10$  donc  $x=$
   On soustrait $4$ aux deux membres : $-{\displaystyle \frac{3x}{2}}=6$. On multiplie par $2$ : $-3x=12$. On divise par $-3$ : $x=-4$. Vérification : $4-{\displaystyle \frac{3\times (-4)}{2}}=4-(-6)=10$.
2. $0,2x-1,5=0,7$  donc  $x=$
   On ajoute $1,5$ : $0,2x=0,7+1,5=2,2$. On divise par $0,2$ : $x=2,2÷0,2=11$.
3. $7-6x=3$ : $x$ est la fraction irréductible de numérateur et de dénominateur
   On soustrait $7$ : $-6x=-4$. On divise par $-6$ : $x={\displaystyle \frac{-4}{-6}}={\displaystyle \frac{4}{6}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$ (quotient de deux nombres négatifs : positif). La division ne tombe pas juste : $0,67$ n’en serait qu’une valeur approchée. Vérification : $7-6\times {\displaystyle \frac{2}{3}}=7-4=3$.
4. Pour quelle valeur de $a$ le nombre $-2$ est-il solution de $ax+7=1$ ? $a=$
   On remplace $x$ par $-2$ : $-2a+7=1$. On soustrait $7$ : $-2a=-6$. On divise par $-2$ : $a=3$. Vérification : $3\times (-2)+7=1$.

L’inconnue est dans les deux membres. Résous.

1. $1,5x+4=0,5x-3$  donc  $x=$
   On soustrait $0,5x$ aux deux membres : $x+4=-3$ ; on soustrait $4$ : $x=-7$. Vérification : $1,5\times (-7)+4=-6,5$ et $0,5\times (-7)-3=-6,5$.
2. $3x-8=7x+4$  donc  $x=$
   Le plus grand coefficient est à droite : on soustrait $3x$, $-8=4x+4$ ; $-12=4x$ ; $x=-3$. Vérification : $3\times (-3)-8=-17$ et $7\times (-3)+4=-17$.
3. $6n=20-4n$  donc  $n=$
   Pour faire disparaître $-4n$ du membre de droite, on ajoute $4n$ aux deux membres : $10n=20$ ; $n=2$. Vérification : $6\times 2=12$ et $20-4\times 2=12$.
4. $11-3x=x+1$  donc  $x=$
   On ajoute $3x$ : $11=4x+1$ ; $10=4x$ ; $x=2,5$. Vérification : $11-3\times 2,5=3,5$ et $2,5+1=3,5$.

Développe ou multiplie d’abord, puis résous.

1. $3(x-2)=7-4x$ : $x$ est la fraction de numérateur et de dénominateur
   On développe : $3x-6=7-4x$ ; on ajoute $4x$ : $7x-6=7$ ; on ajoute $6$ : $7x=13$ ; $x={\displaystyle \frac{13}{7}}$. La division de $13$ par $7$ ne tombe pas juste : on garde la fraction.
2. $7-2(x-4)=3x$  donc  $x=$
   On développe avec le signe : $-2\times x=-2x$ et $-2\times (-4)=+8$, donc $7-2x+8=3x$, soit $15-2x=3x$ ; on ajoute $2x$ : $15=5x$ ; $x=3$. Erreur fréquente : écrire $7-2x-8$. Vérification : $7-2\times (3-4)=9$ et $3\times 3=9$.
3. ${\displaystyle \frac{x+4}{2}}=3x$  donc  $x=$
   On multiplie par $2$ : $x+4=6x$ ; on soustrait $x$ : $4=5x$ ; $x={\displaystyle \frac{4}{5}}=0,8$. Vérification : $(0,8+4)÷2=2,4$ et $3\times 0,8=2,4$.
4. $2(5-x)=x-8$  donc  $x=$
   $10-2x=x-8$ ; on ajoute $2x$ : $10=3x-8$ ; $18=3x$ ; $x=6$. Vérification : $2\times (5-6)=-2$ et $6-8=-2$.

Calculs longs : résous, ou donne le nombre de solutions (0, 1 ou « une infinité »).

1. $5(x-2)-3(2x-1)=2(x+4)$  donc  $x=$
   On développe chaque produit, avec le signe − devant le $3$ : $5x-10-6x+3=2x+8$. On réduit le membre de gauche : $-x-7=2x+8$. On ajoute $x$ : $-7=3x+8$ ; on soustrait $8$ : $-15=3x$ ; $x=-5$. Vérification : $5\times (-7)-3\times (-11)=-35+33=-2$ et $2\times (-1)=-2$.
2. ${\displaystyle \frac{x+1}{2}}={\displaystyle \frac{2x-3}{3}}$  donc  $x=$
   On multiplie les deux membres par $6$ (par $2$, puis par $3$) : $6\times {\displaystyle \frac{x+1}{2}}=3(x+1)$ et $6\times {\displaystyle \frac{2x-3}{3}}=2(2x-3)$. D’où $3x+3=4x-6$ ; on soustrait $3x$ : $3=x-6$ ; $x=9$. Vérification : $(9+1)÷2=5$ et $(18-3)÷3=5$.
3. Combien de solutions a $3(2x-1)-x=5x+4$ ?
   On développe et on réduit le membre de gauche : $6x-3-x=5x-3$. L’équation devient $5x-3=5x+4$ ; on soustrait $5x$ : il reste $-3=4$, ce qui est faux pour tout $x$ : aucune solution.
4. Combien de solutions a $4(x+3)=3(x+4)$ ?
   $4x+12=3x+12$ ; on soustrait $3x$ : $x+12=12$ ; $x=0$. Les nombres seuls se compensent, mais pas les termes en $x$ (coefficients $4$ et $3$ différents) : une seule solution, $x=0$, ni « aucune » ni « une infinité ». Vérification : $4\times 3=12$ et $3\times 4=12$.
5. Pour quelle valeur de $k$ l’équation $4x+k=4x+7$ a-t-elle une infinité de solutions ? $k=$
   On soustrait $4x$ : il reste $k=7$. Si $k$ vaut $7$, les deux membres sont identiques et tous les nombres sont solutions ; sinon, il n’y a aucune solution.

Traduis par une expression en $x$ (écris par exemple 5x+2).

1. Le quadruple de $x$, diminué de $7$ :
   On multiplie d’abord $x$ par $4$, puis on retire $7$ : $4x-7$. Sans parenthèses : c’est $4x$ qui est diminué de $7$.
2. La moitié de $x$, augmentée de $1$ :
   La moitié de $x$ est ${\displaystyle \frac{x}{2}}$ ; on ajoute $1$ : ${\displaystyle \frac{x}{2}}+1$.
3. La somme de trois entiers consécutifs, le plus petit étant $x$ (forme réduite) :
   Les trois entiers sont $x$, $x+1$ et $x+2$ : leur somme est $x+(x+1)+(x+2)=3x+3$.
4. Le double de la différence de $x$ et de $5$, développé :
   « La différence de $x$ et de $5$ » est $x-5$ ; son double est $2(x-5)=2x-10$. À ne pas confondre avec « le double de $x$, diminué de $5$ » : $2x-5$.

Mets en équation, puis résous.

1. Une corde de $2,4$ m est coupée en trois morceaux : le deuxième mesure $35$ cm de plus que le premier et le troisième le triple du premier. Longueur du premier morceau : cm
   On travaille dans une seule unité : $2,4$ m $=240$ cm. Soit $x$ la longueur du premier morceau, en cm : $x+(x+35)+3x=240$, soit $5x+35=240$ ; $5x=205$ ; $x=41$. Les morceaux mesurent $41$ cm, $76$ cm et $123$ cm, et $41+76+123=240$. Avec $2,4$ au lieu de $240$, on trouverait une longueur négative : impossible.
2. On cherche trois entiers consécutifs de somme $100$. L’équation donne pour le plus petit la fraction de numérateur et de dénominateur . Nombre de réponses au problème :
   Soit $x$ le plus petit : $x+(x+1)+(x+2)=100$, soit $3x+3=100$ ; $3x=97$ ; $x={\displaystyle \frac{97}{3}}$, qui n’est pas un entier. Aucun triplet ne convient : $32+33+34=99$ et $33+34+35=102$. L’équation a une solution, mais elle n’a pas de sens pour le problème.
3. Un nombre augmenté de $12$ est égal à son triple diminué de $4$. Ce nombre est
   $x+12=3x-4$ ; on soustrait $x$ : $12=2x-4$ ; $16=2x$ ; $x=8$. Vérification : $8+12=20$ et $3\times 8-4=20$.

Problèmes à mettre en équation.

1. Dans un triangle, un angle mesure $x$ degrés, le deuxième le double du premier et le troisième $30°$ de plus que le premier. $x=$ °
   La somme des angles d’un triangle vaut $180°$ : $x+2x+(x+30)=180$, soit $4x+30=180$ ; $4x=150$ ; $x=37,5$. Les angles mesurent $37,5°$, $75°$ et $67,5°$, et $37,5+75+67,5=180$.
2. Inès et Maëlle partent au même moment des deux bouts d’une piste de $13$ km et courent l’une vers l’autre, à $9$ km/h et $10,5$ km/h. Au bout de combien de minutes se croisent-elles ? min
   Soit $t$ la durée en heures. Distances parcourues : $9t$ et $10,5t$ ; à elles deux, elles couvrent la piste : $9t+10,5t=13$, soit $19,5t=13$ ; $t={\displaystyle \frac{13}{19,5}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$ h. En minutes : ${\displaystyle \frac{2}{3}}\times 60=40$ min (et non « $0,67$ h, donc $67$ min »). Vérification : Inès a couru $9\times {\displaystyle \frac{2}{3}}=6$ km et Maëlle $10,5\times {\displaystyle \frac{2}{3}}=7$ km : $6+7=13$.
3. Dans un club, chaque adhérent pratique un seul sport : le quart fait du football, le tiers du basket et les $85$ autres du handball. Nombre d’adhérents :
   Soit $x$ le nombre d’adhérents : ${\displaystyle \frac{x}{4}}+{\displaystyle \frac{x}{3}}+85=x$. On multiplie les deux membres par $12$, tous les termes : $3x+4x+1020=12x$, soit $7x+1020=12x$ ; on soustrait $7x$ : $1020=5x$ ; $x=204$. Vérification : $51$ au football, $68$ au basket et $85$ au handball, et $51+68+85=204$.