À propos de cette page
Ces problèmes corrigés sur « Développement et factorisation » en quatrième permettent d'appliquer le cours à des situations concrètes en mathématiques. Ils suivent le programme officiel de quatrième et se résolvent étape par étape. Au programme : Le calcul littéral : convention d'écriture, Substituer : remplacer une lettre par un nombre, Réduire une expression, Développer avec la simple distributivité : k(a + b). Cherche au brouillon, saisis ta réponse puis clique sur « Vérifier » pour te corriger. Idéal pour développer le raisonnement, la rigueur et la confiance avant une évaluation. Problèmes gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour progresser en mathématiques en quatrième.
Des situations concrètes qui se résolvent avec le calcul littéral. Pose bien tes expressions avant de regarder la correction.
Facile
Pb 1Un stylo coûte x euros. Léa en achète 3 et ajoute un cahier à 4 €.
a) Écris une expression donnant la dépense totale.
b) Combien dépense-t-elle si x = 2 € ?
a) Dépense = 3x + 4 (en euros).
b) Pour x = 2 : 3×2 + 4 = 6 + 4 = 10 €.
Pb 2Un rectangle a une largeur de x cm et une longueur de (x + 5) cm.
a) Écris son périmètre, puis réduis-le.
b) Calcule-le pour x = 3.
a) Périmètre = 2×(x + (x + 5)) = 2(2x + 5) = 4x + 10 (en cm).
b) Pour x = 3 : 4×3 + 10 = 12 + 10 = 22 cm.
Pb 3Au cinéma, une place coûte x euros. Une famille achète 4 places et 4 boissons à 3 € chacune.
a) Écris la dépense totale sous forme de somme.
b) Factorise cette expression et interprète le résultat.
a) Dépense = 4x + 4×3 = 4x + 12.
b) 4x + 12 = 4(x + 3) : c'est 4 fois le prix d'« une place + une boisson », ce qui est logique (4 personnes paient chacune une place et une boisson).
Pb 4Un jardin carré a un côté de x mètres. On l'agrandit en ajoutant une bande de 2 m de large sur un côté (le jardin devient un rectangle).
a) Écris l'aire du nouveau rectangle sous forme de produit.
b) Développe-la.
a) Le rectangle mesure x sur (x + 2) → aire = x(x + 2) (en m²).
b) x(x + 2) = x² + 2x.
Moyen
Pb 5Pense à un nombre, ajoute 7, multiplie le résultat par 4.
a) Écris l'expression obtenue à partir d'un nombre x, puis développe-la.
b) Quel est le résultat si on part de 6 ?
a) 4(x + 7) = 4x + 28.
b) Pour x = 6 : 4×6 + 28 = 24 + 28 = 52 (ou directement 4×(6+7) = 4×13 = 52).
Pb 6Un terrain rectangulaire mesure (x + 4) m de long et 3 m de large. On lui accole un second terrain de (x + 4) m de long et 5 m de large.
a) Écris l'aire totale en factorisant par (x + 4).
b) Développe et réduis pour obtenir l'aire en fonction de x.
a) Aire = (x + 4)×3 + (x + 4)×5 = (x + 4)(3 + 5) = 8(x + 4).
b) 8(x + 4) = 8x + 32 (en m²).
Pb 7Programme : choisir un nombre, le multiplier par 2, ajouter 6, puis prendre la moitié du résultat.
a) Traduis ce programme avec un nombre x et simplifie.
b) Que remarque-t-on ?
a) (2x + 6) ÷ 2 = 2x + 62 = x + 3.
b) Le programme revient simplement à ajouter 3 au nombre de départ.
Pb 8Un fleuriste vend des bouquets. Chaque bouquet contient x roses à 2 € et 3 feuillages à 1 €.
a) Écris le prix d'un bouquet en fonction de x, réduit.
b) Écris le prix de 5 bouquets identiques, puis développe.
a) Un bouquet : 2x + 3×1 = 2x + 3 (en €).
b) 5 bouquets : 5(2x + 3) = 10x + 15 (en €).
Difficile
Pb 9Une grande pelouse carrée a un côté de x mètres. On y construit une terrasse carrée de 4 m de côté dans un coin.
a) Écris l'aire de pelouse restante (carré moins terrasse).
b) Pour x = 10, quelle est l'aire de pelouse restante ?
a) Aire restante = x² − 4² = x² − 16 (en m²).
b) Pour x = 10 : 10² − 16 = 100 − 16 = 84 m².
Pb 10Deux programmes de calcul.
Programme A : choisir x, ajouter 1, multiplier le résultat par 5.
Programme B : choisir x, le multiplier par 5, ajouter 5.
Ces deux programmes donnent-ils toujours le même résultat ? Démontre-le.
A : 5(x + 1) = 5x + 5. B : 5x + 5.
Les deux expressions réduites sont identiques (5x + 5) → les programmes donnent toujours le même résultat, quel que soit x. C'est exactement la simple distributivité.
Pb 11Un rectangle a pour longueur (x + 6) et pour largeur (x + 2).
a) Écris son aire sous forme de produit, puis développe-la.
b) Si on enlève un carré de côté x dans un coin, quelle est l'aire restante (réduite) ?
a) Aire = (x + 6)(x + 2) = x² + 2x + 6x + 12 = x² + 8x + 12.
b) Aire restante = (x² + 8x + 12) − x² = 8x + 12 (= 4(2x + 3) en factorisant).
Pb 12Choisis un nombre, calcule son carré, puis ajoute le triple du nombre. Soit ce résultat R.
a) Écris R en fonction de x, puis factorise.
b) Montre que R est toujours un multiple du nombre choisi (s'il n'est pas nul).
a) R = x² + 3x = x(x + 3).
b) R s'écrit x × (x + 3) : c'est x multiplié par un entier (x + 3), donc R est toujours un multiple de x. Par ex. pour x = 4 : R = 4×7 = 28, bien multiple de 4.