Calcul littéral : développer, factoriser, réduire

Rappels de 5ᵉ (traduire une phrase, écrire et calculer une expression, somme ou produit), distributivité simple k(a + b) = ka + kb et k(a − b) = ka − kb avec des nombres relatifs, supprimer des parenthèses précédées d’un signe −, réduire une expression (termes en x², en x et nombres), factoriser par un facteur commun (nombre, lettre ou les deux), identité, contre-exemple et démonstration par le calcul littéral.

À propos de cette page

Six problèmes corrigés de calcul littéral : le périmètre et l’aire d’un rectangle, deux programmes de calcul qui ne donnent jamais le même résultat, un jardin partagé en deux parcelles, un terrain carré agrandi, des sommes d’entiers consécutifs et un tour de magie dont le résultat ne dépend pas du nombre choisi.

6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je lis l’énoncé et je repère ce que représente la lettre : un nombre choisi, une longueur, un entier.
J’écris l’expression demandée, avec des parenthèses quand une opération porte sur tout un résultat.
Je transforme : je développe les produits, je réduis, ou je factorise si je cherche un multiple.
Je vérifie en remplaçant la lettre par un nombre dans l’expression de départ et dans l’expression obtenue.
Je réponds par une phrase, avec l’unité.

Problème 1 · Le rectangle qui s’allonge★★★Facile

Un rectangle a pour longueur

(x + 6)

cm et pour largeur

7

cm.

1. Expression développée et réduite de son périmètre :
$2 (x + 6) + 2 \times 7 = 2 x + 12 + 14 = 2 x + 26$ .
2. Expression développée de son aire :
$7 (x + 6) = 7 x + 42$ .
3. Aire pour $x = 3, 5$ (en cm²) :
$7 \times 3, 5 + 42 = 24, 5 + 42 = 66, 5$ cm².
4. De combien de cm² l’aire augmente-t-elle quand $x$ augmente de $1$ ?
L’aire vaut $7 x + 42$ : quand $x$ augmente de $1$ , le terme $7 x$ augmente de $7$ . Par exemple, pour $x = 3, 5$ : $66, 5$ cm², et pour $x = 4, 5$ : $7 \times 4, 5 + 42 = 73, 5$ cm².

Problème 2 · Deux programmes qui ne se rejoignent jamais★★★Facile

Programme A : « Choisis un nombre

x

, multiplie-le par

4

, ajoute

3

, puis multiplie le tout par

3

. » Programme B : « Choisis

x

, ajoute

3

, multiplie par

12

. »

1. Expression développée et réduite du programme A :
$3 (4 x + 3) = 12 x + 9$ .
2. Résultat du programme A pour $x = 4$ :
$12 \times 4 + 9 = 57$ .
3. Expression développée du programme B :
$12 (x + 3) = 12 x + 36$ .
4. Quel que soit le nombre choisi, de combien le résultat de B dépasse-t-il celui de A ?
$(12 x + 36) - (12 x + 9) = 12 x + 36 - 12 x - 9 = 27$ : B dépasse toujours A de $27$ , les deux programmes ne donnent jamais le même résultat.

Problème 3 · Le jardin partagé★★★Moyen

Un jardin est formé de deux parcelles rectangulaires de même largeur

x

m, l’une de longueur

12

m, l’autre de longueur

7

1. Aire totale sous forme de somme :
$12 \times x + 7 \times x = 12 x + 7 x$ .
2. Aire totale sous forme d’un seul terme :
$12 x + 7 x = (12 + 7) x = 19 x$ : on factorise par $x$ .
3. Aire totale pour $x = 8, 5$ (en m²) :
$19 \times 8, 5 = 161, 5$ m².
4. On veut une aire totale de $247$ m². Quelle largeur $x$ faut-il, en m ?
$19 x = 247$ , donc $x = 247 \div 19 = 13$ m.

Problème 4 · Le terrain agrandi★★★Moyen

Un terrain carré a pour côté

x

m. On l’agrandit en ajoutant

5

m à sa longueur ; sa largeur ne change pas.

1. Aire du nouveau terrain, développée :
$x (x + 5) = x \times x + x \times 5 = x^{2} + 5 x$ .
2. Aire de la partie ajoutée (nouveau terrain moins l’ancien carré) :
$(x^{2} + 5 x) - x^{2} = 5 x$ .
3. Surface ajoutée pour $x = 6$ (en m²) :
$5 \times 6 = 30$ m².
4. Aire du nouveau terrain pour $x = 6$ , calculée directement avec ses côtés (en m²) :
Le nouveau terrain mesure $6$ m sur $11$ m : $6 \times 11 = 66$ m². Avec l’expression, pour $x = 6$ : $x^{2}$ vaut $36$ et $5 x$ vaut $30$ , soit $36 + 30 = 66$ m² ; et $66 - 36 = 30$ m² ajoutés.

Problème 5 · Sommes d’entiers consécutifs★★★Difficile

On note

n

un nombre entier. On s’intéresse aux sommes d’entiers consécutifs.

1. Somme de quatre entiers consécutifs $n$ , $n + 1$ , $n + 2$ , $n + 3$ , réduite :
$n + n + 1 + n + 2 + n + 3 = 4 n + 6$ .
2. Forme factorisée au maximum de cette somme :
$4 n + 6 = 2 \times 2 n + 2 \times 3 = 2 (2 n + 3)$ , et $2 n + 3$ est un entier : la somme de quatre entiers consécutifs est toujours paire.
3. Que vaut cette somme pour $n = 1$ ?
$1 + 2 + 3 + 4 = 10$ , et $4 \times 1 + 6 = 10$ . Or $10$ n’est pas un multiple de $4$ ( $10 = 4 \times 2 + 2$ ) : c’est un contre-exemple, la somme de quatre entiers consécutifs n’est pas toujours un multiple de $4$ .
4. Somme de cinq entiers consécutifs à partir de $n$ , factorisée :
$n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) = 5 n + 10 = 5 (n + 2)$ : c’est toujours un multiple de $5$ .

Problème 6 · Le tour de magie★★★Difficile

« Choisis un nombre, ajoute

7

, multiplie par

2

, soustrais

4

, divise par

2

, puis soustrais le nombre de départ. » On note

x

le nombre de départ.

1. Expression après « multiplie par 2 », développée :
$2 (x + 7) = 2 x + 14$ .
2. Expression après « soustrais 4 » puis « divise par 2 » :
$2 x + 14 - 4 = 2 x + 10 = 2 (x + 5)$ ; la moitié de $2 (x + 5)$ est $x + 5$ .
3. Résultat final, après « soustrais le nombre de départ » :
$x + 5 - x = 5$ : toujours $5$ , quel que soit le nombre choisi.
4. On remplace « ajoute 7 » par « ajoute 12 ». Quel est alors le résultat final ?
$2 (x + 12) - 4 = 2 x + 20 = 2 (x + 10)$ ; la moitié est $x + 10$ , puis $x + 10 - x = 10$ .

Bloqué sur ce chapitre ?

Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.

Réserver un 1^er cours → Voir les tarifs

Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au collège · Aide aux devoirs