Équations : résoudre une équation du premier degré

1. a)Membre de gauche : $(-2{)}^2=4$ et $3\times (-2)=-6$, donc il vaut $4-6=-2$ ; membre de droite : $2\times (-2)+2=-2$. Les deux membres sont égaux : oui, $-2$ est solution (attention : $(-2{)}^2=4$, pas $-4$) (1)
2. b)Membre de gauche : $4\times 2,5-3=7$ ; membre de droite : $3\times 2,5+0,5=8$. Les deux membres sont différents : non, $2,5$ n’est pas solution (1)
3. c)$x=3-7,5=-4,5$. L’élève a tort : tester n’est pas résoudre. $9x=6$ donne $x={\displaystyle \frac{6}{9}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$ (la division ne tombe pas juste), qui n’était pas parmi ses essais (1)
4. d)Par exemple $2x+5=-3$ : $2\times (-4)+5=-3$ ✓ (toute équation juste, vérifiée, est acceptée) (1)

Méthode — Pour tester, on calcule chaque membre séparément, les nombres négatifs entre parenthèses ; tester n’est pas résoudre.

1. a)On divise chaque terme par $-4$ : $2x-3=-5$ ; on ajoute $3$ : $2x=-2$ ; $x=-1$. Vérification : $(-8)\times (-1)+12$ vaut $8+12$, soit $20$ (1)
2. b)On soustrait $4$ : $-5x=19-4=15$ ; on divise par $-5$ : $x=15÷(-5)=-3$. Vérification : $4-5\times (-3)=19$ (1)
3. c)On soustrait $0,6y$ : $-2,5=0,9y+2$ ; on soustrait $2$ : $-4,5=0,9y$ ; $y=(-4,5)÷0,9=-5$. Vérification : $0,6\times (-5)-2,5=-5,5$ et $1,5\times (-5)+2=-5,5$ (1)
4. d)On ajoute $2x$ : $7=5x+1$ ; $6=5x$ ; $x={\displaystyle \frac{6}{5}}=1,2$ (1)

Méthode — On regroupe les $x$ d’un côté, les nombres de l’autre, puis on divise par le coefficient de $x$, avec son signe.

1. a)$6x-2-x+5=4x+8$ (le signe − devant la parenthèse change les deux signes) ; $5x+3=4x+8$ ; on soustrait $4x$ : $x+3=8$ ; $x=5$. Vérification : $2\times 14-0=28$ et $4\times 7=28$ (1)
2. b)$10x+5=3x-18$ ; on soustrait $3x$ : $7x+5=-18$ ; $7x=-23$ ; $x=-{\displaystyle \frac{23}{7}}$ (la division ne tombe pas juste) (1)
3. c)On multiplie les deux membres par $12$ : $3(x+3)=4(2x-1)$, soit $3x+9=8x-4$ ; on soustrait $3x$ : $9=5x-4$ ; $13=5x$ ; $x={\displaystyle \frac{13}{5}}=2,6$. Vérification : $(2,6+3)÷4=1,4$ et $(5,2-1)÷3=1,4$ (1)
4. d)$3x+6-x=2x+6$, soit $2x+6=2x+6$ : égalité vraie pour tout $x$. Tous les nombres sont solutions : il y en a une infinité (1)

Le point clé — On développe avant de regrouper ; si les $x$ disparaissent, l’égalité qui reste dit s’il n’y a aucune solution ou une infinité.

1. a)Il fallait soustraire $5$ aux deux membres, pas l’ajouter : $3x=15$, donc $x=5$ (1)
2. b)Le signe − devant la parenthèse change les deux signes : $5-x-2=2x$, soit $3-x=2x$ ; $3=3x$ ; $x=1$. Vérification : $5-(1+2)=2$ et $2\times 1=2$ (1)
3. c)Pour regrouper les $x$, on soustrait $2x$ aux deux membres, on ne l’ajoute pas : $2x+3=9$ ; $2x=6$ ; $x=3$ (1)
4. d)Multiplier les deux membres par $2$ concerne tous les termes, y compris le $1$ : $x+2=12$, donc $x=10$ (1)

Repère — Chaque opération porte sur les deux membres entiers : tous leurs termes, avec leur signe.

1. a)Soit $x$ le nombre d’élèves. Les $3$ accompagnateurs paient $3\times 22=66$ € : $14,5x+66=501$ ; $14,5x=435$ ; $x=435÷14,5=30$. Il y a $30$ élèves (1)
2. b)Tarif 2 : $16\times 33=528$ €. Le tarif 1 ($501$ €) était plus avantageux (1)
3. c)$14,5x+66=16(x+3)$, soit $14,5x+66=16x+48$ ; on soustrait $14,5x$ : $66=1,5x+48$ ; $18=1,5x$ ; $x=12$ élèves (1)
4. d)Tarif 1 : $14,5\times 10+66=211$ € ; tarif 2 : $16\times 13=208$ €. Le tarif 2 est moins cher ; il l’est pour toute classe de moins de $12$ élèves (1)

Méthode — On écrit le prix de chaque tarif en fonction de $x$ ; « le même prix » se traduit par une équation dont l’inconnue est des deux côtés.