À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en quatrième sur « Les équations du 1er degré » suit le programme officiel de mathématiques de quatrième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Qu'est-ce qu'une équation ?, Tester si un nombre est solution, Les deux règles d'or (équations équivalentes), Résoudre les équations simples. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de quatrième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Qu'est-ce qu'une équation ?
2 · Tester si un nombre est solution
3 · Les deux règles d'or (équations équivalentes)
4 · Résoudre les équations simples
5 · Résoudre $ax+b=cx+d$ : la méthode complète
6 · Mettre un problème en équation
7 · Méthode générale et erreurs à éviter
1Qu'est-ce qu'une équation ?
Une équation est une égalité qui contient une lettre, appelée inconnue (le plus souvent $x$). Cette égalité n'est pas toujours vraie : elle ne l'est que pour certaines valeurs de l'inconnue.
Définitions. Une équation du premier degré à une inconnue est une égalité du type $ax+b=cx+d$, où l'inconnue $x$ apparaît seulement à la puissance $1$ (jamais $x^2$, jamais $\sqrt{x}$). Résoudre l'équation, c'est trouver toutes les valeurs de $x$ qui rendent l'égalité vraie : ces valeurs sont les solutions.
De chaque côté du signe $=$, on trouve un membre :
| Vocabulaire | Exemple : $3x+5=14$ |
|---|
| Membre de gauche | $3x+5$ |
| Membre de droite | $14$ |
| Inconnue | $x$ |
| Solution | $x=3$ (car $3\times 3+5=14$) |
Exemple. $2x-1=7$ est une équation. Sa solution est $x=4$, car $2\times 4-1=7$. En revanche $x^2=9$ n'est pas du premier degré (le carré apparaît).
2Tester si un nombre est solution
Avant même de savoir résoudre, on peut vérifier si une valeur donnée est solution. Pour cela, on remplace $x$ par cette valeur et on calcule séparément les deux membres : s'ils sont égaux, c'est gagné.
Astuce. Calcule d'abord tout le membre de gauche, puis tout le membre de droite, et seulement à la fin compare les deux résultats. Ne mélange pas les deux calculs.
Exemple. Le nombre $5$ est-il solution de $4x-3=2x+7$ ?
• Membre de gauche : $4\times 5-3=20-3=17$.
• Membre de droite : $2\times 5+7=10+7=17$.
Les deux valent $17$ : oui, $x=5$ est solution.
Exemple. Le nombre $2$ est-il solution de $4x-3=2x+7$ ?
• Gauche : $4\times 2-3=5$. • Droite : $2\times 2+7=11$.
$5\neq 11$ : non, $2$ n'est pas solution.
On peut tester plusieurs valeurs pour voir laquelle « tombe juste ». Le graphique ci-dessous montre, pour l'équation $4x-3=2x+7$, la valeur de chaque membre selon $x$ : ils ne sont égaux qu'en $x=5$.
3Les deux règles d'or (équations équivalentes)
Tester ne suffit pas pour trouver la solution. On transforme l'équation, étape par étape, en une équation plus simple mais qui a la même solution : on dit qu'elle est équivalente. Deux règles permettent cela.
Règle 1 (addition / soustraction). On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres d'une équation : la solution ne change pas.
Si $A=B$, alors $A+k=B+k$ et $A-k=B-k$.
Règle 2 (multiplication / division). On peut multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul : la solution ne change pas.
Si $A=B$, alors $A\times k=B\times k$ et $\dfrac{A}{k}=\dfrac{B}{k}$ (avec $k\neq 0$).
On peut imaginer une balance en équilibre : si on enlève la même masse des deux plateaux, ou si on double les deux plateaux, l'équilibre est conservé.
Attention ! Il faut toujours faire l'opération sur les deux membres, jamais sur un seul. Et on ne multiplie/divise jamais par 0.
4Résoudre les équations simples
Commençons par les trois types de base. L'idée est toujours d'isoler $x$ : se débrouiller pour qu'il ne reste plus que $x$ tout seul à gauche.
Exemple 1 — du type $x+a=b$. Résoudre $x+7=12$.
On soustrait $7$ des deux côtés : $x+7-7=12-7$, donc $x=5$.
Exemple 2 — du type $ax=b$. Résoudre $4x=20$.
On divise les deux côtés par $4$ : $\dfrac{4x}{4}=\dfrac{20}{4}$, donc $x=5$.
Exemple 3 — du type $ax+b=c$. Résoudre $3x+5=14$.
• On enlève $5$ : $3x=14-5=9$.
• On divise par $3$ : $x=\dfrac{9}{3}=3$.
On termine par une vérification : $3\times 3+5=14$. ✓
Astuce — l'ordre des opérations. Pour isoler $x$ dans $ax+b=c$, on défait d'abord l'addition (le $+b$), puis la multiplication (le $\times a$). C'est l'inverse de l'ordre dans lequel on calculerait.
La solution peut être une fraction ou un nombre décimal : ce n'est pas un problème. Par exemple $2x=7$ donne $x=\dfrac{7}{2}=3,5$.
5Résoudre $ax+b=cx+d$ : la méthode complète
C'est le cas le plus important de 4e : l'inconnue $x$ est présente des deux côtés. La stratégie : regrouper tous les $x$ d'un côté, et tous les nombres de l'autre.
Méthode en 4 étapes.
1. Regrouper les $x$ : on enlève (ou ajoute) un terme en $x$ aux deux membres pour les réunir d'un seul côté.
2. Regrouper les nombres de l'autre côté.
3. Réduire chaque membre.
4. Diviser par le coefficient de $x$, puis vérifier.
Exemple détaillé. Résoudre $5x+2=3x+10$.
• On enlève $3x$ des deux côtés : $5x-3x+2=10$, soit $2x+2=10$.
• On enlève $2$ : $2x=10-2=8$.
• On divise par $2$ : $x=\dfrac{8}{2}=4$.
• Vérification : gauche $5\times 4+2=22$ ; droite $3\times 4+10=22$. ✓ La solution est $x=4$.
Exemple avec un négatif. Résoudre $7-2x=x+1$.
• On ajoute $2x$ des deux côtés : $7=3x+1$.
• On enlève $1$ : $6=3x$.
• On divise par $3$ : $x=2$.
| Étape | Équation obtenue |
|---|
| Départ | $5x+2=3x+10$ |
| $-3x$ (les $x$ à gauche) | $2x+2=10$ |
| $-2$ (les nombres à droite) | $2x=8$ |
| $\div 2$ | $x=4$ |
6Mettre un problème en équation
Les équations servent à résoudre des problèmes concrets. La démarche se fait toujours en quatre temps.
Méthode (mise en équation).
1. Choisir l'inconnue : « Soit $x$ le nombre cherché… » (préciser ce que représente $x$, avec l'unité).
2. Traduire l'énoncé par une équation.
3. Résoudre l'équation.
4. Conclure par une phrase répondant à la question.
Exemple. Marie a $14$ ans de plus que son fils. Dans $6$ ans, elle aura le double de l'âge de son fils. Quel est l'âge du fils aujourd'hui ?
• Inconnue : soit $x$ l'âge du fils aujourd'hui (en années). Marie a alors $x+14$ ans.
• Équation : dans 6 ans, fils $=x+6$, Marie $=x+14+6=x+20$, et « le double » donne $x+20=2(x+6)$.
• Résolution : $x+20=2x+12$, donc $20-12=2x-x$, soit $x=8$.
• Conclusion : le fils a $8$ ans aujourd'hui (et Marie $22$ ans).
Astuce — traduire les mots. « augmenté de 5 » → $+5$ ; « le triple » → $\times 3$ ; « la somme de deux nombres consécutifs » → $x+(x+1)$ ; « le double de… » → $2\times(\dots)$.
7Méthode générale et erreurs à éviter
Pour résoudre n'importe quelle équation du premier degré, on suit toujours le même fil : réduire chaque membre, regrouper les $x$ d'un côté et les nombres de l'autre, diviser par le coefficient de $x$, puis vérifier.
Erreurs fréquentes.
• Oublier de faire l'opération sur les deux membres.
• Se tromper de signe en faisant « passer » un terme de l'autre côté : un $+3$ qui change de côté devient $-3$.
• Mal réduire : $5x-3x=2x$ (et non $2$ ou $8x$).
• Diviser un seul terme : dans $2x=8$ on divise tout par $2$, pas juste $x$.
• Oublier la vérification, qui repère immédiatement une faute.
Bon réflexe. Quand l'équation contient des parenthèses, on les développe d'abord, par exemple $3(x+2)=3x+6$, avant de regrouper.
★À retenir
En bref :
• Une équation du 1er degré est une égalité avec une inconnue $x$ à la puissance 1 ; la solution rend l'égalité vraie.
• Deux règles d'or : ajouter/soustraire un même nombre aux deux membres ; multiplier/diviser les deux membres par un même nombre non nul.
• Pour $ax+b=cx+d$ : regrouper les $x$ d'un côté, les nombres de l'autre, réduire, diviser par le coefficient de $x$.
• Toujours vérifier en remplaçant $x$ par la valeur trouvée.
• Problème : choisir l'inconnue → écrire l'équation → résoudre → conclure par une phrase.