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Équations : résoudre une équation du premier degré
Reprendre les acquis de 5e (équation, inconnue, membres, solution, tester un nombre, résoudre x + b = c et ax = c) ; transformer une équation en ajoutant, soustrayant, multipliant ou divisant ses deux membres par un même nombre ; résoudre ax + b = c, puis ax + b = cx + d avec des parenthèses ou des quotients ; reconnaître une équation sans solution ou avec une infinité de solutions ; mettre un problème en équation, le résoudre et vérifier.
À propos de cette page
Rappels de 5e : équation, solution, x + b = c et ax = c
En 5e, on a appris ce qu’est une équation et on a résolu les équations les plus simples, où l’inconnue ne subit qu’une seule opération. On reprend tout ici : ces méthodes servent à chaque étape des résolutions de 4e.
Les deux expressions de part et d’autre du signe = sont les deux membres : le membre de gauche et le membre de droite.
Une solution est une valeur de l’inconnue qui rend l’égalité vraie. Résoudre une équation, c’est trouver toutes ses solutions.
Tester un nombre : je le mets à la place de x, je calcule séparément chaque membre, puis je compare. S’ils sont égaux, ce nombre est solution.
Quand l’inconnue ne subit qu’une opération, j’applique l’opération inverse :
• x + b = c donne x = c − b ; x − b = c donne x = c + b ; b − x = c donne x = b − c ;
• ax = c (avec a différent de 0) donne x = c ÷ a ; si la division ne tombe pas juste, la solution exacte est la fraction .
Pour x = 4 : membre de gauche 5 × 4 − 3 = 17 ; membre de droite 2 × 4 + 9 = 17. Les deux membres sont égaux : 4 est solution.
Pour x = 1 : membre de gauche 5 × 1 − 3 = 2 ; membre de droite 2 × 1 + 9 = 11. Les deux membres sont différents : 1 n’est pas solution.
Avec un nombre négatif : −2 est-il solution de 3x + 7 = 1 ? Membre de gauche : 3 × (−2) + 7 = 1 ; membre de droite : 1. Oui, −2 est solution.
On peut aussi tester un nombre dans une équation qui contient x², comme x² + 2 = 3x : pour x = 2, à gauche 2² + 2 = 6 et à droite 3 × 2 = 6, donc 2 est solution. Résoudre ce type d’équation n’est pas au programme de 4e. Cette année, on résout les équations du premier degré : l’inconnue n’y apparaît qu’à la puissance 1 (pas de x², pas de x au dénominateur).
Résoudre en une étape (rappel de 5e)
x + 17 = 5 → x = 5 − 17 = −12. Vérification : −12 + 17 = 5 ✓
x − 2,7 = 4,1 → x = 4,1 + 2,7 = 6,8. Vérification : 6,8 − 2,7 = 4,1 ✓
15 − x = 21 → x = 15 − 21 = −6. Vérification : 15 − (−6) = 21 ✓
−6x = 27 → x = 27 ÷ (−6) = −4,5. Vérification : (−6) × (−4,5) = 27 ✓
11x = 4 → x = : la division de 4 par 11 ne tombe pas juste, la solution exacte est la fraction.
Réflexe — pour tester, je calcule chaque membre séparément, en mettant les nombres négatifs entre parenthèses ; pour une équation à une seule opération, j’applique l’opération inverse à l’autre membre, puis je vérifie.
Attention — tester n’est pas résoudre : savoir que 1 n’est pas solution ne dit rien sur la vraie solution. Écrire 3 × −2 sans parenthèses fait perdre le signe. Et dans −6x = 27, le signe − fait partie du nombre qui multiplie x : on divise par −6.
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Les règles de transformation : résoudre ax + b = c
Quand l’inconnue subit deux opérations, comme dans 4x + 9 = 1, on transforme l’équation pas à pas en agissant sur les deux membres à la fois. Une équation se comporte comme une balance en équilibre : ce que l’on fait sur un plateau, on le fait sur l’autre.
Règle 2 — On peut multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul.
L’équation obtenue a exactement les mêmes solutions : on dit qu’elle est équivalente. Ce sont les opérations inverses de la 5e, faites sur les deux membres.
Pour résoudre ax + b = c :
1. j’isole le terme en x en enlevant b des deux membres ;
2. je divise les deux membres par a, le coefficient de x (le nombre qui multiplie x, avec son signe) ;
3. je vérifie.
x − 5,5 = 2 → on ajoute 5,5 aux deux membres : x = 2 + 5,5 = 7,5.
−3x = 12 → on divise les deux membres par −3 : x = 12 ÷ (−3) = −4.
→ on multiplie les deux membres par 4 : x = 6 × 4 = 24.
Deux étapes : d’abord + ou −, ensuite × ou ÷
4x + 9 = 1 → on soustrait 9 aux deux membres : 4x = 1 − 9 = −8 → on divise les deux membres par 4 : x = (−8) ÷ 4 = −2. Vérification : 4 × (−2) + 9 = 1 ✓
7 − 2x = 16 → on soustrait 7 aux deux membres : −2x = 16 − 7 = 9 → on divise par −2 : x = 9 ÷ (−2) = −4,5. Vérification : 7 − 2 × (−4,5) = 16 ✓
→ on ajoute 1 aux deux membres : → on multiplie par 6 : x = 3 × 6 = 18. Vérification : 18 ÷ 6 − 1 = 2 ✓
5x = 3 → on divise par 5 : x = = 0,6.
Une solution peut être négative, décimale ou fractionnaire : on ne force jamais un résultat entier.
Réflexe — j’écris une étape par ligne en notant l’opération faite sur les deux membres : d’abord j’enlève le nombre seul, ensuite je divise par le coefficient de x.
Attention — dans 7 − 2x, le coefficient de x est −2 (le signe fait partie du terme) : on divise par −2, pas par 2. Diviser les deux membres, c’est diviser tous les termes : 4x + 12 = 20 divisé par 4 donne x + 3 = 5, et non x + 12 = 5. Enfin, on ne divise jamais par 0 : c’est pourquoi la règle 2 exige un nombre non nul.
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Résoudre ax + b = cx + d
Quand l’inconnue figure dans les deux membres, on utilise les mêmes règles, avec une étape de plus : on regroupe les termes en x dans un seul membre. Soustraire 3x aux deux membres est permis : 3x est un nombre, même s’il est inconnu.
1. je réduis chaque membre ; s’il y a des parenthèses, je développe : k(a + b) = ka + kb, et un signe − devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes ;
2. je regroupe les termes en x dans un membre, en soustrayant (ou en ajoutant) le même terme en x aux deux membres ;
3. je regroupe les nombres dans l’autre membre ;
4. je divise par le coefficient de x, puis je vérifie dans l’équation de départ.
Avec un quotient, comme , je commence par multiplier les deux membres par le dénominateur ; avec deux dénominateurs, par un multiple commun aux deux (pour 2 et 3 : par 6), en multipliant tous les termes.
8x − 5 = 3x + 20 → on soustrait 3x aux deux membres : 5x − 5 = 20 → on ajoute 5 : 5x = 25 → on divise par 5 : x = 5.
Vérification : 8 × 5 − 5 = 35 ; 3 × 5 + 20 = 35 ✓
3(x − 2) = x + 8 → on développe : 3x − 6 = x + 8 → on soustrait x : 2x − 6 = 8 → 2x = 14 → x = 7.
Vérification : 3 × (7 − 2) = 15 ; 7 + 8 = 15 ✓
2x + 9 = 5x − 3 : le plus grand coefficient est à droite, on soustrait 2x aux deux membres : 9 = 3x − 3 → on ajoute 3 : 12 = 3x → x = 4.
Vérification : 2 × 4 + 9 = 17 ; 5 × 4 − 3 = 17 ✓
→ on multiplie les deux membres par 2 : x + 7 = 4x − 2 → on soustrait x : 7 = 3x − 2 → 9 = 3x → x = 3.
Vérification : (3 + 7) ÷ 2 = 5 ; 2 × 3 − 1 = 5 ✓
Aucune solution ou une infinité de solutions
Il arrive que les termes en x disparaissent quand on les regroupe. L’égalité qui reste décide.
2x + 1 = 2x + 6 → on soustrait 2x aux deux membres : il reste 1 = 6, ce qui est faux quelle que soit la valeur de x. L’équation n’a aucune solution.
3(x + 1) = 3x + 3 → on développe : 3x + 3 = 3x + 3, égalité vraie pour toute valeur de x. Tous les nombres sont solutions : il y en a une infinité.
Réflexe — je regroupe les termes en x du côté où leur coefficient est le plus grand : le coefficient obtenu est positif et les signes restent simples. Je vérifie toujours dans l’équation de départ.
Attention — pour enlever 2x d’un membre, on soustrait 2x aux deux membres : 6x − 4 = 2x + 8 devient 4x − 4 = 8, donc 4x = 12 et x = 3. Écrire « 6x + 2x » est une erreur fréquente : on n’ajoute pas un terme qu’on veut faire disparaître. Devant une parenthèse, le signe − porte sur tous ses termes : 10 − (x + 4) donne 10 − x − 4, et non 10 − x + 4.
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Mettre un problème en équation
Une équation permet de résoudre un problème où l’on cherche un nombre : on lui donne un nom, x, et on écrit ce que dit l’énoncé.
2. J’exprime les autres grandeurs en fonction de x, puis je traduis l’énoncé par une équation : la même quantité, écrite de deux façons.
3. Je résous l’équation.
4. Je vérifie dans l’énoncé et je conclus par une phrase avec l’unité ; la réponse doit avoir du sens (un nombre d’élèves est entier, un âge est positif).
| Dans l’énoncé | En calcul littéral |
|---|---|
| le double, le triple de x | 2x, 3x |
| x augmenté de 5 ; x diminué de 5 | x + 5 ; x − 5 |
| la moitié de x | |
| le triple de la somme de x et de 2 | 3(x + 2) |
| trois entiers consécutifs | x ; x + 1 ; x + 2 |
| « vaut », « est égal à », « coûte autant que » | = |
« Un livre coûte 3 € de plus qu’un cahier ; les deux ensemble coûtent 11,50 €. » Soit x le prix du cahier, en euros ; le livre coûte x + 3. Équation : x + (x + 3) = 11,5, soit 2x + 3 = 11,5 → 2x = 8,5 → x = 4,25.
Vérification : 4,25 + 7,25 = 11,5 ✓ Le cahier coûte 4,25 € et le livre 7,25 €.
« Lou a 18 € et met 5 € de côté chaque semaine ; Tom a 42 € et met 2 € de côté chaque semaine. Dans combien de semaines auront-ils la même somme ? » Soit x le nombre de semaines. Équation : 18 + 5x = 42 + 2x → on soustrait 2x : 18 + 3x = 42 → 3x = 24 → x = 8.
Vérification : 18 + 5 × 8 = 58 ; 42 + 2 × 8 = 58 ✓ Dans 8 semaines, ils auront chacun 58 €.
Réflexe — je relis l’énoncé en remplaçant le nombre cherché par la solution trouvée : chaque phrase doit être vraie.
Attention — les deux membres de l’équation doivent désigner la même grandeur, dans la même unité. Une réponse impossible, comme 2,5 élèves ou un âge négatif, signale une erreur de mise en équation ou de calcul.
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Pour aller plus loin
Liens — développer k(a + b) et réduire un membre avant de résoudre : voir Calcul littéral : développer, factoriser, réduire. Les calculs avec des nombres négatifs (règle des signes) : voir Relatifs : multiplier, diviser, enchaîner les opérations. Les premières équations, x + b = c et ax = c : voir Équations : x + b = c et ax = c (5e).
Se verra en 3e — les équations produit nul, comme (x − 2)(x + 5) = 0, et les équations x² = a, en lien avec la racine carrée.
- Une solution rend l’égalité vraie : pour tester un nombre, je calcule chaque membre séparément, les nombres négatifs entre parenthèses.
- Rappels de 5e : x + b = c donne x = c − b ; ax = c donne x = c ÷ a, et la solution exacte est une fraction si la division ne tombe pas juste.
- On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres, les multiplier ou les diviser par un même nombre non nul : l’équation obtenue a les mêmes solutions.
- ax + b = c : j’enlève b des deux membres, puis je divise par le coefficient a, avec son signe.
- ax + b = cx + d : je développe, je regroupe les x d’un côté et les nombres de l’autre, je divise, puis je vérifie ; si les x disparaissent, il n’y a aucune solution, ou il y en a une infinité.
- Problème : je choisis l’inconnue, j’écris l’équation, je la résous, je vérifie dans l’énoncé et je réponds par une phrase.
Questions fréquentes
Comment savoir si un nombre est solution d’une équation ?
On remplace l’inconnue par ce nombre et on calcule séparément les deux membres. Pour 6x − 1 = 2x + 7 et x = 2 : à gauche 6 × 2 − 1 = 11, à droite 2 × 2 + 7 = 11 ; les deux membres sont égaux, donc 2 est solution. Un nombre négatif s’écrit entre parenthèses : 6 × (−2).
Quelles sont les règles pour transformer une équation ?
On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres, et multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul : l’équation obtenue a les mêmes solutions. Pour 3x − 7 = 11, on ajoute 7 aux deux membres (3x = 18), puis on les divise par 3 : x = 6.
Comment résoudre une équation qui a des x des deux côtés ?
On développe s’il y a des parenthèses, on regroupe les termes en x d’un côté et les nombres de l’autre, puis on divise par le coefficient de x. Pour 7x + 2 = 3x + 18 : on soustrait 3x, 4x + 2 = 18, donc 4x = 16 et x = 4. Vérification : 7 × 4 + 2 = 30 et 3 × 4 + 18 = 30.
Une équation peut-elle n’avoir aucune solution ?
Oui, quand les x disparaissent et qu’il reste une égalité fausse : 4x + 3 = 4x + 8 donne 3 = 8, il n’y a aucune solution. Si l’égalité qui reste est toujours vraie, comme pour 2(x − 5) = 2x − 10, tous les nombres sont solutions : il y en a une infinité.
Comment mettre un problème en équation ?
On choisit l’inconnue (« soit x l’âge du plus jeune »), on écrit la même quantité de deux façons, on résout, on vérifie dans l’énoncé et on répond par une phrase. Deux frères ont 27 ans à eux deux et l’aîné a 5 ans de plus : x + (x + 5) = 27, soit 2x + 5 = 27, donc x = 11. Ils ont 11 ans et 16 ans.
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