Qu'est-ce qu'une équation du premier degré en 4e ?

C'est une égalité contenant une inconnue (souvent $x$) où $x$ n'apparaît qu'à la puissance 1, par exemple $3x+5=14$. Résoudre l'équation, c'est trouver toutes les valeurs de $x$ qui rendent l'égalité vraie.

Quelles sont les deux règles pour résoudre une équation ?

On peut ajouter ou soustraire le même nombre des deux côtés du signe $=$, et on peut multiplier ou diviser les deux côtés par un même nombre non nul. Ces opérations ne changent pas la solution.

Comment vérifier la solution d'une équation ?

On remplace $x$ par la valeur trouvée dans l'équation de départ et on calcule séparément le membre de gauche et le membre de droite : s'ils donnent le même nombre, la solution est correcte.

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Les équations du 1er degré

Résoudre $a x + b = c x + d$ : inconnue, solution, méthode pas à pas et problèmes (programme de 4e)

À propos de cette page

Ce cours de mathématiques en quatrième sur « Les équations du 1er degré » suit le programme officiel de mathématiques de quatrième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Qu'est-ce qu'une équation ?, Tester si un nombre est solution, Les règles de transformation, Résoudre ax + b = c. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de quatrième à réussir en mathématiques.

Qu'est-ce qu'une équation ?

Définitions. Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu, noté le plus souvent

x

: l'inconnue. Les deux expressions de part et d'autre du signe

=

sont les membres. Une solution est une valeur de

x

qui rend l'égalité vraie. Résoudre, c'est trouver toutes les solutions.

Exemple.

5 x - 3 = 2 x + 9

. Membre de gauche :

5 x - 3

; membre de droite :

2 x + 9

.
Pour

x = 4

5 \times 4 - 3 = 17

2 \times 4 + 9 = 17

→

4

est solution.
Pour

x = 1

2

11

→

1

n'est pas solution.

Premier degré. L'inconnue n'apparaît qu'à la puissance

1

(pas de

x^{2}

, pas de

x

au dénominateur). Une telle équation a en général une seule solution.

Tester si un nombre est solution

Méthode. On remplace

x

par la valeur proposée, on calcule séparément chaque membre, puis on compare.

Exemple.

- 2

est-il solution de

3 x + 7 = 1

?
Membre de gauche :

3 \times (- 2) + 7 = - 6 + 7 = 1

. Membre de droite :

1

. Égaux : oui,

- 2

est solution.

Attention ! Tester n'est pas résoudre : on vérifie une valeur donnée, on ne la trouve pas. Et un nombre qui n'est pas solution ne dit rien sur la vraie solution.

Astuce. Mets les valeurs négatives entre parenthèses :

3 \times (- 2)

et non

3 \times - 2

, pour ne pas perdre le signe.

Les règles de transformation

Une équation se comporte comme une balance en équilibre : ce qu'on fait à un plateau, on le fait à l'autre.

Règle 1. On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres.
Règle 2. On peut multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul.
La nouvelle équation a exactement les mêmes solutions : on dit qu'elle est équivalente.

Exemples.

x - 5, 5 = 2

→ on ajoute

5, 5

x = 7, 5

- 3 x = 12

→ on divise par

- 3

x = - 4

\frac{x}{4} = 6

→ on multiplie par

4

x = 24

Résoudre ax + b = c

Méthode. 1) Isoler le terme en

x

en enlevant le nombre

b

des deux côtés. 2) Diviser les deux membres par le coefficient

a

Exemple 1.

4 x + 9 = 1

4 x = 1 - 9 = - 8

x = - 8 \div 4 = - 2

.
Exemple 2.

7 - 2 x = 16

- 2 x = 16 - 7 = 9

x = 9 \div (- 2) = - 4, 5

Attention ! Dans

7 - 2 x

, le coefficient de

x

est

- 2

(le signe fait partie du terme). On divise par

- 2

, pas par

2

Astuce. Une solution peut être négative, décimale ou fractionnaire :

5 x = 3

donne

x = \frac{3}{5} = 0, 6

. Ne force jamais un résultat entier.

Résoudre ax + b = cx + d

Méthode en 4 étapes.
1. Réduire chaque membre (développer s'il y a des parenthèses).
2. Regrouper les $x$ d'un côté (soustraire le terme en

x

le plus petit).
3. Regrouper les nombres de l'autre côté.
4. Diviser par le coefficient de

x

, puis vérifier.

Exemple 1.

8 x - 5 = 3 x + 20

8 x - 3 x - 5 = 20

→

5 x - 5 = 20

5 x = 25

→

x = 5

.
Vérification :

8 \times 5 - 5 = 35

3 \times 5 + 20 = 35

✓

Exemple 2 (avec parenthèses).

3 (x - 2) = x + 8

3 x - 6 = x + 8

→

2 x - 6 = 8

→

2 x = 14

→

x = 7

Astuce. Regroupe les

x

du côté où leur coefficient est le plus grand : le coefficient obtenu est positif et les signes restent simples.

Mettre un problème en équation

Les quatre temps.
1. Choisir l'inconnue : « Soit

x

le prix du cahier, en euros. »
2. Traduire l'énoncé par une équation.
3. Résoudre.
4. Conclure par une phrase, avec l'unité, et vérifier que la réponse a du sens.

Exemple. Un livre coûte

3

€ de plus qu'un cahier ; les deux ensemble coûtent

11, 50

€.
Soit

x

le prix du cahier. Le livre coûte

x + 3

. Équation :

x + (x + 3) = 11, 5

, soit

2 x + 3 = 11, 5

2 x = 8, 5

x = 4, 25

.
Le cahier coûte

4, 25

€ et le livre

7, 25

€ (

4, 25 + 7, 25 = 11, 50

✓).

Dans l'énoncé	En calcul littéral
le double, le triple de $x$	$2 x$ , $3 x$
$x$ augmenté de $5$ / diminué de $5$	$x + 5$ / $x - 5$
la moitié de $x$	$\frac{x}{2}$
trois entiers consécutifs	$x$ , $x + 1$ , $x + 2$
« vaut », « est égal à », « le même prix »	$=$

Cas particuliers, vérification et erreurs

Deux cas particuliers. Si les

x

disparaissent :
•

0 x = 5

(par exemple

2 x + 1 = 2 x + 6

) : aucune solution ;
•

0 x = 0

(par exemple

3 (x + 1) = 3 x + 3

) : tous les nombres sont solutions.

Les erreurs classiques.
① Ne pas faire l'opération des deux côtés.
② Oublier le signe : dans

9 - 4 x = 1

, on obtient

- 4 x = - 8

, donc

x = 2

(et non

- 2

).
③ Diviser un seul terme :

2 x + 6 = 10

donne

x + 3 = 5

si on divise tout par

2

, pas

x + 6 = 5

.
④ Sauter la vérification.

En bref

Une solution rend l'égalité vraie ; on la teste en calculant chaque membre séparément.
On transforme une équation en ajoutant, soustrayant, multipliant ou divisant (par un nombre non nul) les deux membres.
$a x + b = c x + d$ : réduire, regrouper les $x$ d'un côté, les nombres de l'autre, diviser par le coefficient.
Mise en équation : choisir l'inconnue, traduire, résoudre, conclure avec l'unité.
$0 x =$ nombre non nul : pas de solution ; $0 x = 0$ : tous les nombres.
Toujours vérifier la solution dans l'équation de départ.

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