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Collège · 4ᵉ · Mathématiques

Développement et factorisation

Développer $k(a+b)$, utiliser la double distributivité et factoriser une expression littérale (programme de 4e)

À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en quatrième sur « Développement et factorisation » suit le programme officiel de mathématiques de quatrième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Rappels : expression littérale, produit et somme, Développer avec la distributivité simple $k(a+b)$, Réduire une expression développée, La double distributivité $(a+b)(c+d)$. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de quatrième à réussir en mathématiques.
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Rappels : expression littérale, produit et somme

En 4e, on calcule de plus en plus avec des lettres : $x$, $a$, $b$… Une expression littérale est une expression qui contient au moins une lettre, comme $3x + 2$ ou $5(a + 1)$.

Vocabulaire. Une somme est une suite d'additions ou de soustractions (les morceaux séparés par $+$ ou $-$ sont les termes). Un produit est une multiplication (les morceaux multipliés sont les facteurs).
Somme$3x + 6$  : deux termes, $3x$ et $6$
Produit$3 \times (x + 2)$  : deux facteurs, $3$ et $(x+2)$
Astuce. Devant une lettre ou une parenthèse, le signe $\times$ est sous-entendu : on écrit $3x$ pour $3 \times x$, et $4(x+1)$ pour $4 \times (x+1)$. Mais entre deux nombres, on garde le $\times$ : $3 \times 5$.
Attention ! Ne confonds pas $2x$ (qui vaut $2 \times x$) et $x^2$ (qui vaut $x \times x$). Pour $x = 3$ : $2x = 6$ mais $x^2 = 9$.
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Développer avec la distributivité simple $k(a+b)$

Développer, c'est transformer un produit en une somme, c'est-à-dire supprimer les parenthèses. L'outil principal s'appelle la distributivité.

Règle (distributivité simple). Pour tous nombres $k$, $a$, $b$ :
$$k(a + b) = k \times a + k \times b \qquad k(a - b) = k \times a - k \times b$$Le facteur $k$ est « distribué » à chaque terme de la parenthèse.

On peut visualiser cette règle avec l'aire d'un rectangle : un rectangle de hauteur $k$ et de longueur $a + b$ se découpe en deux rectangles d'aires $k \times a$ et $k \times b$.

Exemple. Développons $3(x + 2)$.
$3(x + 2) = 3 \times x + 3 \times 2 = 3x + 6$.
Exemple avec une soustraction. $5(2x - 4) = 5 \times 2x - 5 \times 4 = 10x - 20$.
Attention au signe « moins » ! Devant une parenthèse, $-2(x + 3) = -2 \times x + (-2) \times 3 = -2x - 6$. Le facteur négatif change le signe de chaque terme.
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Réduire une expression développée

Après avoir développé, on cherche presque toujours à réduire l'expression : on regroupe les termes qui se ressemblent pour l'écrire le plus simplement possible.

Termes semblables. Deux termes sont semblables s'ils ont la même partie littérale. On ne peut additionner entre eux que des termes semblables :
• les termes en $x$ avec les termes en $x$ ;
• les nombres seuls (constantes) avec les nombres seuls.
Exemple. Réduisons $4x + 3 + 2x + 5$.
On regroupe les $x$ : $4x + 2x = 6x$. On regroupe les nombres : $3 + 5 = 8$.
Résultat : $6x + 8$.
Exemple complet (développer puis réduire).
$2(x + 4) + 3(x - 1) = 2x + 8 + 3x - 3 = 5x + 5$.
Attention ! On ne peut pas additionner $5x$ et $3$ : ces termes ne sont pas semblables. $5x + 3$ reste $5x + 3$, on ne va pas plus loin.
Astuce. Pour ne rien oublier, souligne les termes en $x$ d'une couleur et les nombres d'une autre avant de regrouper.
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La double distributivité $(a+b)(c+d)$

Quand on multiplie deux sommes entre elles, on utilise la double distributivité : chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde.

Règle (double distributivité). Pour tous nombres $a$, $b$, $c$, $d$ :
$$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$$On obtient quatre produits que l'on additionne, puis on réduit.

Quatre flèches, quatre produits : voici l'ordre des multiplications.

Exemple. Développons $(x + 2)(x + 3)$.
$(x + 2)(x + 3) = x \times x + x \times 3 + 2 \times x + 2 \times 3$
$= x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$.
Exemple avec des soustractions. $(x - 1)(x + 4) = x^2 + 4x - x - 4 = x^2 + 3x - 4$.
Attention aux signes ! $(x - 2)(x - 5) = x^2 - 5x - 2x + 10 = x^2 - 7x + 10$. Le produit de deux nombres négatifs ($-2 \times -5$) donne $+10$.
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Factoriser : reconnaître un facteur commun

Factoriser, c'est l'opération inverse du développement : on transforme une somme en un produit en mettant en évidence un facteur commun à tous les termes.

Règle (factorisation). On lit la distributivité de droite à gauche :
$$k \times a + k \times b = k(a + b)$$Le facteur commun $k$ se trouve dans chaque terme : on le met devant une parenthèse.
Exemple. Factorisons $5x + 5y$.
Le facteur commun est $5$ : $5x + 5y = 5(x + y)$.
Exemple. Factorisons $7x + 14$.
$14 = 7 \times 2$, donc le facteur commun est $7$ : $7x + 14 = 7(x + 2)$.
Facteur commun = une lettre. Factorisons $3x + x^2$.
$x^2 = x \times x$, donc le facteur commun est $x$ : $3x + x^2 = x(3 + x)$.
Astuce vérification. Pour vérifier une factorisation, il suffit de redévelopper : si on retrouve l'expression de départ, c'est juste. Ici $x(3 + x) = 3x + x^2$. ✔
Attention ! Cherche le plus grand facteur commun. $6x + 9$ se factorise par $3$ (et non par $1$) : $6x + 9 = 3(2x + 3)$.
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Développer ou factoriser : que choisir ?

Développer et factoriser sont deux chemins opposés. Selon ce qu'on cherche, on emprunte l'un ou l'autre.

Développerdu produit vers la somme  ($k(a+b) \to ka + kb$) : on supprime les parenthèses
Factoriserde la somme vers le produit  ($ka + kb \to k(a+b)$) : on fait apparaître des parenthèses
Comment savoir ? Lis bien la consigne. « Développer et réduire » : tu enlèves les parenthèses. « Factoriser » : tu fais apparaître un facteur commun. « Calculer pour $x = …$ » : tu remplaces $x$ par sa valeur.
Exemple (calculer une valeur). Pour l'expression $A = 4(x + 5)$, calculons $A$ quand $x = 3$.
$A = 4 \times (3 + 5) = 4 \times 8 = 32$.
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Calcul mental malin grâce au calcul littéral

La distributivité n'est pas réservée aux lettres : elle rend aussi le calcul mental plus rapide. On découpe un nombre en une somme facile à multiplier.

Exemple. Calculons $7 \times 102$ de tête.
$7 \times 102 = 7 \times (100 + 2) = 7 \times 100 + 7 \times 2 = 700 + 14 = 714$.
Exemple avec une soustraction. $25 \times 98 = 25 \times (100 - 2) = 2500 - 50 = 2450$.
Astuce. Choisis le découpage qui tombe sur un nombre rond ($100$, $10$, $50$…). C'est exactement la même règle $k(a \pm b) = ka \pm kb$, mais appliquée à des nombres.
Factoriser pour aller plus vite. $17 \times 6 + 17 \times 4 = 17 \times (6 + 4) = 17 \times 10 = 170$. On factorise par $17$, le facteur commun.
En bref
  • Développer = transformer un produit en somme (on enlève les parenthèses) : $k(a+b) = ka + kb$.
  • Double distributivité : $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$ (quatre produits, puis on réduit).
  • Réduire = regrouper les termes semblables (les $x$ ensemble, les nombres ensemble).
  • Factoriser = transformer une somme en produit en mettant en évidence le facteur commun : $ka + kb = k(a+b)$.
  • Pour vérifier une factorisation, on redéveloppe.
  • La distributivité accélère aussi le calcul mental : $7 \times 102 = 7 \times 100 + 7 \times 2 = 714$.
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