Calcul littéral : développer, factoriser, réduire

Rappels de 5ᵉ (traduire une phrase, écrire et calculer une expression, somme ou produit), distributivité simple k(a + b) = ka + kb et k(a − b) = ka − kb avec des nombres relatifs, supprimer des parenthèses précédées d’un signe −, réduire une expression (termes en x², en x et nombres), factoriser par un facteur commun (nombre, lettre ou les deux), identité, contre-exemple et démonstration par le calcul littéral.

À propos de cette page

Ce cours de maths de 4e sur le calcul littéral reprend la 5e puis va plus loin en cinq parties : écrire et calculer une expression, y compris pour une valeur négative ; développer avec la distributivité simple et un facteur négatif ou littéral, supprimer des parenthèses précédées d’un signe moins ; réduire avec des termes en x² ; factoriser par un facteur commun ; distinguer une égalité vraie pour une valeur d’une identité et démontrer avec une lettre.

Rappels de 5ᵉ : écrire et calculer une expression, somme ou produit

Ce chapitre prolonge la 5ᵉ : avant de développer avec des nombres relatifs, on reprend tout ce qui a été vu sur les expressions littérales.

Ce qu’il faut savoir Une expression littérale est un calcul qui contient une ou plusieurs lettres ; chaque lettre désigne un nombre, qui peut changer (une variable).
Conventions d’écriture : on supprime le signe × devant une lettre ou devant une parenthèse, et le nombre s’écrit devant la lettre :

3 \times x = 3 x

;

x \times 5 = 5 x

;

a \times b = a b

;

1 \times x = x

;

x \times x = x^{2}

;

2 \times (a + b) = 2 (a + b)

. Jamais entre deux nombres :

3 \times 4

ne s’écrit pas

34

.
Écrire une expression : le double de

n

s’écrit

2 n

, le triple

3 n

, la moitié

\frac{n}{2}

, le carré

n^{2}

; le successeur d’un entier

n

(l’entier qui le suit) est

n + 1

, son prédécesseur

n - 1

.
Valeur d’une expression : je remets les signes × cachés, je remplace la lettre par sa valeur (entre parenthèses si elle est négative), puis je calcule en respectant les priorités.
Somme ou produit ? Une expression porte le nom de la dernière opération effectuée : une somme (ou une différence) a des termes ; un produit a des facteurs.

Exemples

$7 \times y = 7 y$ · $t \times 4 = 4 t$ · $1 \times b = b$ · $m \times m = m^{2}$ · $6 \times (n - 2) = 6 (n - 2)$ . Dans l’autre sens : $9 x^{2} = 9 \times x \times x$ .

« Le double de la somme de $b$ et $7$ » s’écrit $2 (b + 7)$ : on calcule d’abord la somme, les parenthèses le disent. « La somme du double de $b$ et de $7$ » s’écrit $2 b + 7$ .

$5 x - 8$ pour $x = 3$ : $5 \times 3 - 8 = 15 - 8 = 7$ .
Pour $x = - 2$ : $5 \times (- 2) - 8 = - 10 - 8 = - 18$ (en 4ᵉ, on sait multiplier des relatifs).

$x^{2} - 4 x$ pour $x = - 3$ : $(- 3)^{2} = 9$ et $(- 4) \times (- 3) = 12$ , donc la valeur est $9 + 12 = 21$ .

Expression	Nature	Pourquoi
$4 y + 7$	somme	on ajoute en dernier ; termes $4 y$ et $7$
$4 (y + 7)$	produit	on multiplie en dernier ; facteurs $4$ et $(y + 7)$
$x^{2} - 3 x$	différence	on soustrait en dernier ; c’est aussi la somme de $x^{2}$ et de $- 3 x$
$(x - 1) (x + 2)$	produit	deux facteurs entre parenthèses

Calculer de tête avec la distributivité (5ᵉ)

Avec des nombres, la distributivité permet de calculer de tête : on découpe un facteur autour d’un nombre rond, ou on regroupe deux produits qui ont un facteur commun.

Exemples

$9 \times 98 = 9 \times (100 - 2) = 900 - 18 = 882$

$14 \times 6 + 14 \times 4 = 14 \times (6 + 4)$
$= 14 \times 10 = 140$

Réflexe — je réécris l’expression avec tous ses signes ×, je remplace la lettre (entre parenthèses si elle est négative), puis je calcule en respectant les priorités : puissances, puis × et ÷, puis + et −.

Attention — $x + x = 2 x$ , mais $x \times x = x^{2}$ . Pour $x = 4$ , $3 x$ vaut $3 \times 4 = 12$ , pas $34$ . Et pour $x = - 5$ , $x^{2}$ vaut $(- 5)^{2} = 25$ : sans parenthèses, on calculerait l’opposé de $5^{2}$ .

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Développer : la distributivité simple avec des relatifs

Ce qu’il faut savoir Distributivité simple : pour tous nombres relatifs

k

a

b

k (a + b) = k a + k b

k (a - b) = k a - k b

.
Le facteur

k

est distribué : il multiplie chaque terme de la parenthèse, avec son signe. Transformer ainsi un produit en somme, c’est développer.
Pour multiplier deux termes, on multiplie les nombres entre eux et les lettres entre elles :

3 x \times 2 x = 6 x^{2}

;

(- 4) \times 3 x = - 12 x

;

x \times 9 = 9 x

Image. Un rectangle de largeur $k$ et de longueur $a + b$ a pour aire $k (a + b)$ ; coupé en deux rectangles, son aire vaut $k a + k b$ . Les deux écritures décrivent la même surface. La règle reste vraie pour tous les relatifs, même quand on ne peut plus dessiner de rectangle.

Exemples

$6 (3 x + 5) = 6 \times 3 x + 6 \times 5 = 18 x + 30$ · $4 (3 y - 2) = 4 \times 3 y - 4 \times 2 = 12 y - 8$

$x (x + 9) = x \times x + x \times 9 = x^{2} + 9 x$ · $2 x (4 x - 3) = 2 x \times 4 x - 2 x \times 3 = 8 x^{2} - 6 x$

Avec un facteur négatif, on écrit la différence comme une somme : $x - 7 = x + (- 7)$ .
$- 2 (x - 7) = (- 2) \times x + (- 2) \times (- 7)$
$= - 2 x + 14$

$- 5 (3 a + 2) = (- 5) \times 3 a + (- 5) \times 2$
$= - 15 a - 10$

Supprimer des parenthèses précédées d’un signe + ou −

Un signe − devant une parenthèse, c’est multiplier par $- 1$ : $- (a + b) = - a - b$ et $- (a - b) = - a + b$ . L’opposé d’une somme est la somme des opposés : on supprime la parenthèse et on change le signe de chaque terme. Un signe + devant une parenthèse ne change rien : on la supprime simplement.

Exemples

$- (x + 6) = - x - 6$ · $- (5 - 2 y) = - 5 + 2 y$

$10 + (3 x - 4) = 10 + 3 x - 4 = 3 x + 6$ · $8 - (x - 3) = 8 - x + 3 = 11 - x$

Réflexe — je trace une flèche du facteur vers chaque terme de la parenthèse et j’écris chaque produit avec son signe avant de calculer : autant de termes, autant de produits.

Attention — $3 (x + 4) \neq 3 x + 4$ : le $3$ multiplie aussi le $4$ . Oublier le second terme est l’erreur la plus fréquente du chapitre. Avec un facteur négatif, tous les signes changent : $- 4 (x - 2) = - 4 x + 8$ , et non $- 4 x - 8$ .

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Réduire une expression

Ce qu’il faut savoir Deux termes sont semblables s’ils ont la même partie littérale :

7 x

- 2 x

;

3 x^{2}

x^{2}

;

5

- 8

(deux nombres seuls). Le nombre écrit devant la lettre est le coefficient ;

- x

a pour coefficient

- 1

.
Réduire une expression, c’est regrouper les termes semblables en ajoutant leurs coefficients :

7 x - 2 x = (7 - 2) x = 5 x

. Chaque terme garde le signe placé devant lui. Des termes qui ne sont pas semblables ne se regroupent pas.
On range en général l’expression réduite dans l’ordre : termes en

x^{2}

, termes en

x

, nombre seul.

Exemples

$7 x + 3 - 2 x + 8 = 5 x + 11$ (les $x$ : $7 x - 2 x = 5 x$ ; les nombres : $3 + 8 = 11$ )

$3 x^{2} + 2 x - x^{2} + 4 x = 2 x^{2} + 6 x$ (termes en $x^{2}$ : $3 x^{2} - x^{2} = 2 x^{2}$ ; termes en $x$ : $2 x + 4 x = 6 x$ )

$- 4 x + 9 - x - 12 = - 5 x - 3$ (les $x$ : $- 4 x - x = - 5 x$ ; les nombres : $9 - 12 = - 3$ )

$5 x + 4$ ne se réduit pas : $5 x$ et $4$ ne sont pas semblables.

Méthode. Je souligne les termes en $x^{2}$ , j’entoure les termes en $x$ , je laisse les nombres seuls ; je recopie chaque terme avec le signe placé devant lui.

Développer, puis réduire

Quand l’expression contient des produits, je développe d’abord chaque produit ; le signe placé devant une parenthèse fait partie du facteur. Ensuite je réduis.

Exemples

$5 (x - 2) - 3 (2 x - 4)$
$= 5 x - 10 - 6 x + 12$ (le facteur $- 3$ multiplie $2 x$ et $- 4$ )
$= - x + 2$

$x (x + 3) - (2 x - 7)$
$= x^{2} + 3 x - 2 x + 7$
$= x^{2} + x + 7$

Réflexe — je développe d’abord, puis je regroupe les termes en $x^{2}$ , les termes en $x$ et les nombres, en vérifiant à la fin que chaque terme a été compté une seule fois, avec son signe.

Attention — $x^{2} + x$ ne donne ni $x^{3}$ ni $2 x^{2}$ : les deux termes ne sont pas semblables, l’expression est déjà réduite. Et $6 x - x = 5 x$ , car $x$ compte pour $1 x$ : le résultat n’est pas $6$ .

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Factoriser par un facteur commun

Ce qu’il faut savoir Factoriser, c’est l’inverse de développer : transformer une somme en un produit. On lit la distributivité de droite à gauche :

k a + k b = k (a + b)

k a - k b = k (a - b)

.
Le facteur commun

k

est présent dans chaque terme : ce peut être un nombre, une lettre, ou les deux (

5 x

). On l’écrit une seule fois, devant la parenthèse, et on met dans la parenthèse ce qui reste de chaque terme, avec le même signe. Factoriser au maximum, c’est choisir le plus grand facteur commun.

Méthode. 1) Je cherche le plus grand facteur commun : le plus grand nombre qui divise tous les coefficients, puis la lettre présente dans tous les termes. 2) J’écris chaque terme sous la forme $k \times \dots$ 3) Je vérifie en développant de tête.

Exemples

$8 x + 28 = 4 \times 2 x + 4 \times 7 = 4 (2 x + 7)$ (facteur commun : $4$ )

$3 x^{2} + 5 x = x \times 3 x + x \times 5 = x (3 x + 5)$ (facteur commun : $x$ )

$10 y^{2} - 4 y = 2 y \times 5 y - 2 y \times 2 = 2 y (5 y - 2)$ (facteur commun : $2 y$ )

Factoriser pour calculer ou pour prouver

Exemples

$37 \times 13 - 37 \times 3 = 37 \times (13 - 3)$
$= 37 \times 10 = 370$

Pour tout nombre entier $n$ , $12 n + 18 = 6 \times 2 n + 6 \times 3 = 6 (2 n + 3)$ : c’est $6$ fois un nombre entier, donc un multiple de $6$ .

Réflexe — je cherche d’abord le nombre (les tables de multiplication m’aident), puis la lettre ; après avoir factorisé, je redéveloppe de tête pour retrouver l’expression de départ.

Attention — $18 x + 27 = 9 (2 x + 3)$ et non $9 (2 x + 27)$ : chaque terme est divisé par le facteur commun. Et $7 x + 7 = 7 (x + 1)$ : le $1$ ne disparaît pas, car $7 = 7 \times 1$ . Enfin, $18 x + 12 = 2 (9 x + 6)$ est juste mais pas factorisé au maximum : $18 x + 12 = 6 (3 x + 2)$ .

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Égalité, identité et démonstration

Ce qu’il faut savoir Une égalité qui contient une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d’autres. Une égalité vraie pour toutes les valeurs de la lettre s’appelle une identité :

k (a + b) = k a + k b

en est une.
Tester une égalité : pour une valeur de la lettre, je calcule séparément les deux membres. S’ils diffèrent, l’égalité est fausse pour cette valeur : c’est un contre-exemple, et l’égalité n’est pas une identité. S’ils sont égaux, on ne peut rien conclure pour les autres valeurs.
Démontrer une identité : je transforme un membre (développer, réduire, factoriser) jusqu’à obtenir l’autre. Le calcul littéral traite toutes les valeurs d’un coup.

Exemples

$(x + 1)^{2} = x^{2} + 1$ ? Pour $x = 2$ : à gauche $(2 + 1)^{2} = 3^{2} = 9$ ; à droite $2^{2} + 1 = 5$ . $9 \neq 5$ : $x = 2$ est un contre-exemple, l’égalité est fausse. Un seul contre-exemple suffit.

$3 x + 5 = 5 x + 3$ ? Pour $x = 1$ : $8$ et $8$ , elle est vraie. Pour $x = 0$ : $5$ et $3$ , elle est fausse. Vraie pour une valeur, ce n’est pas une identité.

$4 (x - 1) + 6 = 4 x + 2$ ? En développant le membre de gauche : $4 x - 4 + 6 = 4 x + 2$ . On obtient le membre de droite : c’est une identité, vraie pour tout $x$ .

Choisir la bonne forme

Je veux…	Forme utile
calculer une valeur, comparer deux expressions, simplifier	développée et réduite
montrer qu’un nombre est un multiple de $3$ , de $6$ …	factorisée

Astuce. Une expression et sa forme développée ou factorisée sont égales pour toute valeur de $x$ : remplacer $x$ par $10$ dans la forme de départ et dans la forme obtenue est un contrôle rapide de mon calcul.

Démontrer avec une lettre

Exemples

Programme : « Choisir un nombre, le multiplier par $10$ , ajouter $14$ , prendre la moitié du résultat, puis soustraire $5$ fois le nombre de départ. »
Avec $x$ : $10 x + 14 = 2 (5 x + 7)$ , dont la moitié est $5 x + 7$ ; puis $5 x + 7 - 5 x = 7$ . Quel que soit le nombre choisi, le résultat est $7$ .

Un nombre pair s’écrit $2 n$ , un nombre impair $2 n + 1$ ( $n$ entier). Deux impairs consécutifs s’écrivent $2 n + 1$ et $2 n + 3$ : leur somme vaut $4 n + 4 = 4 (n + 1)$ , c’est toujours un multiple de $4$ .

Ce que « démontrer » veut dire. Tester avec $5$ , $12$ et $100$ ne prouve rien pour tous les nombres ; le calcul littéral, lui, traite toutes les valeurs à la fois.

Réflexe — pour prouver qu’une égalité est fausse, je cherche un contre-exemple ; pour prouver qu’elle est toujours vraie, je transforme un membre jusqu’à obtenir l’autre.

Attention — un essai qui marche ne prouve pas une identité, même s’il marche pour plusieurs nombres. Et pour tester, je calcule chaque membre séparément, sans rien transformer.

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Pour aller plus loin

Avant ce chapitre — les règles des signes pour multiplier des relatifs : voir Relatifs : multiplier, diviser, enchaîner les opérations ; le carré et les puissances d’un nombre : voir Puissances : exposant positif et puissances de 10.

Ensuite — trouver la valeur de $x$ qui rend vraie une égalité comme $3 x - 5 = x + 7$ , c’est résoudre une équation : on développe et on réduit chaque membre avant de résoudre. Voir Équations : résoudre une équation du premier degré.

Se verra en 3ᵉ — la double distributivité, pour développer un produit de deux sommes comme $(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d$ , les identités remarquables, la factorisation par une parenthèse commune comme $5 (x + 1) + x (x + 1)$ et l’équation produit nul.

À retenir

Une expression porte le nom de sa dernière opération : 4(y + 7) est un produit, 4y + 7 une somme. On développe un produit, on factorise une somme.
Développer : k(a + b) = ka + kb et k(a − b) = ka − kb pour tous nombres relatifs ; avec un facteur négatif, chaque signe change : −2(x − 7) = −2x + 14.
Un signe − devant une parenthèse change le signe de chaque terme : −(a − b) = −a + b ; un signe + ne change rien.
Réduire : on regroupe les termes semblables (en x², en x, nombres seuls) en ajoutant leurs coefficients ; x² + x est déjà réduite.
Factoriser : ka + kb = k(a + b), avec le plus grand facteur commun (nombre et lettre) : 3x² + 5x = x(3x + 5).
Une identité est vraie pour toutes les valeurs : un contre-exemple suffit à prouver qu’une égalité est fausse, des essais ne prouvent jamais qu’elle est toujours vraie.

Questions fréquentes

Comment savoir si une expression est une somme ou un produit ?

On cherche la dernière opération effectuée, en respectant les priorités. Dans 5(n − 3), on calcule n − 3, puis on multiplie par 5 : c’est un produit. Dans 5n − 3, on calcule 5n, puis on soustrait 3 : c’est une différence. On développe un produit, on factorise une somme.

Comment développer quand le nombre devant la parenthèse est négatif ?

Le facteur multiplie chaque terme avec son signe : −3(4x − 1) = (−3) × 4x + (−3) × (−1) = −12x + 3. Tous les signes de la parenthèse changent. Un signe − seul devant une parenthèse vaut −1 : −(a − b) = −a + b.

Comment réduire une expression littérale ?

On regroupe les termes semblables, ceux qui ont la même partie littérale, en ajoutant leurs coefficients : 2x² − 5x + 3x − 7x² = −5x² − 2x. Un terme en x² et un terme en x ne se regroupent pas ; s’il y a des parenthèses, on développe d’abord.

Comment factoriser une expression ?

On cherche le plus grand facteur commun à tous les termes (nombre et lettre), on l’écrit devant une parenthèse et on y met ce qui reste de chaque terme : 15x² + 10x = 5x × 3x + 5x × 2 = 5x(3x + 2). On vérifie en redéveloppant.

Quelle est la différence entre une égalité vraie et une identité ?

L’égalité 2x + 3 = 11 n’est vraie que pour x = 4. L’égalité 2(x + 3) = 2x + 6 est vraie pour toutes les valeurs de x : c’est une identité. Un seul contre-exemple prouve qu’une égalité n’est pas une identité ; pour prouver une identité, on développe ou on factorise un membre jusqu’à obtenir l’autre.

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