Développer, réduire, factoriser et démontrer en 4ᵉ
À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en quatrième sur « Développement et factorisation » suit le programme officiel de mathématiques de quatrième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Le calcul littéral : convention d'écriture, Substituer : remplacer une lettre par un nombre, Réduire une expression, Développer avec la simple distributivité : k(a + b). Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de quatrième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Le calcul littéral : conventions d'écriture
2 · Substituer une lettre par un nombre
3 · Réduire une expression
4 · Développer : simple distributivité k(a+b)
5 · Le signe « − » devant une parenthèse
6 · Développer : double distributivité (a+b)(c+d)
7 · Factoriser par un facteur commun
8 · Factoriser par une parenthèse commune
9 · Programmes de calcul & démontrer une égalité
1Le calcul littéral : convention d'écriture
En 4ᵉ, on calcule avec des lettres qui représentent des nombres (souvent appelées variables). C'est le calcul littéral. Pour alléger l'écriture, on supprime le signe « × » dans certains cas.
Règle d'écriture. On ne met PAS le signe × :
devant une lettre : 4 × a = 4a · x × y = xy ;
devant une parenthèse : 3 × (a + 2) = 3(a + 2) ;
le nombre s'écrit toujours en premier : on écrit 5a, jamais a5.
Mais on garde le signe × entre deux nombres : 3 × 7 ne peut pas s'écrire « 37 » !
Écriture longue
Écriture simplifiée
7 × x
7x
a × b × 5
5ab
1 × x
x (le 1 disparaît)
x × x
x² (« x au carré »)
⚠️ 2x et x² sont différents : 2x = x + x (une addition) alors que x² = x × x (une multiplication). Pour x = 3 : 2x = 6 mais x² = 9.
2Substituer : remplacer une lettre par un nombre
Substituer (ou « calculer la valeur d'une expression »), c'est remplacer chaque lettre par sa valeur, puis effectuer les calculs en respectant les priorités opératoires.
Méthode pas à pas.
1. Je réécris l'expression en remettant les signes × cachés.
2. Je remplace chaque lettre par sa valeur (entre parenthèses si besoin).
3. Je calcule : d'abord les puissances, puis les × et ÷, enfin les + et −.
Exemple. Calculons A = 5x + 3 pour x = 4.
A = 5 × 4 + 3 = 20 + 3 = 23.
Exemple avec un carré. Calculons B = 2x² + 1 pour x = 3.
B = 2 × 3² + 1 = 2 × 9 + 1 = 18 + 1 = 19. On calcule le carré AVANT la multiplication.
💡 Une même expression peut donner des résultats différents selon la valeur de la lettre : pour x = 0, 5x + 3 = 3 ; pour x = 10, 5x + 3 = 53.
3Réduire une expression
Réduire une expression, c'est l'écrire avec le moins de termes possible en regroupant ceux qui se ressemblent. On ne peut additionner que des termes semblables.
Termes semblables. Ce sont des termes qui ont exactement la même partie littérale : 3x et 7x sont semblables ; 4x et 4x² ne le sont PAS (l'un a x, l'autre x²).
Pour additionner des termes semblables, on additionne les nombres devant (les coefficients) et on garde la partie littérale :
Exemple complet. Réduire 4x + 5 + 3x + 2.
On regroupe les « x » ensemble et les nombres seuls ensemble :
= (4x + 3x) + (5 + 2) = 7x + 7.
Avec des carrés. Réduire 2x² + 3x + x² + 5x.
= (2x² + x²) + (3x + 5x) = 3x² + 8x. On ne mélange jamais les x² et les x !
⚠️ Erreur classique :3x + 2 ne se réduit PAS en « 5x ». Le 2 n'a pas de « x » : ce ne sont pas des termes semblables. La réponse reste 3x + 2.
4Développer avec la simple distributivité : k(a + b)
Développer, c'est transformer un produit (une multiplication) en une somme (des additions / soustractions). On « distribue » le facteur sur chaque terme de la parenthèse.
Règle de simple distributivité.
k(a + b) = k×a + k×b = ka + kb
k(a − b) = k×a − k×b = ka − kb
On peut visualiser avec l'aire d'un rectangle de hauteur k partagé en deux : aire totale = k(a + b) = somme des deux aires ka + kb.
⚠️ Piège majeur :−(x − 7) change le signe de chaque terme → −x + 7, et non « −x − 7 ». Un « − » devant une parenthèse inverse TOUS les signes à l'intérieur.
💡 Astuce de vérification : remplace la lettre par un nombre dans l'expression de départ ET dans le résultat. Si tu obtiens la même valeur, ton développement est sûrement juste.
6Développer avec la double distributivité : (a + b)(c + d)
Quand on multiplie deux parenthèses, on multiplie chaque terme de la première par chaque terme de la seconde. Cela fait 4 produits.
Règle de double distributivité.
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
On peut le visualiser comme l'aire d'un grand rectangle de côtés (a + b) et (c + d), découpé en 4 petits rectangles :
Astuce des 4 flèches. On relie chaque terme de gauche aux deux de droite, dans cet ordre : 1er×1er, 1er×2e, 2e×1er, 2e×2e. On n'oublie ainsi aucun produit.
⚠️ Surveille bien les signes du 2ᵉ terme : dans (x − 4)(x + 5), le « −4 » multiplie aussi le « +5 » → on obtient « −20 ».
7Factoriser : repérer un facteur commun
Factoriser, c'est l'opération inverse du développement : on transforme une somme en un produit. On cherche un facteur commun présent dans chaque terme et on le « met en facteur ».
Règle de factorisation.
ka + kb = k(a + b)
ka − kb = k(a − b)
Le facteur commun k sort devant la parenthèse.
Méthode pas à pas.
1. Je repère ce qui est commun à tous les termes (un nombre, une lettre, ou les deux).
2. J'écris ce facteur commun, puis une parenthèse.
3. Dans la parenthèse, j'écris ce qu'il reste de chaque terme après avoir retiré le facteur commun.
4. Je vérifie en redéveloppant : je dois retrouver le départ.
Exemple 1 (nombre commun). Factoriser 5x + 5×7, c'est-à-dire 5x + 35.
Le facteur commun est 5 : 5x + 35 = 5×x + 5×7 = 5(x + 7).
Exemple 2 (lettre commune). Factoriser x² + 3x.
x² = x×x et 3x = x×3 : le facteur commun est x → x(x + 3).
Exemple 3 (nombre et lettre). Factoriser 6a + 9a².
6a = 3a×2 et 9a² = 3a×3a : le facteur commun est 3a → 3a(2 + 3a).
💡 Pour trouver « ce qu'il reste » dans la parenthèse, demande-toi : « par quoi dois-je multiplier le facteur commun pour retomber sur ce terme ? »
8Factoriser quand le facteur commun est une parenthèse
Le facteur commun n'est pas toujours un nombre ou une lettre : ça peut être une parenthèse entière, qu'on traite alors comme un seul bloc.
Idée. Si une même expression (a + b) apparaît dans chaque terme, on la met en facteur :
(a + b)×c + (a + b)×d = (a + b)(c + d)
Exemple. Factoriser (x + 2)×7 + (x + 2)×x.
Le facteur commun est le bloc (x + 2) → (x + 2)(7 + x).
⚠️ Bien identifier le bloc commun entier : ici on ne factorise pas par x, mais par toute la parenthèse (x − 1).
9Programmes de calcul & démontrer une égalité
Un programme de calcul est une suite d'instructions appliquée à un nombre de départ. Le calcul littéral permet de prouver qu'un programme donne toujours le même type de résultat, quel que soit le nombre choisi.
Méthode. On choisit une lettre (par ex. x) pour le nombre de départ, on traduit chaque étape en une expression, puis on développe et on réduit pour conclure.
Exemple de programme.
• Choisir un nombre.
• Lui ajouter 3.
• Multiplier le résultat par 2.
• Retirer le double du nombre de départ. Traduction : départ x → x + 3 → 2(x + 3) → 2(x + 3) − 2x. Calcul : 2(x + 3) − 2x = 2x + 6 − 2x = 6. Conclusion : ce programme donne toujours 6, quel que soit le nombre choisi !
Démontrer une égalité (prouver que deux expressions sont égales)
Principe. Pour montrer que deux expressions sont égales pour toute valeur de la lettre, on les développe et réduit chacune de son côté : si on obtient la même expression réduite, l'égalité est démontrée.
Exemple. Démontrer que (x + 1)(x + 4) = x² + 5x + 4.
Membre de gauche : (x + 1)(x + 4) = x² + 4x + x + 4 = x² + 5x + 4.
C'est exactement le membre de droite → l'égalité est vraie pour tout nombre x.
⚠️ Tester avec un seul nombre ne suffit PAS à démontrer une égalité (ça peut marcher par hasard). En revanche, un seul contre-exemple suffit à prouver qu'une égalité est fausse.
🎓 Récap express : développer = produit → somme (on distribue) · réduire = regrouper les termes semblables · factoriser = somme → produit (facteur commun) · simple distributivité k(a+b)=ka+kb · double (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd · pour démontrer une égalité, on développe/réduit les deux membres.