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Équations : produit nul et x² = a
Rappels de 4e (carré, racine carrée d’un nombre positif, carrés parfaits, encadrement et valeur approchée), propriété du produit nul et équations (ax + b)(cx + d) = 0, factoriser pour s’y ramener (facteur commun, parenthèse commune, différence de deux carrés), équations x² = a selon le signe de a, résolues par le calcul et graphiquement, et problèmes de longueurs et d’aires.
À propos de cette page
Rappels de 4e : carré et racine carrée
En 4e, on a défini la racine carrée d’un nombre positif : c’est le chemin inverse du carré. En 3e, elle sert à résoudre les équations x² = a (partie 4). On reprend donc tout ici.
Un carré parfait est le carré d’un nombre entier. Les carrés des entiers de 0 à 12 se connaissent par cœur.
Soit a un nombre positif ou nul. La racine carrée de a, notée √a, est le nombre positif ou nul dont le carré est égal à a : √a ≥ 0 et (√a)² = a. Ainsi √0 = 0 et √1 = 1.
La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas : aucun carré n’est négatif.
Si un nombre entier n’est pas un carré parfait, sa racine carrée n’est pas un nombre décimal : √a est la valeur exacte, la calculatrice n’en donne qu’une valeur approchée, écrite avec ≈.
Pour encadrer √a entre deux entiers consécutifs, je cherche deux carrés parfaits consécutifs : si n² < a < (n + 1)², alors n < √a < n + 1.
Les carrés des entiers de 1 à 15 (par cœur jusqu’à 12) :
| a | a² | a | a² | a | a² |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 6 | 36 | 11 | 121 |
| 2 | 4 | 7 | 49 | 12 | 144 |
| 3 | 9 | 8 | 64 | 13 | 169 |
| 4 | 16 | 9 | 81 | 14 | 196 |
| 5 | 25 | 10 | 100 | 15 | 225 |
√225 = 15, car 15² = 225 et 15 est positif. Le nombre −15 a lui aussi pour carré 225 : il s’écrit −√225.
√1,21 = 1,1, car 1,1 × 1,1 = 1,21 · √0,25 = 0,5, car 0,5 × 0,5 = 0,25 (et non 0,05, car 0,05 × 0,05 = 0,0025).
(√11)² = 11 : on ne calcule pas √11, on applique la définition.
√(16 + 9) = √25 = 5, alors que √16 + √9 = 4 + 3 = 7 : la racine carrée d’une somme n’est pas la somme des racines carrées.
Encadrer une racine carrée, valeur approchée
√87 : 81 < 87 < 100, c’est-à-dire 9² < 87 < 10², donc 9 < √87 < 10.
La calculatrice affiche √87 ≈ 9,327 379 : au dixième, √87 ≈ 9,3 ; au centième, √87 ≈ 9,33. Écrire √87 = 9,33 serait faux : 9,33 × 9,33 = 87,0489.
Réflexe — pour calculer √a, je cherche le nombre positif qui, multiplié par lui-même, donne a, et je vérifie en l’élevant au carré ; pour encadrer, je place a entre deux carrés parfaits consécutifs.
Attention — √100 vaut 10, pas la moitié de 100. Et −4² n’est pas (−4)² : −4² = −(4 × 4) = −16, alors que (−4)² = (−4) × (−4) = 16 ; à la calculatrice, je mets les parenthèses.
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La propriété du produit nul : résoudre une équation produit
On sait résoudre une équation du premier degré. Quand l’équation est un produit égal à 0, une propriété la découpe en équations du premier degré.
Pour deux facteurs A et B : A × B = 0 équivaut à « A = 0 ou B = 0 ».
« Si et seulement si » dit deux choses : si un facteur est nul, le produit est nul (0 × B = 0) ; et si aucun facteur n’est nul, le produit n’est pas nul.
Une équation produit nul s’écrit (ax + b)(cx + d) = 0. Pour la résoudre :
1. j’écris la phrase : « Un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul » ;
2. j’écris « ax + b = 0 ou cx + d = 0 » et je résous chacune de ces deux équations du premier degré ;
3. je conclus en donnant toutes les solutions (en général deux).
(3x − 9)(x + 1) = 0. Un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul :
3x − 9 = 0 ou x + 1 = 0
3x = 9 ou x = −1
x = 3 ou x = −1.
L’équation a deux solutions : −1 et 3. Vérification pour 3 : (3 × 3 − 9) × (3 + 1) = 0 × 4 = 0 ✓
x(2x + 5) = 0 : x = 0 ou 2x + 5 = 0, c’est-à-dire x = 0 ou 2x = −5. Les solutions sont 0 et −2,5 (car −5 ÷ 2 = −2,5).
(5x − 2)(4x + 3) = 0 : 5x = 2 ou 4x = −3. Les solutions sont 2/5 = 0,4 et −3/4 = −0,75.
Trois facteurs, un facteur répété, un facteur constant
(x − 1)(x + 4)(2x − 3) = 0 : un des trois facteurs est nul. Trois solutions : −4 ; 1 ; 1,5.
(4x + 10)² = 0, c’est (4x + 10)(4x + 10) = 0 : les deux facteurs donnent la même équation 4x + 10 = 0. Une seule solution : −2,5.
6(x − 8) = 0 : le facteur 6 n’est jamais nul, donc x − 8 = 0. Une seule solution : 8.
Réflexe — je vérifie qu’il y a bien un produit d’un côté et 0 de l’autre ; j’écris la phrase de la propriété, je résous chaque facteur séparément et je donne toutes les solutions.
Attention — la propriété ne marche qu’avec « = 0 » : pour (x − 5)(x − 1) = 3, on ne peut pas écrire « x − 5 = 3 ou x − 1 = 3 ». On écrit « ou », pas « et » : x ne vaut pas 3 et −1 à la fois. Et on ne développe pas une équation produit : (3x − 9)(x + 1) = 3x² − 6x − 9, sous la forme 3x² − 6x − 9 = 0, on ne sait plus la résoudre en 3e : c’est la forme produit qui donne les solutions.
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Factoriser pour se ramener à un produit nul
Quand une équation contient des x² qui ne disparaissent pas, on ne peut pas « isoler x ». On la transforme en équation produit nul en factorisant (voir le chapitre Calcul littéral : factoriser).
1. je ramène tous les termes dans un membre, pour obtenir « … = 0 » ;
2. je factorise ce membre : par un facteur commun (un nombre, x, une parenthèse), ou avec la différence de deux carrés a² − b² = (a + b)(a − b) ;
3. j’applique la propriété du produit nul ;
4. je conclus avec toutes les solutions.
On ne divise jamais les deux membres par x ou par une expression qui contient x : elle peut être nulle, et on perdrait une solution.
x² = 7x → x² − 7x = 0 → x(x − 7) = 0 → x = 0 ou x − 7 = 0. Les solutions sont 0 et 7. En divisant par x, on n’aurait trouvé que 7.
(x + 2)(3x − 1) − (x + 2)(x + 5) = 0 : la parenthèse (x + 2) est un facteur commun.
(x + 2)[(3x − 1) − (x + 5)] = 0 → (x + 2)(3x − 1 − x − 5) = 0 → (x + 2)(2x − 6) = 0.
x + 2 = 0 ou 2x − 6 = 0 : les solutions sont −2 et 3.
16x² − 81 = 0 → (4x)² − 9² = 0 → (4x + 9)(4x − 9) = 0 → 4x = −9 ou 4x = 9. Les solutions sont −2,25 et 2,25.
(2x − 1)² − 9 = 0 → (2x − 1)² − 3² = 0 → (2x − 1 + 3)(2x − 1 − 3) = 0 → (2x + 2)(2x − 4) = 0. Les solutions sont −1 et 2.
Tout ramener d’un côté
(x − 3)(2x + 1) = (x − 3)(x + 6) → (x − 3)(2x + 1) − (x − 3)(x + 6) = 0 → (x − 3)(2x + 1 − x − 6) = 0 → (x − 3)(x − 5) = 0. Les solutions sont 3 et 5.
Simplifier par (x − 3) des deux côtés aurait fait perdre la solution 3.
Réflexe — « = 0 » d’abord, puis je factorise, puis le produit nul. Je cherche un facteur commun en premier, sinon une différence de deux carrés.
Attention — une somme comme x² + 25 ne se factorise pas avec a² − b² : d’ailleurs x² + 25 = 0 n’a aucune solution, car x² + 25 vaut au moins 25. Et le signe − devant une parenthèse change tous ses signes : −(x + 6) = −x − 6.
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Les équations x² = a : par le calcul et graphiquement
Une équation où x n’apparaît que dans un carré, comme x² = 49, se résout avec la racine carrée. Le signe du nombre a décide du nombre de solutions.
• si a > 0, deux solutions : √a et −√a ;
• si a = 0, une seule solution : 0 ;
• si a < 0, aucune solution, car un carré n’est jamais négatif.
Pourquoi deux solutions quand a > 0 ? x² = a équivaut à x² − (√a)² = 0, c’est-à-dire (x + √a)(x − √a) = 0 : c’est une équation produit nul.
Graphiquement, les solutions de x² = a sont les abscisses des points d’intersection de la courbe de y = x² (une parabole) et de la droite horizontale d’équation y = a.
Une équation comme 3x² − 5 = 70 se ramène à x² = a : on isole x² d’abord.
x² = 0,49 : 0,49 > 0, deux solutions : x = √0,49 = 0,7 ou x = −0,7.
x² = 30 : deux solutions, √30 et −√30 (valeurs exactes). À la calculatrice, √30 ≈ 5,48.
x² = 0 : une seule solution, 0. · x² = −16 : aucune solution (−4 ne convient pas, car (−4)² = 16).
3x² − 5 = 70 → 3x² = 75 → x² = 25 → x = 5 ou x = −5.
(x + 3)² = 16 : le nombre x + 3 a pour carré 16, donc x + 3 = 4 ou x + 3 = −4. Les solutions sont 1 et −7.
Résoudre graphiquement
La droite y = 5 coupe la parabole en deux points d’abscisses environ −2,2 et 2,2 : l’équation x² = 5 a deux solutions. Par le calcul, ce sont −√5 et √5 (√5 ≈ 2,24) : le graphique ne donne que des valeurs approchées.
La droite y = −2 ne coupe pas la parabole : x² = −2 n’a aucune solution. L’axe des abscisses (y = 0) ne touche la courbe qu’en 0 : x² = 0 a une seule solution.
Longueurs et aires
Un carré a une aire de 20,25 m². Son côté c vérifie c² = 20,25, donc c = 4,5 ou c = −4,5. Une longueur est positive : le côté mesure 4,5 m.
Un disque a une aire de 30 cm². Son rayon r vérifie π × r² = 30, donc r² = 30 ÷ π ≈ 9,549 et r = √(30 ÷ π) ≈ 3,09 cm (la solution négative ne convient pas).
Réflexe — j’isole x², je regarde le signe du nombre obtenu, puis j’écris les deux solutions √a et −√a ; dans un problème de longueur, je garde la solution positive en le disant.
Attention — x² = 25 a deux solutions, 5 et −5, alors que √25 désigne seulement 5. Ne pas confondre x² = 16 (x = 4 ou x = −4) et 2x = 16 (x = 8). Et x² = −16 n’a pas de solution : ni 4 ni −4 n’ont −16 pour carré.
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Pour aller plus loin
Avant ce chapitre — la racine carrée en 4e : voir Racine carrée : définition et carrés parfaits (4e). Factoriser par un facteur commun ou avec a² − b² : voir Calcul littéral : factoriser. Les équations du premier degré, que l’on résout pour chaque facteur : voir Équations : premier degré et mise en équation.
Liens — la courbe d’une fonction et la lecture graphique d’un antécédent : voir la notion de fonction. Le théorème de Pythagore donne aussi une équation du type x² = a : BC² = AB² + AC², puis une racine carrée.
Se verra au lycée — en seconde, on factorise aussi avec (a + b)² et (a − b)² ; en première (spécialité mathématiques), on apprend à résoudre toutes les équations du second degré ax² + bx + c = 0.
- Pour a positif ou nul, √a est le nombre positif ou nul dont le carré vaut a ; la racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas.
- Propriété du produit nul : un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul. A × B = 0 équivaut à A = 0 ou B = 0.
- Une équation avec x² se ramène à « … = 0 », puis se factorise (facteur commun, a² − b²) avant d’appliquer le produit nul.
- On ne divise jamais par x ni par une expression qui contient x : on perdrait une solution.
- x² = a a deux solutions √a et −√a si a > 0, une seule (0) si a = 0, aucune si a < 0 ; ce sont les abscisses des points où la droite y = a coupe la courbe de y = x².
Questions fréquentes
Qu’est-ce que la racine carrée d’un nombre ?
Pour un nombre a positif ou nul, √a est le nombre positif ou nul dont le carré vaut a. Ainsi √225 = 15, car 15 × 15 = 225. La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas. Si a n’est pas un carré parfait, la calculatrice n’en donne qu’une valeur approchée : √87 ≈ 9,33.
Qu’est-ce que la propriété du produit nul ?
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul. Pour (3x − 9)(x + 1) = 0 : 3x − 9 = 0 ou x + 1 = 0, donc x = 3 ou x = −1. Elle ne s’applique qu’avec « = 0 », jamais avec un produit égal à 3.
Comment résoudre une équation avec x² qui n’est pas un produit ?
On ramène tout dans un membre pour avoir « … = 0 », on factorise, puis on applique le produit nul. Pour x² = 7x : x² − 7x = 0, x(x − 7) = 0, donc x = 0 ou x = 7. Pour 16x² − 81 = 0 : (4x + 9)(4x − 9) = 0, donc x = −2,25 ou x = 2,25.
Pourquoi ne faut-il pas diviser par x ?
Parce que x peut valoir 0, et diviser par 0 est impossible. Dans x² = 7x, diviser par x donne seulement x = 7 : on perd la solution 0. On factorise à la place : x(x − 7) = 0.
Combien de solutions a l’équation x² = a ?
Cela dépend du signe de a : deux solutions, √a et −√a, si a > 0 (x² = 0,49 donne 0,7 et −0,7) ; une seule, 0, si a = 0 ; aucune si a < 0, car un carré n’est jamais négatif. Graphiquement, ce sont les abscisses des points où la droite y = a coupe la courbe de y = x².
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