Fiche de révision : équation produit nul et x² = a

Rappels de 4e (carré, racine carrée d’un nombre positif, carrés parfaits, encadrement et valeur approchée), propriété du produit nul et équations (ax + b)(cx + d) = 0, factoriser pour s’y ramener (facteur commun, parenthèse commune, différence de deux carrés), équations x² = a selon le signe de a, résolues par le calcul et graphiquement, et problèmes de longueurs et d’aires.

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benprofparticulier.frMathématiques · 3ᵉ

Équations : produit nul et x² = a

Fiche méthode

(Mathématiques 3ᵉ · Nombres et calculs · Calcul littéral et équations)

La démarche pour résoudre une équation qui contient $x^{2}$

1. J’isole ou je ramène à 0. Si $x$ n’apparaît que dans $x^{2}$ , j’isole $x^{2}$ . Sinon, je ramène tous les termes dans un membre : « … $= 0$ ».

2. Je reconnais la forme. $x^{2} = a$ : racine carrée. Produit $= 0$ : produit nul. Somme $= 0$ : je factorise d’abord (facteur commun, puis $a^{2} - b^{2}$ ).

3. Je conclus avec toutes les solutions, et je vérifie au moins l’une d’elles dans l’équation de départ.

Le réflexe — un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul ;

x^{2} = a

a deux solutions si

a > 0

, une si

a = 0

, aucune si

a < 0

; on ne divise jamais par

x

Cas 1 · Carré et racine carrée (rappels de 4ᵉ)

Réflexe — $\sqrt{a}$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$ ; pour encadrer, je place $a$ entre deux carrés parfaits consécutifs.

Exemple. Calculer $\sqrt{12, 25}$ et encadrer $\sqrt{75}$ entre deux entiers consécutifs.

$3, 5 \times 3, 5 = 12, 25$ et $3, 5$ est positif : $\sqrt{12, 25} = 3, 5$ .

$64 < 75 < 81$ , c’est-à-dire $8^{2} < 75 < 9^{2}$ : $8 < \sqrt{75} < 9$ .

Attention — $\sqrt{a}$ n’est pas la moitié de $a$ , et $- 3^{2} = - 9$ alors que $(- 3)^{2} = 9$ .

Cas 2 · Résoudre une équation produit nul

Réflexe — un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul : j’écris « … $= 0$ ou … $= 0$ » et je résous chaque équation.

Exemple. Résoudre $(2 x + 9) (x - 4) = 0$ .

$2 x + 9 = 0$ ou $x - 4 = 0$ , donc $2 x = - 9$ ou $x = 4$ .

Les solutions sont $- 4, 5$ et $4$ .

Attention — la propriété ne s’applique qu’avec « $= 0$ » ; on écrit « ou », et on ne développe pas.

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Cas 3 · Factoriser pour se ramener à un produit nul

Réflexe — je ramène tout à « $= 0$ », je factorise (facteur commun, sinon $a^{2} - b^{2}$ ), puis j’applique le produit nul.

Exemple 1. Résoudre $6 x^{2} = 15 x$ .

$6 x^{2} - 15 x = 0$ , donc $3 x (2 x - 5) = 0$ .

$3 x = 0$ ou $2 x - 5 = 0$ : les solutions sont $0$ et $2, 5$ .

Exemple 2. Résoudre $100 x^{2} - 9 = 0$ .

$(10 x)^{2} - 3^{2} = 0$ , donc $(10 x + 3) (10 x - 3) = 0$ .

$10 x = - 3$ ou $10 x = 3$ : les solutions sont $- 0, 3$ et $0, 3$ .

Attention — diviser par $x$ fait perdre la solution $0$ .

Cas 4 · Résoudre $x^{2} = a$

Réflexe — j’isole $x^{2}$ ; si $a > 0$ : $\sqrt{a}$ et $- \sqrt{a}$ ; si $a = 0$ : $0$ ; si $a < 0$ : aucune solution.

Exemple. Résoudre $x^{2} = 3, 24$ , puis $2 x^{2} + 128 = 0$ .

$3, 24 > 0$ et $1, 8 \times 1, 8 = 3, 24$ : les solutions sont $1, 8$ et $- 1, 8$ .

$2 x^{2} = - 128$ , donc $x^{2} = - 64$ : un carré n’est jamais négatif, aucune solution.

Attention — dans un problème de longueur, je garde la solution positive en le disant.

Les pièges

Écrire $\sqrt{100} = 50$ : la racine carrée n’est pas la moitié ; $\sqrt{100} = 10$ .
Appliquer le produit nul à $(x - 5) (x - 1) = 3$ : il faut un produit égal à $0$ .
Diviser $x^{2} = 7 x$ par $x$ : on trouve $7$ , mais on perd la solution $0$ .
Donner seulement $5$ pour $x^{2} = 25$ : $- 5$ est aussi solution.
Proposer $- 4$ pour $x^{2} = - 16$ : $(- 4)^{2} = 16$ ; un carré n’est jamais négatif.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche pour résoudre une équation qui contient x² : isoler x² ou tout ramener à « = 0 », reconnaître la forme, factoriser si besoin, conclure avec toutes les solutions. Un exemple corrigé par cas (racine carrée et encadrement, produit nul, facteur commun, différence de deux carrés, x² = a) et les pièges à éviter.

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