Ressources · 3ᵉ · Mathématiques
Équations : produit nul et x² = a
Rappels de 4e (carré, racine carrée d’un nombre positif, carrés parfaits, encadrement et valeur approchée), propriété du produit nul et équations (ax + b)(cx + d) = 0, factoriser pour s’y ramener (facteur commun, parenthèse commune, différence de deux carrés), équations x² = a selon le signe de a, résolues par le calcul et graphiquement, et problèmes de longueurs et d’aires.
À propos de cette page
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile ★ — 12 questions
Un produit de facteurs est nul…
- A. seulement si tous ses facteurs sont nuls à la fois
- B. si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul
- C. quand ses deux facteurs sont des nombres opposés
- D. dès que l’un de ses facteurs est égal à 1
Réponse
B. si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul — C’est la propriété du produit nul : il suffit qu’un seul facteur soit nul ; et si aucun facteur n’est nul, le produit ne l’est pas.
Une équation produit nul se résout grâce à…
- A. la double distributivité
- B. une identité remarquable
- C. l’égalité des produits en croix
- D. la propriété du produit nul
Réponse
D. la propriété du produit nul — A × B = 0 équivaut à A = 0 ou B = 0 : on résout ensuite chaque équation du premier degré.
Les solutions de (x − 4)(x + 9) = 0 sont…
- A. 4 et −9
- B. −4 et 9
- C. 4 et 9
- D. −4 et −9
Réponse
A. 4 et −9 — x − 4 = 0 ou x + 9 = 0, donc x = 4 ou x = −9 : on change le signe du nombre de chaque parenthèse.
√5,76 est égal à…
- A. 2,88
- B. 0,24
- C. 2,4
- D. 24
Réponse
C. 2,4 — 2,4 × 2,4 = 5,76 et 2,4 est positif. 2,88 est la moitié de 5,76 : la racine carrée n’est pas la moitié.
L’équation x² = 64 a…
- A. une seule solution : 8
- B. deux solutions : 32 et −32
- C. deux solutions : 8 et −8
- D. aucune solution
Réponse
C. deux solutions : 8 et −8 — 64 > 0 : x = √64 = 8 ou x = −8, car (−8)² = 64 aussi.
L’équation x² = −36 a…
- A. aucune solution
- B. deux solutions : 6 et −6
- C. une seule solution : −6
- D. une seule solution : −18
Réponse
A. aucune solution — Un carré n’est jamais négatif : aucun nombre n’a −36 pour carré ((−6)² = 36).
(−7)² est égal à…
- A. −49
- B. −14
- C. 14
- D. 49
Réponse
D. 49 — (−7) × (−7) = 49 : le produit de deux nombres négatifs est positif.
Pour résoudre x² = 11x, on commence par…
- A. diviser les deux membres par x
- B. écrire x² − 11x = 0, puis factoriser
- C. prendre la racine carrée des deux membres
- D. développer x² en x × x
Réponse
B. écrire x² − 11x = 0, puis factoriser — x² − 11x = x(x − 11) = 0 donne 0 et 11. Diviser par x ferait perdre la solution 0.
√50 est compris entre…
- A. 6 et 7
- B. 25 et 26
- C. 5 et 6
- D. 7 et 8
Réponse
D. 7 et 8 — 49 < 50 < 64, c’est-à-dire 7² < 50 < 8² : 7 < √50 < 8.
Les solutions de x(x − 12) = 0 sont…
- A. 12 seulement
- B. 0 et 12
- C. 0 et −12
- D. 1 et 12
Réponse
B. 0 et 12 — x = 0 ou x − 12 = 0 : le facteur x donne la solution 0, qu’il ne faut pas oublier.
Les solutions de x² − 900 = 0 sont…
- A. 450 et −450
- B. 30 seulement
- C. 30 et −30
- D. 900 et −900
Réponse
C. 30 et −30 — x² = 900 et √900 = 30 : x = 30 ou x = −30. Ou : (x − 30)(x + 30) = 0.
Sur la courbe de y = x², les solutions de x² = a se lisent…
- A. aux abscisses des points de la courbe d’ordonnée a
- B. sur l’axe des ordonnées, au point de coordonnées (0 ; a)
- C. à l’ordonnée du point le plus bas de la courbe
- D. aux abscisses où la courbe coupe l’axe des abscisses
Réponse
A. aux abscisses des points de la courbe d’ordonnée a — On trace la droite horizontale y = a : les abscisses de ses points d’intersection avec la parabole sont les solutions.
Niveau moyen ★★ — 12 questions
Les solutions de (x + 6)(2x − 1) = 0 sont…
- A. −6 et 1
- B. 6 et 0,5
- C. −6 et 0,5
- D. −6 et −0,5
Réponse
C. −6 et 0,5 — x + 6 = 0 ou 2x − 1 = 0 : x = −6 ou 2x = 1, x = 0,5.
L’équation x² = 5x a pour solutions…
- A. 0 et 5
- B. 5 seulement
- C. 0 seulement
- D. −5 et 5
Réponse
A. 0 et 5 — x² − 5x = 0, donc x(x − 5) = 0 : x = 0 ou x = 5. Diviser par x ferait perdre 0.
x² − 49 = 0 a pour solutions…
- A. 7 seulement
- B. 49 et −49
- C. aucune
- D. 7 et −7
Réponse
D. 7 et −7 — (x − 7)(x + 7) = 0 : x = 7 ou x = −7.
Les solutions de (5x − 3)(x + 2) = 0 sont…
- A. −0,6 et 2
- B. 0,6 et −2
- C. 3 et −2
- D. 5/3 et −2
Réponse
B. 0,6 et −2 — 5x − 3 = 0 donne 5x = 3, x = 3 ÷ 5 = 0,6 ; x + 2 = 0 donne x = −2.
Pour résoudre (x + 1)(7x − 4) = (x + 1)(4x + 11), on…
- A. divise les deux membres par (x + 1), puis résout
- B. développe les deux membres, puis regroupe les x
- C. écrit seulement l’équation 7x − 4 = 4x + 11
- D. écrit (x + 1)[(7x − 4) − (4x + 11)] = 0
Réponse
D. écrit (x + 1)[(7x − 4) − (4x + 11)] = 0 — On ramène tout à « = 0 » et on factorise par (x + 1) : (x + 1)(3x − 15) = 0 donne −1 et 5. Diviser par (x + 1) ferait perdre −1.
Les solutions de 49x² − 100 = 0 sont…
- A. 7/10 et −7/10
- B. 100/49 et −100/49
- C. 10/7 et −10/7
- D. 10 et −10
Réponse
C. 10/7 et −10/7 — (7x)² − 10² = (7x + 10)(7x − 10) = 0 : 7x = −10 ou 7x = 10, donc x = −10/7 ou x = 10/7 (la division ne tombe pas juste).
L’équation 2x² + 18 = 0…
- A. a pour solutions 3 et −3
- B. n’a aucune solution
- C. a pour seule solution −3
- D. a pour solutions 9 et −9
Réponse
B. n’a aucune solution — 2x² = −18, donc x² = −9 : un carré n’est jamais négatif.
Un carré a une aire de 4,41 m². Son côté mesure…
- A. 2,1 m
- B. 2,205 m
- C. 0,21 m
- D. 19,4481 m
Réponse
A. 2,1 m — 2,1 × 2,1 = 4,41 : le côté est 2,1 m. 2,205 est la moitié de l’aire, 19,4481 son carré.
(x + 3)² = 0 a pour solution…
- A. x = 3
- B. x = −3 et x = 3
- C. x = 9
- D. x = −3
Réponse
D. x = −3 — (x + 3)(x + 3) = 0 : les deux facteurs donnent x + 3 = 0, donc une seule solution, −3.
Les solutions de (x − 2)² = 9 sont…
- A. 5 seulement
- B. 5 et −1
- C. 11 et −7
- D. 3 et −3
Réponse
B. 5 et −1 — x − 2 = 3 ou x − 2 = −3, donc x = 5 ou x = −1.
Combien de solutions l’équation (x − 1)(x + 5)(4x − 2) = 0 a-t-elle ?
- A. 3
- B. 2
- C. 1
- D. 0
Réponse
A. 3 — Un des trois facteurs est nul : x = 1, x = −5 ou x = 0,5, soit trois solutions.
La solution positive de x² = 20, arrondie au dixième, est…
- A. 10
- B. 4,4
- C. 4,5
- D. 400
Réponse
C. 4,5 — x = √20 ≈ 4,472, soit 4,5 au dixième. 10 est la moitié de 20 et 400 son carré.
Niveau difficile ★★★ — 12 questions
Pour résoudre (x − 5)(x − 1) = 3, un élève écrit « x − 5 = 3 ou x − 1 = 3 ». C’est…
- A. correct
- B. faux : il faut diviser par 3
- C. faux : le produit doit être égal à 0
- D. correct si x est un nombre entier positif
Réponse
C. faux : le produit doit être égal à 0 — La propriété du produit nul ne s’applique qu’avec « = 0 ». Pour x = 8 : 3 × 7 = 21, pas 3.
Résoudre 2x² − 8 = 0 revient à résoudre…
- A. 2(x − 4)(x + 4) = 0
- B. (2x − 8)(2x + 8) = 0
- C. 2x − 8 = 0
- D. 2(x − 2)(x + 2) = 0
Réponse
D. 2(x − 2)(x + 2) = 0 — 2x² − 8 = 2(x² − 4) = 2(x − 2)(x + 2) : les solutions sont 2 et −2.
Les solutions de (2x − 1)² − 16 = 0 sont…
- A. 8,5 et −7,5
- B. 2,5 et −1,5
- C. 2,5 seulement
- D. 4 et −4
Réponse
B. 2,5 et −1,5 — (2x − 1 − 4)(2x − 1 + 4) = (2x − 5)(2x + 3) = 0 : x = 2,5 ou x = −1,5.
Les solutions de (9x − 2)(x + 1) = 0 sont…
- A. 2/9 et −1
- B. −2/9 et 1
- C. 9/2 et −1
- D. 2/9 et 1
Réponse
A. 2/9 et −1 — 9x − 2 = 0 donne x = 2/9 (la division ne tombe pas juste) ; x + 1 = 0 donne x = −1.
Combien de solutions l’équation (x² + 4)(x − 3) = 0 a-t-elle ?
- A. 1
- B. 2
- C. 3
- D. 0
Réponse
A. 1 — x² + 4 vaut au moins 4 : ce facteur n’est jamais nul. Il reste x − 3 = 0 : une seule solution, 3.
Le carré d’un nombre est égal à son triple. Ce nombre vaut…
- A. 3 seulement
- B. 0 ou −3
- C. 3 ou −3
- D. 0 ou 3
Réponse
D. 0 ou 3 — x² = 3x, donc x(x − 3) = 0 : x = 0 ou x = 3. Les deux conviennent : 0² = 3 × 0 et 3² = 3 × 3.
Les solutions de (x + 4)(2x − 5) = (x + 4)(x + 1) sont…
- A. 6 seulement
- B. 4 et −6
- C. −4 et 6
- D. −4 seulement
Réponse
C. −4 et 6 — (x + 4)[(2x − 5) − (x + 1)] = (x + 4)(x − 6) = 0 : x = −4 ou x = 6. Simplifier par (x + 4) fait perdre −4.
Un disque a une aire de 50 cm². Son rayon, arrondi au millimètre, mesure…
- A. 7,1 cm
- B. 4,0 cm
- C. 8,0 cm
- D. 15,9 cm
Réponse
B. 4,0 cm — π × r² = 50, donc r² = 50 ÷ π ≈ 15,92 et r ≈ 3,99 cm, soit 4,0 cm. 7,1 cm serait √50, sans diviser par π.
Pour quelle valeur de a l’équation x² = a a-t-elle une seule solution ?
- A. a = 1
- B. a < 0
- C. a = 0
- D. a > 0
Réponse
C. a = 0 — Si a > 0, deux solutions ; si a < 0, aucune ; si a = 0, seulement 0. Pour a = 1 : 1 et −1.
Un rectangle a une longueur double de sa largeur ℓ et une aire de 72 cm². ℓ mesure…
- A. 36 cm
- B. 18 cm
- C. 6 cm ou −6 cm
- D. 6 cm
Réponse
D. 6 cm — ℓ × 2ℓ = 72, donc 2ℓ² = 72 et ℓ² = 36 : ℓ = 6 ou ℓ = −6 ; une longueur est positive, ℓ = 6 cm.
Laquelle de ces équations a pour solutions −3 et 3 ?
- A. x² + 9 = 0
- B. x² − 9 = 0
- C. x² = 3
- D. (x − 3)² = 0
Réponse
B. x² − 9 = 0 — x² − 9 = (x − 3)(x + 3) : solutions 3 et −3. x² + 9 = 0 n’en a pas, x² = 3 donne ±√3, (x − 3)² = 0 donne seulement 3.
Pour résoudre (x − 4)² = 25, Inès écrit seulement « x − 4 = 5 ». Elle…
- A. oublie x − 4 = −5, qui donne x = −1
- B. a raison : x = 9 est la seule solution
- C. aurait dû développer (x − 4)² d’abord
- D. aurait dû écrire x − 4 = 25
Réponse
A. oublie x − 4 = −5, qui donne x = −1 — Le nombre x − 4 a pour carré 25 : il vaut 5 ou −5. Les solutions sont 9 et −1.
Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.
Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au collège · Aide aux devoirs