Équations : produit nul et x² = a

Rappels de 4e (carré, racine carrée d’un nombre positif, carrés parfaits, encadrement et valeur approchée), propriété du produit nul et équations (ax + b)(cx + d) = 0, factoriser pour s’y ramener (facteur commun, parenthèse commune, différence de deux carrés), équations x² = a selon le signe de a, résolues par le calcul et graphiquement, et problèmes de longueurs et d’aires.

À propos de cette page

Six problèmes corrigés où l’équation contient un carré ou un produit : un programme de calcul qui donne 0, une terrasse carrée, la chute d’une bille, un carré et un rectangle de même aire, une expression à factoriser puis à développer, et l’arche d’un pont dont on cherche les pieds et la hauteur.

6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je lis l’énoncé et je nomme l’inconnue avec son unité (« soit x la longueur du côté, en cm »).
Je traduis par une équation : une aire, un carré, un produit… et je regarde sa forme : x² = a, produit = 0, ou autre chose à ramener à « = 0 ».
Je résous : racine carrée pour x² = a ; sinon je factorise et j’applique la propriété du produit nul.
Je trie les solutions : une longueur, une durée, un nombre d’objets sont positifs ; je dis pourquoi j’écarte une solution.
Je vérifie dans l’énoncé et je réponds par une phrase, avec l’unité, et un arrondi si la valeur exacte est une racine carrée.

Problème 1 · Le programme de calcul de Yanis★★★Facile

Programme : « Choisir un nombre. Lui soustraire

3

. Multiplier le résultat par la somme du nombre choisi et de

5

. »

1. Quel résultat obtient-on en choisissant $4$ ?
$4 - 3 = 1$ ; $4 + 5 = 9$ ; $1 \times 9 = 9$ .
2. Quel résultat obtient-on en choisissant $- 2$ ?
$- 2 - 3 = - 5$ ; $- 2 + 5 = 3$ ; $(- 5) \times 3 = - 15$ .
3. On choisit $x$ . Écris le résultat sous forme d’un produit :
« Soustraire $3$ » donne $x - 3$ , « la somme du nombre choisi et de $5$ » donne $x + 5$ : le résultat est $(x - 3) (x + 5)$ .
4. Quels nombres faut-il choisir pour obtenir $0$ ? (le plus petit d’abord) ;
$(x - 3) (x + 5) = 0$ : un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul. $x - 3 = 0$ ou $x + 5 = 0$ : il faut choisir $- 5$ ou $3$ .

Problème 2 · La terrasse carrée★★★Facile

Une terrasse carrée a une aire de

30, 25

m². On note

c

la longueur de son côté, en mètres.

1. Solutions de l’équation $c^{2} = 30, 25$ (la plus petite d’abord) : ;
$30, 25 > 0$ et $5, 5 \times 5, 5 = 30, 25$ : $c = 5, 5$ ou $c = - 5, 5$ .
2. Longueur du côté de la terrasse, en m :
Une longueur est positive : on garde $c = 5, 5$ m.
3. Périmètre de la terrasse, en m :
$4 \times 5, 5 = 22$ m.
4. On veut une autre terrasse carrée, d’aire double. Son côté, arrondi au centimètre, en m :
Aire : $2 \times 30, 25 = 60, 5$ m². Le côté vérifie $c^{2} = 60, 5$ et $c > 0$ : $c = \sqrt{60, 5} \approx 7, 778$ m, soit $7, 78$ m. Doubler l’aire ne double pas le côté.

Problème 3 · La bille qui tombe★★★Moyen

On lâche une bille sans vitesse initiale. On admet que, si l’on néglige l’air, la distance

d

(en m) parcourue au bout de

t

secondes est

d = 4, 9 t^{2}

1. Distance parcourue au bout de $2$ s, en m :
$4, 9 \times 2^{2} = 4, 9 \times 4 = 19, 6$ m.
2. La bille tombe d’une hauteur de $44, 1$ m. Durée de la chute, en s :
$4, 9 t^{2} = 44, 1$ , donc $t^{2} = 44, 1 \div 4, 9 = 9$ : $t = 3$ ou $t = - 3$ . Une durée est positive : $3$ s.
3. Durée d’une chute de $100$ m, arrondie au dixième de seconde :
$t^{2} = 100 \div 4, 9 \approx 20, 41$ et $t > 0$ : $t = \sqrt{100 \div 4, 9} \approx 4, 52$ s, soit $4, 5$ s.
4. De quelle hauteur, en m, faut-il la lâcher pour que la chute dure $1, 5$ s ?
$d = 4, 9 \times 1, 5^{2} = 4, 9 \times 2, 25 = 11, 025$ m.

Problème 4 · Le carré et le rectangle★★★Moyen

Un carré a pour côté

x

cm. Un rectangle a pour dimensions

6

cm et

x

cm. On cherche

x

pour que les deux figures aient la même aire.

1. Pour $x = 4$ , aire du carré moins aire du rectangle, en cm² :
Carré : $4^{2} = 16$ cm² ; rectangle : $6 \times 4 = 24$ cm². $16 - 24 = - 8$ : le carré est plus petit.
2. Factorise $x^{2} - 6 x$ :
$x$ est un facteur commun : $x^{2} - 6 x = x \times x - 6 \times x = x (x - 6)$ .
3. Écris l’équation « aire du carré = aire du rectangle » et résous-la. Solutions (la plus petite d’abord) : ;
Aire du carré : $x^{2}$ ; aire du rectangle : $6 x$ . L’équation est $x^{2} = 6 x$ , donc $x^{2} - 6 x = 0$ , puis $x (x - 6) = 0$ : $x = 0$ ou $x = 6$ .
4. Pour quelle longueur $x$ , en cm, les deux aires sont-elles égales ?
$x = 0$ ne donne pas de figure : on garde $x = 6$ cm. Vérification : $6^{2} = 36$ et $6 \times 6 = 36$ .

Problème 5 · Factoriser pour résoudre★★★Difficile

On considère

A = (2 x - 3)^{2} - (x + 1)^{2}

1. Factorise $A$ avec $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ :
$A = [(2 x - 3) - (x + 1)] [(2 x - 3) + (x + 1)] = (2 x - 3 - x - 1) (2 x - 3 + x + 1) = (x - 4) (3 x - 2)$ .
2. Solutions de $A = 0$ (la plus petite d’abord) : ;
$x - 4 = 0$ ou $3 x - 2 = 0$ : $x = 4$ ou $x = \frac{2}{3}$ .
3. Développe et réduis $A$ (coefficients avec leur signe) : $A =$ $x^{2} +$ $x +$
$A = 4 x^{2} - 12 x + 9 - (x^{2} + 2 x + 1) = 4 x^{2} - 12 x + 9 - x^{2} - 2 x - 1 = 3 x^{2} - 14 x + 8$ .
4. Avec la forme développée, résous $A = 8$ (la plus petite solution d’abord) : ;
$3 x^{2} - 14 x + 8 = 8$ , donc $3 x^{2} - 14 x = 0$ , puis $x (3 x - 14) = 0$ : $x = 0$ ou $x = \frac{14}{3}$ . Chaque forme a son usage : factorisée pour $A = 0$ , développée pour $A = 8$ .

Problème 6 · L’arche du pont★★★Difficile

L’arche d’un pont est modélisée ainsi : à

x

mètres de son pied gauche, sa hauteur est

h = 2 x - 0, 05 x^{2}

(en m), pour

x

entre

0

40

1. Hauteur de l’arche à $5$ m du pied gauche, en m :
$2 \times 5 - 0, 05 \times 5^{2} = 10 - 1, 25 = 8, 75$ m.
2. Complète la factorisation : $2 x - 0, 05 x^{2} = 0, 05 x ($ $- x)$
$0, 05 x \times 40 = 2 x$ et $0, 05 x \times x = 0, 05 x^{2}$ : $2 x - 0, 05 x^{2} = 0, 05 x (40 - x)$ .
3. Pour quelles valeurs de $x$ la hauteur est-elle nulle ? (la plus petite d’abord) ;
$0, 05 x (40 - x) = 0$ : $0, 05 x = 0$ ou $40 - x = 0$ , donc $x = 0$ ou $x = 40$ . Ce sont les deux pieds de l’arche : elle mesure $40$ m de large au sol.
4. Hauteur de l’arche en son milieu, en m :
Le milieu est à $x = 20$ m : $0, 05 \times 20 \times (40 - 20) = 1 \times 20 = 20$ m.
5. On admet que $2 x - 0, 05 x^{2} - 15 = 0, 05 (x - 10) (30 - x)$ . À quelles distances du pied gauche la hauteur vaut-elle $15$ m ? ;
$h = 15$ revient à $2 x - 0, 05 x^{2} - 15 = 0$ , c’est-à-dire $0, 05 (x - 10) (30 - x) = 0$ : $x = 10$ ou $x = 30$ . Vérification : $2 \times 10 - 0, 05 \times 100 = 20 - 5 = 15$ .

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