Équations : produit nul et x² = a

Calcule sans calculatrice.

1. $\sqrt{441}=$
   $21\times 21=441$ et $21$ est positif : $\sqrt{441}=21$.
2. $\sqrt{1,96}=$
   $1,4\times 1,4=1,96$ : $\sqrt{1,96}=1,4$ (je pense à $14\times 14=196$).
3. $(-13{)}^2=$
   $(-13)\times (-13)=169$ : le carré d’un nombre négatif est positif.
4. $-6^2=$
   Le carré porte seulement sur $6$ : $-6^2=-(6\times 6)=-36$.
5. $(\sqrt{23}{)}^2=$
   Par définition, le carré de $\sqrt{23}$ vaut $23$ : on ne calcule pas $\sqrt{23}$.

Encadre entre deux entiers consécutifs.

1. $<\sqrt{97}<$
   $81<97<100$, c’est-à-dire $9^2<97<{10}^2$ : $9<\sqrt{97}<10$.
2. $<\sqrt{230}<$
   $225<230<256$, c’est-à-dire ${15}^2<230<{16}^2$ : $15<\sqrt{230}<16$.
3. $<\sqrt{14,5}<$
   $9<14,5<16$ : $3<\sqrt{14,5}<4$.
4. Valeur de $\sqrt{97}$ arrondie au dixième (calculatrice) :
   La calculatrice affiche $9,848857\dots$ : $\sqrt{97}\approx 9,8$. C’est bien entre $9$ et $10$.

Calcule ou réponds.

1. $\sqrt{100-36}=$
   Sous la racine d’abord : $100-36=64$, et $\sqrt{64}=8$. Ce n’est pas $\sqrt{100}-\sqrt{36}=10-6=4$.
2. $2\sqrt{81}-\sqrt{49}=$
   $2\times 9-7=18-7=11$.
3. Le plus petit entier $n$ tel que $\sqrt{n}>15$ :
   $\sqrt{n}>15$ veut dire $n>{15}^2=225$ (les deux nombres sont positifs). Le plus petit entier qui convient est $226$.
4. Côté d’un carré d’aire $0,81$ m², en m :
   Le côté est le nombre positif dont le carré vaut $0,81$ : $0,9\times 0,9=0,81$, donc $0,9$ m.

Résous. Donne les deux solutions, la plus petite d’abord.

1. $(x+7)(x-2)=0$ : $x=$ ou $x=$
   $x+7=0$ ou $x-2=0$, donc $x=-7$ ou $x=2$.
2. $(x-8)(x-3)=0$ : $x=$ ou $x=$
   $x-8=0$ ou $x-3=0$, donc $x=8$ ou $x=3$. La plus petite est $3$.
3. $x(x+11)=0$ : $x=$ ou $x=$
   $x=0$ ou $x+11=0$, donc $x=0$ ou $x=-11$.
4. $(x+6)(x+1)=0$ : $x=$ ou $x=$
   $x+6=0$ ou $x+1=0$ : les deux solutions sont négatives, $-6$ et $-1$.

Résous. Donne les deux solutions, la plus petite d’abord (nombre décimal ou fraction a/b).

1. $(4x+1)(4x-1)=0$ : $x=$ ou $x=$
   $4x=-1$ ou $4x=1$, donc $x=-{\displaystyle \frac{1}{4}}=-0,25$ ou $x={\displaystyle \frac{1}{4}}=0,25$.
2. $(2x-7)(5x+4)=0$ : $x=$ ou $x=$
   $2x=7$ ou $5x=-4$, donc $x=3,5$ ou $x=-0,8$ (car $-4÷5=-0,8$).
3. $(6-3x)(x+9)=0$ : $x=$ ou $x=$
   $6-3x=0$ ou $x+9=0$. $-3x=-6$, donc $x=(-6)÷(-3)=2$ ; et $x=-9$.
4. $(3x+2)(x-6)=0$ : $x=$ ou $x=$
   $3x=-2$ ou $x=6$. $-2÷3$ ne tombe pas juste : on garde la fraction $-{\displaystyle \frac{2}{3}}$.

Un facteur de plus, un facteur répété, un facteur constant.

1. $(2x-1)(x+3)(5x-10)=0$ : solutions dans l’ordre croissant : ; ;
   Un des trois facteurs est nul : $2x-1=0$, $x+3=0$ ou $5x-10=0$, donc $x=0,5$, $x=-3$ ou $x=2$.
2. $4(x+9)=0$ : $x=$
   Le facteur $4$ n’est jamais nul : $x+9=0$, une seule solution, $x=-9$.
3. $(7x-21{)}^2=0$ : $x=$
   $(7x-21)(7x-21)=0$ : les deux facteurs donnent $7x-21=0$, donc $x=21÷7=3$. Une seule solution.
4. Nombre de solutions de $(x-4{)}^2(x+2)=0$ :
   $x-4=0$ (deux fois) ou $x+2=0$ : les solutions sont $4$ et $-2$, soit $2$ solutions.

Factorise par un facteur commun, puis résous. Donne les solutions, la plus petite d’abord.

1. $x^2=9x$ : $x=$ ou $x=$
   $x^2-9x=0$, donc $x(x-9)=0$ : $x=0$ ou $x=9$. En divisant par $x$, on aurait perdu $0$.
2. $5x^2+15x=0$ : $x=$ ou $x=$
   $5x^2+15x=5x(x+3)$. $5x=0$ ou $x+3=0$ : $x=0$ ou $x=-3$.
3. $4x^2=6x$ : $x=$ ou $x=$
   $4x^2-6x=0$, donc $2x(2x-3)=0$ : $x=0$ ou $2x=3$, $x=1,5$.
4. $x^2+8x=0$ : $x=$ ou $x=$
   $x(x+8)=0$ : $x=0$ ou $x=-8$.

Factorise avec $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$, puis résous (la plus petite solution d’abord).

1. $x^2-169=0$ : $x=$ ou $x=$
   $x^2-{13}^2=(x+13)(x-13)$ : $x=-13$ ou $x=13$.
2. $100x^2-49=0$ : $x=$ ou $x=$
   $(10x{)}^2-7^2=(10x+7)(10x-7)$ : $10x=-7$ ou $10x=7$, donc $x=-0,7$ ou $x=0,7$.
3. $(x-3{)}^2-64=0$ : $x=$ ou $x=$
   $(x-3{)}^2-8^2=(x-3+8)(x-3-8)=(x+5)(x-11)$ : $x=-5$ ou $x=11$.
4. $25x^2-36=0$ : $x=$ ou $x=$
   $(5x{)}^2-6^2=(5x+6)(5x-6)$ : $5x=-6$ ou $5x=6$, donc $x=-1,2$ ou $x=1,2$.

Fais apparaître une parenthèse commune, puis résous (la plus petite solution d’abord).

1. $(x-4)(2x+5)+(x-4)(x-11)=0$ : $x=$ ou $x=$
   $(x-4)[(2x+5)+(x-11)]=(x-4)(3x-6)$. $x-4=0$ ou $3x-6=0$ : $x=4$ ou $x=2$.
2. $(2x+1)(x+3)-(2x+1)(4x-6)=0$ : $x=$ ou $x=$
   $(2x+1)[(x+3)-(4x-6)]=(2x+1)(x+3-4x+6)=(2x+1)(-3x+9)$. $2x+1=0$ ou $-3x+9=0$ : $x=-0,5$ ou $x=3$.
3. $(x+9)(4x-1)=(x+9)(x+11)$ : $x=$ ou $x=$
   $(x+9)(4x-1)-(x+9)(x+11)=0$, donc $(x+9)(4x-1-x-11)=(x+9)(3x-12)=0$ : $x=-9$ ou $x=4$. Simplifier par $(x+9)$ aurait fait perdre $-9$.
4. $(x+1{)}^2=(x+1)(3x-7)$ : $x=$ ou $x=$
   $(x+1)(x+1)-(x+1)(3x-7)=0$, donc $(x+1)(x+1-3x+7)=(x+1)(-2x+8)=0$ : $x=-1$ ou $x=4$.

Résous (la plus petite solution d’abord) ou donne le nombre de solutions.

1. $x^2=256$ : $x=$ ou $x=$
   $256>0$ et $16\times 16=256$, donc $\sqrt{256}=16$ : $x=16$ ou $x=-16$.
2. $x^2=0,36$ : $x=$ ou $x=$
   $0,6\times 0,6=0,36$ : $x=0,6$ ou $x=-0,6$.
3. Nombre de solutions de $x^2=-49$ :
   $-49<0$ et un carré n’est jamais négatif : aucune solution ($(-7{)}^2=49$, pas $-49$).
4. Nombre de solutions de $x^2=0$ :
   Seul $0$ a pour carré $0$ : une seule solution.

Isole $x^2$ (ou la parenthèse au carré), puis résous : la plus petite solution d’abord.

1. $3x^2=147$ : $x=$ ou $x=$
   $x^2=147÷3=49$, donc $x=7$ ou $x=-7$.
2. $x^2-7=57$ : $x=$ ou $x=$
   $x^2=57+7=64$, donc $x=8$ ou $x=-8$.
3. $(x-6{)}^2=81$ : $x=$ ou $x=$
   $x-6=9$ ou $x-6=-9$, donc $x=15$ ou $x=-3$.
4. Nombre de solutions de $5x^2+20=0$ :
   $5x^2=-20$, donc $x^2=-4$ : aucun carré n’est négatif, aucune solution.

Valeurs approchées (calculatrice) et longueurs.

1. $x^2=60$ : solution positive arrondie au dixième :
   $x=\sqrt{60}$ ou $x=-\sqrt{60}$ ; la calculatrice donne $\sqrt{60}\approx 7,746$, soit $7,7$ au dixième.
2. $2x^2=34$ : solution négative arrondie au centième :
   $x^2=17$, donc $x=\sqrt{17}$ ou $x=-\sqrt{17}$. $\sqrt{17}\approx 4,123$ : la solution négative est $-\sqrt{17}\approx -4,12$.
3. Un carré a une aire de $58$ cm². Son côté, arrondi au millimètre, en cm :
   Le côté $c$ vérifie $c^2=58$ et $c>0$ : $c=\sqrt{58}\approx 7,616$ cm, soit $7,6$ cm au millimètre.
4. Un disque a une aire de $100$ cm². Son rayon, arrondi au millimètre, en cm :
   $\pi r^2=100$, donc $r^2=100÷\pi \approx 31,83$ et $r=\sqrt{100÷\pi }\approx 5,642$ cm, soit $5,6$ cm.