Calcul littéral : factoriser

Factoriser une somme : facteur commun (nombre, lettre, les deux) et factorisation au maximum en rappel de 4ᵉ, facteur commun entre parenthèses ou caché, différence de deux carrés a² − b² = (a + b)(a − b), et choix entre forme développée et forme factorisée selon le calcul demandé.

À propos de cette page

Ce cours de maths de 3e sur la factorisation reprend le facteur commun vu en 4e (un nombre, une lettre ou les deux, au maximum), puis traite le facteur commun entre parenthèses et le facteur caché, la différence de deux carrés a² − b² = (a + b)(a − b), et la façon de choisir entre forme développée et forme factorisée selon le calcul demandé.

Rappels de 4ᵉ : factoriser par un facteur commun

Ce qu’il faut savoir Factoriser, c’est transformer une somme (ou une différence) en un produit : c’est l’inverse de développer. On lit la distributivité de droite à gauche :

k a + k b = k (a + b)

k a - k b = k (a - b)

.
Le facteur commun

k

se trouve dans chaque terme : un nombre, une lettre ou les deux. On l’écrit une seule fois devant la parenthèse, et on met dans la parenthèse ce qui reste de chaque terme, avec son signe. Factoriser au maximum, c’est mettre en facteur le plus grand facteur commun.

Méthode. 1) Je cherche le plus grand nombre qui divise tous les coefficients, puis la lettre présente dans tous les termes. 2) J’écris chaque terme sous la forme $k \times \dots$ 3) Je vérifie en développant de tête : je dois retrouver l’expression de départ.

Exemples

$6 x + 42 = 6 \times x + 6 \times 7 = 6 (x + 7)$ (facteur commun : $6$ )

$x^{2} - 11 x = x \times x - x \times 11$ $= x (x - 11)$ (facteur commun : $x$ )

$15 x^{2} - 10 x = 5 x \times 3 x - 5 x \times 2$ $= 5 x (3 x - 2)$ (facteur commun : $5 x$ )

Trois termes, ou un calcul astucieux

Le facteur commun doit se trouver dans tous les termes, même s’il y en a trois ou plus. Factoriser sert aussi à calculer de tête.

Exemples

$4 x^{2} - 12 x + 20$ $= 4 \times x^{2} - 4 \times 3 x + 4 \times 5$ $= 4 (x^{2} - 3 x + 5)$ ( $x$ n’est pas dans $20$ : seul $4$ est commun)

$47 \times 23 + 47 \times 77 = 47 \times (23 + 77)$ $= 47 \times 100 = 4 700$

Réflexe — je cherche d’abord le nombre (les tables de multiplication m’aident), puis la lettre ; je redéveloppe de tête pour contrôler.

Attention — $14 x + 7 = 7 (2 x + 1)$ : le $1$ ne disparaît pas, car $7 = 7 \times 1$ . Et $12 x^{2} + 8 x = 2 x (6 x + 4)$ est juste mais pas factorisé au maximum : $6 x$ et $4$ ont encore $2$ en commun, donc $12 x^{2} + 8 x = 4 x (3 x + 2)$ .

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Factoriser par une expression entre parenthèses

Ce qu’il faut savoir Le facteur commun peut être une expression entière entre parenthèses. La règle ne change pas : si

k

désigne cette expression,

k \times a + k \times b = k (a + b)

k \times a - k \times b = k (a - b)

.
On écrit le facteur commun une seule fois, puis, entre crochets, ce qui reste de chaque terme ; on supprime ensuite les crochets et on réduit.
Devant un signe moins, le second reste garde ses parenthèses : en les supprimant, on change le signe de chacun de ses termes.

Exemples

$(x + 3) (2 x - 1) + (x + 3) (x + 4)$ $= (x + 3) [(2 x - 1) + (x + 4)]$
$= (x + 3) (3 x + 3)$

$(x - 5) (3 x + 2) - (x - 5) (x - 7)$ $= (x - 5) [(3 x + 2) - (x - 7)]$
$= (x - 5) (3 x + 2 - x + 7)$ $= (x - 5) (2 x + 9)$

$4 x (x + 6) - 9 (x + 6)$ $= (x + 6) (4 x - 9)$ (facteur commun : $x + 6$ )

Pour factoriser au maximum, je regarde si la parenthèse obtenue a encore un facteur commun : $3 x + 3 = 3 (x + 1)$ , donc $(x + 3) (3 x + 3)$ $= 3 (x + 3) (x + 1)$ .

Faire apparaître un facteur commun caché

Exemples

Un carré est un produit : $(x + 4)^{2} + (x + 4) (2 x - 3)$ $= (x + 4) (x + 4) + (x + 4) (2 x - 3)$
$= (x + 4) [(x + 4) + (2 x - 3)]$ $= (x + 4) (3 x + 1)$

Un terme seul est égal à lui-même fois $1$ : $(2 x - 1) + (2 x - 1) (x + 6)$ $= (2 x - 1) \times 1 + (2 x - 1) (x + 6)$
$= (2 x - 1) [1 + (x + 6)]$ $= (2 x - 1) (x + 7)$

Une première factorisation fait apparaître la parenthèse : $5 x - 10 + (x - 2) (x + 3)$ $= 5 (x - 2) + (x - 2) (x + 3)$
$= (x - 2) [5 + (x + 3)]$ $= (x - 2) (x + 8)$

Réflexe — je repère la parenthèse qui revient dans chaque terme, je l’écris devant, je mets le reste entre crochets, puis je réduis ; je contrôle en développant.

Attention — avec un signe moins devant le second produit, $(x - 5) (3 x + 2) - (x - 5) (x - 7)$ ne donne pas $(x - 5) (3 x + 2 - x - 7)$ : le $- 7$ devient $+ 7$ . Et dans $(2 x - 1) + (2 x - 1) (x + 6)$ , il reste $1$ , pas $0$ .

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Factoriser une différence de deux carrés : a² − b²

Ce qu’il faut savoir Pour tous nombres

a

b

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

.
Une différence de deux carrés se factorise en produit de leur somme par leur différence. On la reconnaît : deux termes, chacun est un carré, séparés par un signe moins.

Pourquoi ? Avec la double distributivité : $(a + b) (a - b) = a^{2} - a b + a b - b^{2}$ $= a^{2} - b^{2}$ , car $- a b$ et $+ a b$ s’annulent.

Méthode. 1) J’écris chaque terme comme un carré : $a^{2}$ et $b^{2}$ . 2) J’identifie $a$ et $b$ . 3) J’écris $(a + b) (a - b)$ et je réduis dans chaque parenthèse.

Exemples

$x^{2} - 121 = x^{2} - 11^{2}$ $= (x + 11) (x - 11)$

$49 - x^{2} = 7^{2} - x^{2} = (7 + x) (7 - x)$

$9 x^{2} - 64 = (3 x)^{2} - 8^{2}$ $= (3 x + 8) (3 x - 8)$

$(x + 2)^{2} - 25 = (x + 2)^{2} - 5^{2}$ $= (x + 2 + 5) (x + 2 - 5)$ $= (x + 7) (x - 3)$

$x^{2} - 13 = x^{2} - (\sqrt{13})^{2}$ $= (x + \sqrt{13}) (x - \sqrt{13})$ ( $13$ n’est pas le carré d’un entier, mais $(\sqrt{13})^{2} = 13$ )

Factoriser au maximum, calculer de tête

Exemples

Facteur commun d’abord : $3 x^{2} - 27 = 3 (x^{2} - 9)$ $= 3 (x^{2} - 3^{2}) = 3 (x + 3) (x - 3)$

$53^{2} - 47^{2} = (53 + 47) (53 - 47)$ $= 100 \times 6 = 600$

Réflexe — deux carrés séparés par un moins : je pense à $(a + b) (a - b)$ ; s’il y a un facteur commun, je le mets d’abord en facteur.

Attention — une somme de deux carrés, comme $x^{2} + 25$ , ne se factorise pas avec cette identité. Et $x^{2} - 36$ n’est pas égal à $(x - 6)^{2}$ : pour $x = 0$ , on trouve $- 36$ d’un côté et $36$ de l’autre ; la bonne factorisation est $(x + 6) (x - 6)$ . Enfin, dans $(x + 2)^{2} - 25$ , je garde $x + 2$ en bloc dans chaque parenthèse.

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Développer ou factoriser : choisir la bonne forme

Ce qu’il faut savoir Une même expression peut s’écrire sous plusieurs formes égales : la forme développée réduite (une somme sans parenthèses, avec au plus un terme en

x^{2}

, un terme en

x

et un nombre) et la forme factorisée (un produit). La dernière opération effectuée donne la forme :

(x + 1) (x - 7)

est un produit,

(x - 3)^{2} - 16

est une différence, ni développée ni factorisée.
On choisit la forme selon le but :
• calculer la valeur pour

x = 0

: la forme développée, car il ne reste que le nombre seul ;
• calculer la valeur pour un nombre qui annule un facteur : la forme factorisée, car un produit dont un facteur vaut

0

vaut

0

;
• préparer la résolution d’une équation «

\dots = 0

» : la forme factorisée ;
• prouver une égalité, montrer qu’un résultat ne dépend pas de

x

ou qu’il est un multiple : je développe ou je factorise, jusqu’à voir le résultat annoncé.

Exemples

$A = (x - 3)^{2} - 16$

Forme développée : $A = (x - 3) (x - 3) - 16$ $= x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - 16 = x^{2} - 6 x - 7$ .

Forme factorisée : $A = (x - 3)^{2} - 4^{2}$ $= (x - 3 + 4) (x - 3 - 4)$ $= (x + 1) (x - 7)$ .

Calcul demandé	Forme choisie	Résultat
$A$ pour $x = 0$	$x^{2} - 6 x - 7$	$0 - 0 - 7 = - 7$
$A$ pour $x = 7$	$(x + 1) (x - 7)$	$8 \times 0 = 0$
$A$ pour $x = 3$	$(x - 3)^{2} - 16$	$0^{2} - 16 = - 16$

Prouver avec la bonne transformation

Exemples

Pour tout nombre entier $n$ : $(n + 4)^{2} - (n - 4)^{2}$ $= [(n + 4) + (n - 4)] [(n + 4) - (n - 4)]$ $= 2 n \times 8 = 16 n$ . C’est toujours un multiple de $16$ .

Programme : « choisir un nombre, le multiplier par le nombre qui le suit, soustraire le nombre de départ ». Avec $x$ : $x (x + 1) - x = x [(x + 1) - 1]$ $= x \times x = x^{2}$ : on obtient toujours le carré du nombre choisi.

Réflexe — avant de calculer, je me demande ce qu’on veut : une valeur, une équation « $\dots = 0$ », une preuve ; puis je choisis la forme qui rend le calcul le plus court.

Attention — les différentes formes sont égales : elles donnent toujours le même résultat. Deux résultats différents signalent une erreur ; je contrôle avec une valeur, par exemple $x = 1$ : $(1 - 3)^{2} - 16 = - 12$ et $(1 + 1) (1 - 7) = - 12$ . Un essai réussi ne prouve pas que deux formes sont égales : seul le calcul littéral le prouve.

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Pour aller plus loin

Avant ce chapitre — le facteur commun a été vu en 4ᵉ : voir Calcul littéral : développer, factoriser, réduire. Développer un produit de deux sommes $(a + b) (c + d)$ et les identités remarquables : voir Calcul littéral : double distributivité et identités remarquables.

Ensuite — la forme factorisée sert à résoudre une équation « produit $= 0$ » : un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul. Voir Équations : produit nul et x² = a.

Pour aller plus loin (hors programme de 3ᵉ, vu en 2nde) — au programme de 3ᵉ, seule l’identité $a^{2} - b^{2}$ sert à factoriser. En 2nde, on reconnaît aussi un carré parfait : $a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}$ et $a^{2} - 2 a b + b^{2} = (a - b)^{2}$ . Par exemple, $x^{2} + 18 x + 81 = (x + 9)^{2}$ , car $81 = 9^{2}$ et $18 x = 2 \times x \times 9$ .

À retenir

Factoriser, c’est transformer une somme en produit : ka + kb = k(a + b). Au maximum, on met en facteur le plus grand facteur commun, nombre et lettre.
Le facteur commun peut être une expression entre parenthèses : on l’écrit une fois et on met le reste entre crochets ; devant un signe −, on change le signe de chaque terme du reste.
Un facteur commun peut être caché : un carré A² est le produit A × A, un terme seul A s’écrit A × 1, et une première factorisation peut faire apparaître la parenthèse.
Différence de deux carrés : a² − b² = (a + b)(a − b). Une somme de deux carrés a² + b² ne se factorise pas ainsi.
On choisit la forme selon le but : développée pour x = 0, factorisée pour une valeur qui annule un facteur ou une équation « … = 0 ». On vérifie une factorisation en développant.

Questions fréquentes

Que veut dire factoriser une expression ?

Factoriser, c’est transformer une somme en produit, l’inverse de développer : ka + kb = k(a + b). Par exemple 11x + 33 = 11(x + 3). On vérifie toujours en développant le résultat : on doit retrouver l’expression de départ.

Comment trouver le plus grand facteur commun ?

On cherche le plus grand nombre qui divise tous les coefficients, puis la lettre présente dans tous les termes. Dans 30x² − 12x, 6 divise 30 et 12, et x est dans les deux termes : 30x² − 12x = 6x(5x − 2).

Comment factoriser quand le facteur commun est une parenthèse ?

On écrit la parenthèse commune une seule fois, puis le reste de chaque terme entre crochets : (x + 8)(x − 2) + (x + 8)(3x + 1) = (x + 8)[(x − 2) + (3x + 1)] = (x + 8)(4x − 1). Devant un signe moins, on change le signe de chaque terme du reste.

Comment factoriser une différence de deux carrés ?

On utilise a² − b² = (a + b)(a − b) : on écrit chaque terme comme un carré, puis on multiplie la somme par la différence. Ainsi x² − 169 = (x + 13)(x − 13) et 64x² − 9 = (8x + 3)(8x − 3). Une somme comme x² + 169 ne se factorise pas ainsi.

Faut-il développer ou factoriser ?

Cela dépend du but. Pour calculer la valeur en x = 0, la forme développée suffit ; pour une valeur qui annule un facteur, ou pour résoudre une équation « … = 0 », on prend la forme factorisée ; pour prouver une égalité, on transforme jusqu’à faire apparaître le résultat annoncé.

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