Combien de temps dure ce contrôle sur « Équations : produit nul et x² = a » ?

55 minutes pour 5 exercices notés sur 20.

Le corrigé est-il fourni ?

Oui : le corrigé complet est fourni en PDF (bouton « Télécharger le corrigé »), avec le barème exercice par exercice.

Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?

Oui : c'est un devoir surveillé complet de 55 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.

Ce sujet suit-il le programme de mathématiques de troisième ?

Oui, il évalue les notions du chapitre « Équations : produit nul et x² = a » du programme officiel de mathématiques en troisième.

Mathématiques 3ᵉ

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Équations : produit nul et x² = a

Rappels de 4e (carré, racine carrée d’un nombre positif, carrés parfaits, encadrement et valeur approchée), propriété du produit nul et équations (ax + b)(cx + d) = 0, factoriser pour s’y ramener (facteur commun, parenthèse commune, différence de deux carrés), équations x² = a selon le signe de a, résolues par le calcul et graphiquement, et problèmes de longueurs et d’aires.

À propos de cette page

Un devoir surveillé de 55 minutes sur 20 points avec son corrigé, en cinq exercices de 4 points : racines carrées et encadrement, équations produit nul, factoriser pour résoudre, équations x² = a avec une lecture graphique, puis le problème d’un jardin carré agrandi.

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Sujet et corrigé prêts à imprimer.

Devoir surveillé · ★★ et ★★★ · Durée 55 min · Noté sur 20

55:00

benprofparticulier.frMathématiques · 3ᵉ

Devoir surveillé – Équations : produit nul et x² = a

Durée : 55 min – Calculatrice interdite – Sur 20 points · Mathématiques 3ᵉ

Nom : Date : Note : / 20

Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.

Exercice 1 – Carré et racine carrée ★★

(4 pts)

Réponds sans calculatrice, sauf à la question 4.

a)Calcule : $\sqrt{324}$ ; $\sqrt{0, 16}$ ; $(- 12)^{2}$ ; $- 3^{2}$ .
b)Encadre $\sqrt{180}$ entre deux entiers consécutifs. Justifie.
c)Léo écrit : « $\sqrt{36 + 64} = \sqrt{36} + \sqrt{64} = 14$ ». Explique son erreur et donne la bonne valeur.
d)Un carré a une aire de $47$ m². Donne la valeur exacte de son côté, puis son arrondi au centimètre.

Exercice 2 – Équations produit nul ★★

(4 pts)

Résous chaque équation en citant la propriété utilisée.

a) $(x - 9) (4 x + 2) = 0$
b) $x (7 - 2 x) = 0$
c) $(5 x + 3)^{2} = 0$
d)Sarah affirme que l’équation $(x - 7) (x + 3) = 4$ a pour solutions $11$ et $1$ . Explique son erreur et vérifie avec $x = 11$ .

Exercice 3 – Factoriser pour résoudre ★★★

(4 pts)

On considère $E = (3 x + 2) (x - 5) - (x - 5) (x + 4)$ et $F = 9 x^{2} - 25$ .

a)Factorise $E$ .
b)Résous l’équation $E = 0$ .
c)Factorise $F$ , puis résous l’équation $F = 0$ .
d)Résous l’équation $3 x^{2} = 12 x$ . Pourquoi ne faut-il pas diviser les deux membres par $x$ ?

Exercice 4 – Équations $x^{2} = a$ ★★

(4 pts)

Résous chaque équation ; donne les valeurs exactes.

a) $x^{2} = 1, 44$
b) $4 x^{2} + 7 = 107$
c) $x^{2} + 30 = 5$
d)Voici la courbe de $y = x^{2}$ et la droite $y = 3$ . Lis graphiquement des valeurs approchées des solutions de $x^{2} = 3$ , puis donne leurs valeurs exactes.

Exercice 5 – Problème — le jardin agrandi ★★★

(4 pts)

Un jardin carré a pour côté $x$ mètres. On l’agrandit d’une bande de $2$ m de large le long de deux côtés qui se touchent : le jardin reste carré, et sa nouvelle aire est $110, 25$ m².

a)Exprime le côté du nouveau jardin en fonction de $x$ , puis écris une équation traduisant l’énoncé.
b)Résous cette équation.
c)Quel était le côté du jardin de départ ? Justifie ton choix.
d)Quelle est l’aire de la bande ajoutée ?

Bon courage !

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Voir le corrigé et le barème

benprofparticulier.frMathématiques · 3ᵉ

Corrigé et barème – Équations : produit nul et x² = a

Durée : 55 min – Calculatrice interdite – Sur 20 points · Mathématiques 3ᵉ

Exercice 1 – Carré et racine carrée ★★

(4 pts)

a) $\sqrt{324} = 18$ (car $18 \times 18 = 324$ ) ; $\sqrt{0, 16} = 0, 4$ ; $(- 12)^{2} = 144$ ; $- 3^{2} = - (3 \times 3) = - 9$ (1)
b) $169 < 180 < 196$ , c’est-à-dire $13^{2} < 180 < 14^{2}$ , donc $13 < \sqrt{180} < 14$ (1)
c)La racine carrée d’une somme n’est pas la somme des racines carrées : on calcule d’abord sous la racine, $\sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ , et non $6 + 8 = 14$ (1)
d)Le côté $c$ est positif et $c^{2} = 47$ : $c = \sqrt{47}$ m (valeur exacte) ; $\sqrt{47} \approx 6, 8557$ , soit $6, 86$ m au centimètre (1)

Méthode — $\sqrt{a}$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$ : on vérifie toujours en élevant au carré.

Exercice 2 – Équations produit nul ★★

(4 pts)

a)Un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul : $x - 9 = 0$ ou $4 x + 2 = 0$ , donc $x = 9$ ou $x = - 0, 5$ (1)
b) $x = 0$ ou $7 - 2 x = 0$ ; $- 2 x = - 7$ , $x = 3, 5$ . Les solutions sont $0$ et $3, 5$ (1)
c) $(5 x + 3) (5 x + 3) = 0$ : les deux facteurs donnent $5 x + 3 = 0$ , donc une seule solution, $x = - 0, 6$ (1)
d)Elle a appliqué la propriété du produit nul à un produit égal à $4$ : elle n’est vraie qu’avec $0$ . Pour $x = 11$ : $(11 - 7) \times (11 + 3) = 4 \times 14 = 56$ , et $56 \neq 4$ (1)

Méthode — La phrase de la propriété, puis une équation du premier degré par facteur : on donne toutes les solutions.

Exercice 3 – Factoriser pour résoudre ★★★

(4 pts)

a) $E = (x - 5) [(3 x + 2) - (x + 4)] = (x - 5) (3 x + 2 - x - 4) = (x - 5) (2 x - 2)$ , ou encore $2 (x - 5) (x - 1)$ (1)
b) $x - 5 = 0$ ou $2 x - 2 = 0$ : les solutions sont $5$ et $1$ (1)
c) $F = (3 x)^{2} - 5^{2} = (3 x - 5) (3 x + 5)$ . $F = 0$ : $3 x = 5$ ou $3 x = - 5$ , donc $x = \frac{5}{3}$ ou $x = - \frac{5}{3}$ (1)
d) $3 x^{2} - 12 x = 0$ , donc $3 x (x - 4) = 0$ : $x = 0$ ou $x = 4$ . En divisant par $x$ , on obtiendrait $3 x = 12$ , seulement $x = 4$ : on perdrait la solution $0$ (on ne peut pas diviser par $x$ s’il vaut $0$ ) (1)

Le point clé — « $= 0$ » d’abord, puis factoriser : facteur commun, ou $a^{2} - b^{2}$ ; le produit nul fait le reste.

Exercice 4 – Équations $x^{2} = a$ ★★

(4 pts)

a) $1, 44 > 0$ et $1, 2 \times 1, 2 = 1, 44$ : $x = 1, 2$ ou $x = - 1, 2$ (1)
b) $4 x^{2} = 100$ , donc $x^{2} = 25$ : $x = 5$ ou $x = - 5$ (1)
c) $x^{2} = 5 - 30 = - 25$ : un carré n’est jamais négatif, l’équation n’a aucune solution (1)
d)La droite coupe la courbe en deux points d’abscisses environ $- 1, 7$ et $1, 7$ . Valeurs exactes : $x = \sqrt{3}$ ou $x = - \sqrt{3}$ ( $\sqrt{3} \approx 1, 73$ ) (1)

Repère — Le signe de $a$ décide : deux solutions si $a > 0$ , une si $a = 0$ , aucune si $a < 0$ .

Exercice 5 – Problème — le jardin agrandi ★★★

(4 pts)

a)Le nouveau côté mesure $x + 2$ m : $(x + 2)^{2} = 110, 25$ (1)
b) $x + 2 = \sqrt{110, 25} = 10, 5$ ou $x + 2 = - 10, 5$ , donc $x = 8, 5$ ou $x = - 12, 5$ (1)
c)Une longueur est positive : on écarte $- 12, 5$ . Le jardin de départ avait $8, 5$ m de côté. Vérification : $8, 5 + 2 = 10, 5$ et $10, 5 \times 10, 5 = 110, 25$ (1)
d)Aire de départ : $8, 5 \times 8, 5 = 72, 25$ m². Bande : $110, 25 - 72, 25 = 38$ m² (1)

Méthode — Dans un problème de longueur, l’équation donne deux solutions : on garde la positive et on le dit.

Ce contrôle de mathématiques 3ᵉ en bref

Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Équations : produit nul et x² = a » : 5 exercices, 55 minutes, noté sur 20. Le sujet et le corrigé sont téléchargeables en PDF, prêts à imprimer, pour travailler comme en classe.

Exercice 1 — Carré et racine carrée ★★/ 4 pts
Exercice 2 — Équations produit nul ★★/ 4 pts
Exercice 3 — Factoriser pour résoudre ★★★/ 4 pts
Exercice 4 — Équations $x^{2} = a$ ★★/ 4 pts
Exercice 5 — Problème — le jardin agrandi ★★★/ 4 pts

Pour préparer ce contrôle

Relire le cours et la fiche de révision.
Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
Se tester avec le QCM (36 questions).
Faire ce sujet en conditions réelles — 55 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.

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Questions fréquentes sur ce sujet

Combien de temps dure ce contrôle sur « Équations : produit nul et x² = a » ?: 55 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
Le corrigé est-il fourni ?: Oui : le corrigé complet est fourni en PDF (bouton « Télécharger le corrigé »), avec le barème exercice par exercice.
Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?: Oui : c'est un devoir surveillé complet de 55 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
Ce sujet suit-il le programme de mathématiques de troisième ?: Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Équations : produit nul et x² = a » du programme officiel de mathématiques en troisième.

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Équations : produit nul et x² = a

Exercice 1 – Carré et racine carrée ★★

Exercice 2 – Équations produit nul ★★

Exercice 3 – Factoriser pour résoudre ★★★

Exercice 4 – Équations x2=a ★★

Exercice 5 – Problème — le jardin agrandi ★★★

Exercice 1 – Carré et racine carrée ★★

Exercice 2 – Équations produit nul ★★

Exercice 3 – Factoriser pour résoudre ★★★

Exercice 4 – Équations x2=a ★★

Exercice 5 – Problème — le jardin agrandi ★★★

Ce contrôle de mathématiques 3ᵉ en bref

Pour préparer ce contrôle

Exercice 4 – Équations $x^{2} = a$ ★★

Exercice 4 – Équations $x^{2} = a$ ★★