Devoir surveillé : espace et volumes

1. a)$V=50\times 24\times 30=36000$ cm³. Comme $1$ L $=1000$ cm³, la contenance est de $36$ L. (0,5 pt volume + 0,5 pt conversion) (1)
2. b)$24$ L $=24000$ cm³. L’eau forme un pavé droit dont la base est le fond du bac, d’aire $50\times 24=1200$ cm² : hauteur $=24000÷1200=20$ cm. (0,5 pt conversion + 0,5 pt hauteur) (1)
3. c)Rayon : $R=15÷2=7,5$ cm. $V={\displaystyle \frac{4}{3}}\times \pi \times 7,5^3={\displaystyle \frac{4}{3}}\times \pi \times 421,875=562,5\pi$ cm³ $\approx 1767$ cm³. (0,5 pt rayon et formule + 0,5 pt résultats) (1)
4. d)La boule mesure $15$ cm de haut, moins que les $20$ cm d’eau : elle est entièrement immergée. Le niveau monte d’une hauteur $h$ telle que le pavé d’eau ajouté ait le volume de la boule : $1200\times h=562,5\pi$, donc $h={\displaystyle \frac{562,5\pi }{1200}}\approx 1,473$ cm, soit environ $1,5$ cm ($15$ mm). Le niveau passe à environ $21,5$ cm : le bac ne déborde pas. (0,5 pt justification + 0,5 pt hausse) (1)

Méthode — un objet entièrement immergé fait monter l’eau d’un volume égal au sien : hausse du niveau = volume de l’objet ÷ aire du fond, avec toutes les longueurs dans la même unité.

1. a)La carte recouvre une surface : la sphère de centre $O$ et de rayon $R=32÷2=16$ cm (la boule est le solide plein). Aire $=4\times \pi \times {16}^2=1024\pi$ cm² $\approx 3217$ cm². (0,5 pt sphère justifiée + 0,5 pt aire) (1)
2. b)$V={\displaystyle \frac{4}{3}}\times \pi \times {16}^3={\displaystyle \frac{4}{3}}\times \pi \times 4096={\displaystyle \frac{16384}{3}}\pi$ cm³ $\approx 17157,3$ cm³. Avec $1$ L $=1000$ cm³ : environ $17,2$ L. (0,5 pt valeur exacte + 0,5 pt litres) (1)
3. c)Le plan passe par le centre : la section est un grand cercle, de centre $O$ et de rayon $16$ cm. Sa longueur : $2\times \pi \times 16=32\pi \approx 100,5$ cm. (0,5 pt grand cercle + 0,5 pt longueur) (1)
4. d)Une sphère coupée par un plan donne un cercle (ici, un parallèle du globe). Si $H$ est le pied de la perpendiculaire au plan menée de $O$ et $M$ un point du cercle, le triangle $OHM$ est rectangle en $H$ : $r^2=R^2-d^2={16}^2-9,6^2=256-92,16=163,84$, donc $r=\sqrt{163,84}=12,8$ cm. (0,5 pt nature + 0,5 pt rayon) (1)

Erreur fréquente — on calcule avec le rayon, pas avec le diamètre : avec $32$ au lieu de $16$, l’aire serait $4$ fois trop grande et le volume $8$ fois trop grand.

1. a)Un plan parallèle à une face coupe le pavé selon un rectangle de mêmes dimensions que cette face : $BC=5$ cm sur $BF=AE=7$ cm. (0,5 pt nature + 0,5 pt dimensions) (1)
2. b)La section est le rectangle $ACGE$ ($[AE]$ et $[CG]$ sont parallèles, de même longueur et perpendiculaires à la face $ABCD$). Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$, d’après le théorème de Pythagore : $A{C}^2={12}^2+5^2=144+25=169$, donc $AC=13$ cm. Aire $=13\times 7=91$ cm². (0,5 pt $AC$ + 0,5 pt aire) (1)
3. c)$V=\pi \times 4^2\times 11=176\pi$ cm³ $\approx 552,9$ cm³ ; $1$ cL $=10$ cm³, donc environ $55$ cL. Un plan perpendiculaire à l’axe donne un disque de même rayon que la base : $4$ cm. (0,5 pt contenance + 0,5 pt section) (1)
4. d)La section est un rectangle dont un côté est la hauteur, $11$ cm. L’autre côté est une corde du disque de base, à $2,4$ cm du centre ; sa moitié $\ell$ vérifie (Pythagore) ${\ell }^2=4^2-2,4^2=16-5,76=10,24$, donc $\ell =3,2$ cm et la corde mesure $6,4$ cm. Rectangle de $6,4$ cm sur $11$ cm, d’aire $6,4\times 11=70,4$ cm². (0,5 pt corde + 0,5 pt dimensions et aire) (1)

Astuce — pour une longueur dans une section (diagonale d’une face, corde d’un disque, rayon du cercle de section d’une sphère), je cherche un triangle rectangle et j’applique le théorème de Pythagore.

1. a)$V={\displaystyle \frac{\pi \times 5^2\times 10}{3}}={\displaystyle \frac{250}{3}}\pi$ cm³ $\approx 261,8$ cm³, soit environ $26,2$ cL (car $1$ cL $=10$ cm³). (0,5 pt valeur exacte + 0,5 pt cL) (1)
2. b)Le jus forme un petit cône de même sommet, réduction du grand. Sa surface est un disque. $k={\displaystyle \frac{8}{10}}=0,8$ (petite hauteur ÷ grande hauteur), donc rayon $=5\times 0,8=4$ cm. (0,5 pt $k$ + 0,5 pt nature et rayon) (1)
3. c)Volumes $\times k^3$ : ${\displaystyle \frac{250}{3}}\pi \times 0,8^3={\displaystyle \frac{250}{3}}\pi \times 0,512={\displaystyle \frac{128}{3}}\pi$ cm³ $\approx 134,0$ cm³, soit environ $13,4$ cL. Vérification avec le petit cône : ${\displaystyle \frac{\pi \times 4^2\times 8}{3}}={\displaystyle \frac{128}{3}}\pi$ cm³. (0,5 pt calcul + 0,5 pt cL) (1)
4. d)Léa a tort : le volume est multiplié par $k^3=0,512$, pas par $k=0,8$. Le verre n’est rempli qu’à $51,2$ % (vérification : $13,4÷26,2\approx 0,51$), à peine plus de la moitié. (0,5 pt $k^3$ + 0,5 pt conclusion) (1)

Piège — rempli aux $8$ dixièmes de sa hauteur, un verre conique ne contient qu’environ la moitié de son volume : les longueurs sont multipliées par $k$, les volumes par $k^3$.

1. a)$P$ et $Q$ ont la même latitude, ${40}^{\circ }$ N : même parallèle. $P$ et $R$ ont la même longitude, ${75}^{\circ }$ O : même méridien. $T$ a une latitude de $0^{\circ }$ : il est sur l’équateur. $R$ a une latitude Sud : il est dans l’hémisphère Sud. (0,5 pt pour deux réponses justifiées + 0,5 pt pour les deux autres) (1)
2. b)$P$ est à ${40}^{\circ }$ au nord de l’équateur et $R$ à ${25}^{\circ }$ au sud : ils sont de part et d’autre, l’écart est ${40}^{\circ }+{25}^{\circ }={65}^{\circ }$. Un méridien est une moitié de grand cercle, donc l’arc vaut ${\displaystyle \frac{65}{360}}$ du grand cercle : $2\times \pi \times 6371\times {\displaystyle \frac{65}{360}}\approx 7228$ km. (0,5 pt écart de ${65}^{\circ }$ + 0,5 pt longueur) (1)
3. c)C’est la section par le plan parallèle à celui de l’équateur qui passe par $P$ (perpendiculaire à l’axe des pôles). Ce plan ne passe pas par $O$ : ce n’est pas un grand cercle. Soit $H$ le centre du parallèle et $M$ un point du parallèle : le triangle $OHM$ est rectangle en $H$ et $OMH={40}^{\circ }$ (angles alternes-internes, car $(HM)$ est parallèle au plan de l’équateur). Donc $HM=OM\times \cos {40}^{\circ }=6371\times \cos {40}^{\circ }\approx 4880$ km. (0,5 pt plan et grand cercle + 0,5 pt rayon) (1)
4. d)$P$ est à ${75}^{\circ }$ à l’ouest de Greenwich et $Q$ à $5^{\circ }$ à l’est : l’écart de longitude est ${75}^{\circ }+5^{\circ }={80}^{\circ }$. Arc $=2\times \pi \times 6371\times \cos {40}^{\circ }\times {\displaystyle \frac{80}{360}}\approx 6814$ km. (0,5 pt écart de ${80}^{\circ }$ + 0,5 pt longueur) (1)

Méthode — pour un arc, je calcule d’abord l’écart d’angle : je soustrais si les deux points sont du même côté (même lettre N, S, E ou O), j’additionne s’ils sont de part et d’autre de l’équateur ou du méridien de Greenwich.

1. a)$R=36÷2=18$ m. Aire $=4\times \pi \times {18}^2=1296\pi$ m² $\approx 4072$ m². Par triangle : $1296\pi ÷6433\approx 0,63$ m² (environ $63$ dm²). (0,5 pt aire + 0,5 pt triangle) (1)
2. b)$V={\displaystyle \frac{4}{3}}\times \pi \times {18}^3={\displaystyle \frac{4}{3}}\times \pi \times 5832=7776\pi$ m³ $\approx 24429$ m³. Comme $1$ m³ $=1000$ L : environ $24429000$ L, soit à peu près $2,44\times {10}^7$ L. (0,5 pt volume + 0,5 pt litres) (1)
3. c)La section d’une boule par un plan est un disque. Avec $d=6$ m : $r^2={18}^2-6^2=324-36=288$, donc $r=\sqrt{288}\approx 16,97$ m. Aire $=\pi \times r^2=288\pi \approx 905$ m² (on utilise $r^2=288$, sans arrondir). (0,5 pt nature et rayon + 0,5 pt aire) (1)
4. d)Diamètre : $36\times {\displaystyle \frac{1}{200}}=0,18$ m $=18$ cm. Les volumes sont multipliés par $k^3={\displaystyle \frac{1}{8000000}}$ : $7776\pi$ m³ $=7776\pi \times {10}^6$ cm³, et ${\displaystyle \frac{7776\pi \times {10}^6}{8\times {10}^6}}=972\pi$ cm³ $\approx 3053,6$ cm³. Vérification avec $R=9$ cm : ${\displaystyle \frac{4}{3}}\times \pi \times 9^3={\displaystyle \frac{4}{3}}\times \pi \times 729=972\pi$ cm³. (0,5 pt diamètre + 0,5 pt volume) (1)

Astuce — je garde les valeurs exactes ($r^2=288$, $972\pi$) jusqu’au bout et je n’arrondis qu’à la dernière étape : un rayon arrondi, mis au carré ou au cube, fausse le résultat.

1. a)Cylindre : $\pi \times 3^2\times 8=72\pi$ m³. Cône : ${\displaystyle \frac{\pi \times 3^2\times 4}{3}}=12\pi$ m³. Total : $84\pi$ m³ $\approx 264$ m³. (0,5 pt les deux volumes + 0,5 pt total) (1)
2. b)$84\pi \times 780=65520\pi$ kg $\approx 205837$ kg, soit environ $206$ t (car $1$ t $=1000$ kg). (0,5 pt calcul + 0,5 pt conversion) (1)
3. c)La section du cylindre par un plan qui contient l’axe est un rectangle de $2\times 3=6$ m sur $8$ m ; celle du cône est un triangle isocèle de base $6$ m et de hauteur $4$ m, collé sous le rectangle : la section est un pentagone. Aire $=6\times 8+{\displaystyle \frac{6\times 4}{2}}=48+12=60$ m². Génératrice : la hauteur, le rayon et la génératrice forment un triangle rectangle, $g^2=3^2+4^2=25$, donc $g=5$ m. (0,5 pt description et aire + 0,5 pt génératrice) (1)
4. d)$0,75\times 84\pi =63\pi$ m³ de blé. Le cône, plein, en contient $12\pi$ ; il reste $63\pi -12\pi =51\pi$ m³ dans le cylindre, dont la base a pour aire $9\pi$ m² : hauteur $=51\pi ÷9\pi ={\displaystyle \frac{17}{3}}\approx 5,67$ m. Depuis la pointe : $4+5,67\approx 9,67$ m. (0,5 pt partage cône et cylindre + 0,5 pt hauteur) (1)

Méthode — pour un solide composé, je calcule séparément chaque solide usuel puis j’additionne ; pour une hauteur de remplissage, je remplis d’abord la partie basse (le cône) avant de répartir le reste dans le cylindre.

1. a)$A$ est à ${10}^{\circ }$ à l’est de Greenwich et $B$ à ${40}^{\circ }$ à l’ouest : le voilier franchit le méridien de Greenwich, l’écart est ${10}^{\circ }+{40}^{\circ }={50}^{\circ }$. L’équateur est un grand cercle : $AB=2\times \pi \times 6371\times {\displaystyle \frac{50}{360}}\approx 5560$ km. (0,5 pt écart + 0,5 pt longueur) (1)
2. b)$B$ est sur l’équateur (latitude $0^{\circ }$) et $C$ à ${28}^{\circ }$ N : écart de ${28}^{\circ }$, sur un méridien, moitié d’un grand cercle de rayon $6371$ km. $BC=2\times \pi \times 6371\times {\displaystyle \frac{28}{360}}\approx 3113$ km. (0,5 pt écart + 0,5 pt longueur) (1)
3. c)Distance : $AB+BC=2\times \pi \times 6371\times {\displaystyle \frac{78}{360}}\approx 8673$ km. Durée : $8673÷15\approx 578$ h. Or $578=24\times 24+2$ : environ $24$ jours et $2$ heures. (0,5 pt durée en heures + 0,5 pt conversion) (1)
4. d)Rayon du parallèle ${28}^{\circ }$ N : $6371\times \cos {28}^{\circ }\approx 5625$ km. Écart de longitude : ${40}^{\circ }+{10}^{\circ }={50}^{\circ }$. $CD=2\times \pi \times 6371\times \cos {28}^{\circ }\times {\displaystyle \frac{50}{360}}\approx 4909$ km. C’est plus court que $AB$ ($5560$ km) car ce parallèle n’est pas un grand cercle : son rayon $6371\times \cos {28}^{\circ }$ est plus petit que $6371$, donc pour le même angle l’arc est plus court. (0,5 pt longueur + 0,5 pt explication) (1)

Erreur fréquente — on ne calcule pas un arc de parallèle avec le rayon de la Terre : seul l’équateur a pour rayon $6371$ km ; un autre parallèle a pour rayon $6371\times \cos (\text{latitude})$.

1. a)Faux. Avec le rayon $2R$ : ${\displaystyle \frac{4}{3}}\times \pi \times (2R{)}^3={\displaystyle \frac{4}{3}}\times \pi \times 8R^3$ : le volume est multiplié par $2^3=8$. Exemple : $R=1$ cm donne ${\displaystyle \frac{4}{3}}\pi$ cm³, $R=2$ cm donne ${\displaystyle \frac{32}{3}}\pi$ cm³, huit fois plus. (0,5 pt faux + 0,5 pt justification) (1)
2. b)Vrai. La section est un rectangle dont un côté est la hauteur, $12$ cm ; l’autre est une corde du disque de base. Pour un carré, il faut une corde de $12$ cm, de moitié $6$ cm. La distance $d$ du plan à l’axe vérifie (Pythagore) $d^2=6,5^2-6^2=42,25-36=6,25$, donc $d=2,5$ cm : un plan parallèle à l’axe, à $2,5$ cm de lui, coupe le cylindre selon un carré de $12$ cm de côté. (0,5 pt vrai + 0,5 pt exemple calculé) (1)
3. c)Faux. Sur le méridien, les points sont de part et d’autre de l’équateur : écart ${35}^{\circ }+{35}^{\circ }={70}^{\circ }$. Sur l’équateur, ils sont de part et d’autre de Greenwich : écart ${30}^{\circ }+{40}^{\circ }={70}^{\circ }$. Un méridien est une moitié de grand cercle et l’équateur un grand cercle, tous deux de rayon $6371$ km : pour le même angle, les arcs sont égaux, $2\times \pi \times 6371\times {\displaystyle \frac{70}{360}}\approx 7784$ km chacun. (0,5 pt les deux écarts + 0,5 pt conclusion) (1)
4. d)Vrai. Aire : $4\times \pi \times 3^2=36\pi$ cm². Volume : ${\displaystyle \frac{4}{3}}\times \pi \times 3^3={\displaystyle \frac{4\times 27}{3}}\pi =36\pi$ cm³. Même nombre, $36\pi \approx 113,1$, mais pas la même grandeur : des cm² d’un côté, des cm³ de l’autre. (0,5 pt les deux calculs + 0,5 pt conclusion) (1)

Piège — pour prouver qu’une affirmation générale est fausse, un seul contre-exemple suffit ; pour prouver qu’une situation est possible (« peut »), un seul exemple calculé suffit aussi.

1. a)Aire de la base : $35,4^2=1253,16$ m². $V={\displaystyle \frac{1253,16\times 21,6}{3}}=9022,752$ m³ $\approx 9023$ m³. (0,5 pt aire de la base + 0,5 pt volume) (1)
2. b)$OI$ est la moitié du côté : $OI=17,7$ m. D’après le théorème de Pythagore dans $SOI$ rectangle en $O$ : $S{I}^2=21,6^2+17,7^2=466,56+313,29=779,85$, donc $SI\approx 27,93$ m. Une face a pour aire ${\displaystyle \frac{35,4\times SI}{2}}$ ; les quatre : $2\times 35,4\times SI\approx 1977$ m². (0,5 pt $SI$ + 0,5 pt aire) (1)
3. c)Le plan est parallèle à la base : la section est un carré, réduction de la base. La petite pyramide au-dessus a pour hauteur $21,6-16,2=5,4$ m, mesurée depuis le sommet, donc $k={\displaystyle \frac{5,4}{21,6}}=0,25$. Côté de la section : $35,4\times 0,25=8,85$ m. (0,5 pt $k$ + 0,5 pt nature et côté) (1)
4. d)Volumes $\times k^3=0,{25}^3={\displaystyle \frac{1}{64}}$ : $9022,752÷64\approx 141$ m³. Vérification : ${\displaystyle \frac{8,{85}^2\times 5,4}{3}}\approx 141$ m³. Part : ${\displaystyle \frac{1}{64}}=0,015625$, soit environ $1,6$ % du volume, alors que sa hauteur est le quart de la hauteur totale. (0,5 pt volume + 0,5 pt pourcentage) (1)

Erreur fréquente — la hauteur de la petite pyramide se mesure depuis le sommet : un plan à $16,2$ m du sol est à $21,6-16,2=5,4$ m du sommet, et c’est $5,4$ qui donne $k$, pas $16,2$.

1. a)Noé met le diamètre au carré : il faut le rayon, $10÷2=5$ cm. 2) Il prend la génératrice ($13$ cm) pour la hauteur : la hauteur est perpendiculaire à la base, alors que la génératrice relie le sommet au bord du disque de base. (0,5 pt par erreur) (1)
2. b)La hauteur, le rayon et la génératrice forment un triangle rectangle : $h^2={13}^2-5^2=169-25=144$, donc $h=12$ cm. $V={\displaystyle \frac{\pi \times 5^2\times 12}{3}}=100\pi$ cm³ $\approx 314,2$ cm³. (0,5 pt hauteur + 0,5 pt volume) (1)
3. c)$4,8$ cm est la distance à la base : le petit cône a pour hauteur $12-4,8=7,2$ cm. 2) $k$ est un quotient de hauteurs : on divise par la hauteur $12$, pas par la génératrice $13$. $k={\displaystyle \frac{7,2}{12}}=0,6$. (0,5 pt les deux erreurs + 0,5 pt $k$) (1)
4. d)Noé multiplie le volume par $k$ : il faut multiplier par $k^3$. $100\pi \times 0,6^3=100\pi \times 0,216=21,6\pi$ cm³ $\approx 67,9$ cm³. Autre façon : rayon $5\times 0,6=3$ cm et hauteur $7,2$ cm, d’où ${\displaystyle \frac{\pi \times 3^2\times 7,2}{3}}=21,6\pi$ cm³. (0,5 pt erreur + 0,5 pt calcul juste) (1)

Erreur fréquente — trois confusions classiques dans une même copie : diamètre au lieu du rayon, génératrice au lieu de la hauteur, $k$ au lieu de $k^3$. Avant de calculer, je fais un croquis où j’écris le rayon, la hauteur et la génératrice.

1. a)Rayon du tube : $3,3$ cm ; hauteur : trois diamètres, $6\times 3,3=19,8$ cm. Tube : $\pi \times 3,3^2\times 19,8=215,622\pi$ cm³. Balles : $3\times {\displaystyle \frac{4}{3}}\times \pi \times 3,3^3=4\times 35,937\pi =143,748\pi$ cm³. Air : $215,622\pi -143,748\pi =71,874\pi \approx 225,8$ cm³, exactement le tiers du tube. (0,5 pt dimensions + 0,5 pt volume d’air) (1)
2. b)La paroi déroulée est un rectangle de $2\times \pi \times 3,3$ sur $19,8$ cm : $2\times \pi \times 3,3\times 19,8=130,68\pi$ cm². Balles : $3\times 4\times \pi \times 3,3^2=12\times 10,89\pi =130,68\pi$ cm². Les deux aires sont égales (environ $410,5$ cm²) : c’est le résultat d’Archimède sur la boule et son cylindre, répété trois fois. (0,5 pt les deux aires + 0,5 pt conclusion) (1)
3. c)Boîte : base carrée de $6,6$ cm de côté, hauteur $19,8$ cm, soit $6,6^2\times 19,8=862,488$ cm³. Balles : $143,748\pi \approx 451,6$ cm³. Part : ${\displaystyle \frac{143,748\pi }{862,488}}\approx 0,524$, soit $52,4$ %. Avec un rayon $R$ : boîte $(2R{)}^2\times 6R=24R^3$, balles $3\times {\displaystyle \frac{4}{3}}\pi R^3=4\pi R^3$, quotient ${\displaystyle \frac{4\pi R^3}{24R^3}}={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$, qui ne dépend pas de $R$. (0,5 pt pourcentage + 0,5 pt cas général) (1)
4. d)Les quatre balles tiennent en hauteur : $4\times 4,95=19,8$ cm. Chaque petite balle est une réduction d’une grande, de rapport $k={\displaystyle \frac{4,95}{6,6}}=0,75$ : son volume est multiplié par $0,{75}^3=0,421875$. Quatre petites balles valent $4\times 0,421875=1,6875$ grande balle, moins que trois. Lucas a tort : elles occupent ${\displaystyle \frac{1,6875}{3}}\times {\displaystyle \frac{2}{3}}=0,375$, soit $37,5$ % du tube, contre ${\displaystyle \frac{2}{3}}\approx 66,7$ % avec les trois grandes (calcul direct possible : $4\times {\displaystyle \frac{4}{3}}\times \pi \times 2,{475}^3\approx 80,86\pi$ cm³, et $80,86÷215,622\approx 0,375$). (0,5 pt $k^3$ + 0,5 pt conclusion chiffrée) (1)

Astuce — pour comparer des boules de tailles différentes, je passe par le rapport de réduction : rayon $\times k$, volume $\times k^3$. Quatre balles réduites de rapport $0,75$ n’atteignent même pas le volume de deux grandes.

1. a)$A$ et $B$ ont la même latitude, ${42}^{\circ }$ N : ils sont sur le parallèle ${42}^{\circ }$ N. Leurs longitudes sont de part et d’autre de Greenwich : écart ${60}^{\circ }+{120}^{\circ }={180}^{\circ }$, les deux méridiens sont opposés. Ils sont donc dans un même plan qui contient l’axe des pôles, donc qui passe par $O$ : chacun est une moitié de grand cercle, et ensemble ils forment un grand cercle complet passant par les deux pôles. (0,5 pt même parallèle + 0,5 pt grand cercle justifié) (1)
2. b)L’écart de longitude vaut ${180}^{\circ }$ dans les deux sens (${360}^{\circ }-{180}^{\circ }={180}^{\circ }$) : la route est un demi-parallèle, quel que soit le sens. Rayon du parallèle : $6371\times \cos {42}^{\circ }$. Longueur : $\pi \times 6371\times \cos {42}^{\circ }\approx 14874$ km. (0,5 pt demi-parallèle + 0,5 pt longueur) (1)
3. c)De $A$ au pôle Nord : ${90}^{\circ }-{42}^{\circ }={48}^{\circ }$ ; du pôle à $B$, de même ${48}^{\circ }$. Au total, ${96}^{\circ }$ d’un grand cercle : $2\times \pi \times 6371\times {\displaystyle \frac{96}{360}}\approx 10675$ km. La route 2 est la plus courte, d’environ $14874-10675=4199$ km. (0,5 pt ${96}^{\circ }$ + 0,5 pt longueur et comparaison) (1)
4. d)Route du parallèle : $\pi \times 6371\times \cos {10}^{\circ }\approx 19711$ km. Route par le pôle : $2\times ({90}^{\circ }-{10}^{\circ })={160}^{\circ }$ d’un grand cercle, soit $2\times \pi \times 6371\times {\displaystyle \frac{160}{360}}\approx 17791$ km. Yanis a tort : même à ${10}^{\circ }$ N, passer par le pôle reste plus court, d’environ $1920$ km. (0,5 pt les deux longueurs + 0,5 pt conclusion) (1)

Piège — un parallèle n’est pas un grand cercle : le suivre n’est pas forcément le plus court. Ici, la route par le pôle suit un grand cercle (deux méridiens opposés) et gagne des milliers de kilomètres.

1. a)Le fond est la section du grand cône par un plan parallèle à sa base : c’est une réduction de la base, et le petit cône est une réduction du grand, de rapport $k={\displaystyle \frac{10}{15}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$ (quotient des rayons). Les hauteurs sont dans le même rapport : la hauteur du petit cône est $H-24={\displaystyle \frac{2}{3}}H$, donc ${\displaystyle \frac{1}{3}}H=24$ et $H=72$ cm (petit cône : $48$ cm). (0,5 pt $k$ + 0,5 pt $H$) (1)
2. b)Grand cône : ${\displaystyle \frac{\pi \times {15}^2\times 72}{3}}=5400\pi$ cm³. Petit cône : $5400\pi \times {\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^3=5400\pi \times {\displaystyle \frac{8}{27}}=1600\pi$ cm³ (ou ${\displaystyle \frac{\pi \times {10}^2\times 48}{3}}$). Seau : $5400\pi -1600\pi =3800\pi$ cm³ $\approx 11938$ cm³, soit environ $11,9$ L. (0,5 pt les deux cônes + 0,5 pt contenance) (1)
3. c)La surface de l’eau est la section du grand cône par un plan parallèle à sa base, à $48+12=60$ cm de $S$. Rapport : ${\displaystyle \frac{60}{72}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$, donc rayon $=15\times {\displaystyle \frac{5}{6}}=12,5$ cm. (0,5 pt hauteur depuis $S$ + 0,5 pt rayon) (1)
4. d)Eau = cône de hauteur $60$ cm moins le petit cône : $5400\pi \times {\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^3-1600\pi =3125\pi -1600\pi =1525\pi$ cm³ $\approx 4,8$ L. Part : ${\displaystyle \frac{1525}{3800}}\approx 0,401$, soit environ $40$ % : Inès a tort. Le seau s’évase vers le haut, donc sa moitié haute contient plus d’eau que sa moitié basse. (0,5 pt volume d’eau + 0,5 pt conclusion) (1)

Méthode — un tronc de cône se traite en complétant le cône : je trouve la hauteur totale grâce au rapport de réduction, puis volume du tronc = grand cône − petit cône.

1. a)Faux. Contre-exemple : cube $ABCDEFGH$ d’arête $5$ cm et plan qui contient les arêtes $[AE]$ et $[CG]$ (il est parallèle à l’arête $[BF]$). La section est le rectangle $ACGE$, avec $AE=5$ cm et, d’après le théorème de Pythagore dans $ABC$ rectangle en $B$, $A{C}^2=5^2+5^2=50$, donc $AC=\sqrt{50}\approx 7,07$ cm : ce rectangle n’est pas un carré. (0,5 pt faux + 0,5 pt contre-exemple calculé) (1)
2. b)Faux. $r^2={10}^2-5^2=75$ : le disque a pour aire $75\pi$ cm², contre $100\pi$ cm² en coupant par le centre. C’est les ${\displaystyle \frac{3}{4}}$, pas la moitié : l’aire de la section ne diminue pas proportionnellement à la distance au centre. (0,5 pt calcul + 0,5 pt conclusion) (1)
3. c)Rayon de la face : $r=3,5$ cm. Avec $r^2+d^2=R^2$ : $d^2=12,5^2-3,5^2=156,25-12,25=144$, donc $d=12$ cm. Posée sur sa face, la boule monte jusqu’au point opposé : hauteur $=d+R=12+12,5=24,5$ cm. (0,5 pt distance + 0,5 pt hauteur) (1)
4. d)Juste. $2,5$ m $=250$ cm, donc le cercle a pour rayon $r={\displaystyle \frac{250}{2\times \pi }}={\displaystyle \frac{125}{\pi }}\approx 39,79$ cm (moins que $41$ cm : c’est possible). Avec $r^2+d^2=R^2$ : $d^2={41}^2-{\left({\displaystyle \frac{125}{\pi }}\right)}^2\approx 1681-1583,1=97,9$, donc $d\approx 9,9$ cm : le plan est bien à moins de $10$ cm du centre. (0,5 pt rayon + 0,5 pt distance et conclusion) (1)

Erreur fréquente — le rayon de la section d’une sphère ne diminue pas proportionnellement à la distance au centre : il se calcule toujours avec $r^2=R^2-d^2$ (triangle rectangle $OHM$).