Variations et extrémums

Fonction croissante, décroissante, monotone sur un intervalle, tableau de variations, maximum et minimum, comparer f(a) et f(b), problèmes d’optimisation, balayage et dichotomie en Python.

À propos de cette page

Ce cours de 2nde sur les variations et les extrémums suit six parties : fonction croissante, décroissante ou monotone et démonstration par le signe de f(b) − f(a), tableau de variations relié à la courbe, maximum et minimum sur un intervalle, comparaison de deux images, problèmes d’optimisation, puis balayage et dichotomie en Python. Chaque partie a ses exemples rédigés, un réflexe et le piège à éviter.

Sens de variation : croissante, décroissante, monotone

Ce qu’il faut savoir

Soit $f$ une fonction et $I$ un intervalle contenu dans son ensemble de définition.

Croissante. $f$ est croissante sur $I$ si, pour tous réels $a$ et $b$ de $I$ : si $a < b$ , alors $f (a) ⩽ f (b)$ . Les images sont rangées dans le même ordre que les nombres : $f$ conserve l’ordre. Elle est strictement croissante si $a < b$ entraîne $f (a) < f (b)$ .

Décroissante. $f$ est décroissante sur $I$ si, pour tous $a$ et $b$ de $I$ : si $a < b$ , alors $f (a) ⩾ f (b)$ : $f$ inverse l’ordre. Strictement décroissante : $a < b$ entraîne $f (a) > f (b)$ .

Constante sur $I$ : $f (a) = f (b)$ pour tous $a$ et $b$ de $I$ . Monotone sur $I$ : croissante sur tout $I$ , ou décroissante sur tout $I$ .

Sur la courbe. En parcourant $I$ de gauche à droite, la courbe monte quand $f$ est croissante et descend quand $f$ est décroissante.

Pour le démontrer. On prend deux réels quelconques $a < b$ de $I$ et on étudie le signe de $f (b) - f (a)$ : toujours positif, $f$ est croissante ; toujours négatif, $f$ est décroissante.

Exemples

Lire sur une courbe. Voici la courbe d’une fonction $g$ définie sur $[- 4; 5]$ .

La courbe monte du point $(- 4; 1)$ au point $(- 1; 4)$ , descend jusqu’au point $(3; - 2)$ , puis remonte jusqu’au point $(5; 2)$ . Donc $g$ est croissante sur $[- 4; - 1]$ , décroissante sur $[- 1; 3]$ et croissante sur $[3; 5]$ . Elle n’est pas monotone sur $[- 4; 5]$ .

Démontrer avec la définition. Soit $u (x) = x^{2} + 6 x + 1$ et soient $a < b$ deux réels de $[- 3; + \infty [$ .
$u (b) - u (a) = b^{2} - a^{2} + 6 b - 6 a$ $= (b - a) (b + a) + 6 (b - a)$ $= (b - a) (a + b + 6)$ .
Or $b - a > 0$ . De plus $a ⩾ - 3$ et $b > - 3$ , donc $a + b > - 6$ , c’est-à-dire $a + b + 6 > 0$ . Le produit est strictement positif : $u (a) < u (b)$ . Donc $u$ est strictement croissante sur $[- 3; + \infty [$ .
De même, si $a < b ⩽ - 3$ , alors $a + b < - 6$ , donc $u (b) - u (a) < 0$ : $u$ est strictement décroissante sur $] - \infty; - 3]$ .

Fonctions déjà étudiées. $x \mapsto - 3 x + 7$ est décroissante sur $ℝ$ , car son coefficient directeur $- 3$ est négatif (chapitre Fonctions affines) ; la fonction carré est décroissante sur $] - \infty; 0]$ et croissante sur $[0; + \infty [$ (chapitre Carré, inverse et valeur absolue).

Réflexe — Pour démontrer le sens de variation sur $I$ : je prends $a < b$ dans $I$ , je calcule $f (b) - f (a)$ , je factorise par $b - a$ (qui est positif) et j’étudie le signe de l’autre facteur à l’aide des bornes de $I$ . La courbe permet de conjecturer, pas de démontrer.

Attention — Le sens de variation se donne intervalle par intervalle : une fonction croissante sur $[0; 2]$ et sur $[5; 8]$ n’est pas forcément croissante sur $[0; 8]$ . Et $f (0) < f (5)$ ne prouve pas que $f$ est croissante sur $[0; 5]$ : la définition porte sur tous les couples $a < b$ .

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Tableau de variations

Ce qu’il faut savoir

Le tableau de variations résume le sens de variation d’une fonction :

• 1^re ligne : les bornes de l’ensemble d’étude et les valeurs de $x$ où le sens de variation change, rangées dans l’ordre croissant ;
• 2^e ligne : une flèche montante (↗) sur chaque intervalle où $f$ est croissante, une flèche descendante (↘) où elle est décroissante, et au bout de chaque flèche l’image correspondante.

Courbe et tableau. Chaque flèche correspond à un morceau de courbe qui monte ou qui descend ; les nombres du bas sont les ordonnées des points où la courbe change de sens et des points extrêmes.

Encadrer. Si $f$ est croissante sur $[a; b]$ , alors pour tout $x$ de $[a; b]$ : $f (a) ⩽ f (x) ⩽ f (b)$ . Si elle est décroissante sur $[a; b]$ : $f (b) ⩽ f (x) ⩽ f (a)$ .

Valeur interdite. Si $f$ n’est pas définie en une valeur (comme $0$ pour la fonction inverse), on l’écrit sur la 1^re ligne et on trace une double barre verticale : aucune flèche ne la traverse.

Nombre de solutions de $f (x) = k$ . Sur chaque flèche, $f$ est strictement monotone et sa courbe se trace d’un seul trait : si $k$ est compris entre les deux nombres aux bouts de la flèche, l’équation $f (x) = k$ a exactement une solution sur cet intervalle ; sinon, aucune. On compte flèche par flèche, sans compter deux fois une solution placée sur la 1^re ligne.

Exemples

De la courbe au tableau. D’après la courbe de $g$ de la partie précédente :

$x$	$- 4$		$- 1$		$3$		$5$
$g (x)$	$1$	↗	$4$	↘	$- 2$	↗	$2$

Sur la 1^re ligne : les bornes $- 4$ et $5$ , et les abscisses $- 1$ et $3$ où la courbe change de sens.

Du calcul au tableau. On a démontré que $u (x) = x^{2} + 6 x + 1$ est décroissante sur $] - \infty; - 3]$ et croissante sur $[- 3; + \infty [$ . Sur $[- 5; 1]$ , on calcule les images utiles : $u (- 5) = 25 - 30 + 1 = - 4$ , $u (- 3) = 9 - 18 + 1 = - 8$ et $u (1) = 1 + 6 + 1 = 8$ .

$x$	$- 5$		$- 3$		$1$
$u (x)$	$- 4$	↘	$- 8$	↗	$8$

Encadrer. Sur $[- 3; 1]$ , $u$ est croissante, donc $- 8 ⩽ u (x) ⩽ 8$ . Sur $[- 5; - 3]$ , elle est décroissante, donc $- 8 ⩽ u (x) ⩽ - 4$ .

Réflexe — Pour dresser un tableau : je repère où le sens change, je range ces valeurs avec les bornes sur la 1^re ligne, je trace les flèches, puis je calcule l’image écrite au bout de chaque flèche. Pour lire un tableau : une flèche = un intervalle sur lequel $f$ est monotone.

Attention — Les nombres de la 2^e ligne sont des images (des ordonnées), pas des abscisses. Et le tableau ne donne que les images écrites : $u (0)$ n’y figure pas, on sait seulement que $- 8 ⩽ u (0) ⩽ 8$ (le calcul donne $u (0) = 1$ ).

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Maximum et minimum sur un intervalle

Ce qu’il faut savoir

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $c$ un réel de $I$ .

Maximum. $f$ admet sur $I$ un maximum $M$ , atteint en $c$ , si $f (c) = M$ et si, pour tout $x$ de $I$ , $f (x) ⩽ M$ .

Minimum. $f$ admet sur $I$ un minimum $m$ , atteint en $c$ , si $f (c) = m$ et si, pour tout $x$ de $I$ , $f (x) ⩾ m$ .

Un extrémum est un maximum ou un minimum. Sur la courbe, c’est l’ordonnée du point le plus haut (ou le plus bas) au-dessus de $I$ . Dans un tableau de variations, c’est le plus grand (ou le plus petit) des nombres de la 2^e ligne, bornes comprises.

Pour le démontrer. On calcule $f (c)$ , puis on prouve que $f (x) - f (c) ⩽ 0$ pour tout $x$ de $I$ (maximum) ou $f (x) - f (c) ⩾ 0$ (minimum), souvent en faisant apparaître un carré.

Exemples

Lecture. Sur $[- 4; 5]$ , d’après le tableau de $g$ : le maximum vaut $4$ , atteint en $- 1$ ; le minimum vaut $- 2$ , atteint en $3$ . Sur $[3; 5]$ seulement, le minimum vaut toujours $- 2$ , mais le maximum vaut $2$ , atteint en $5$ : l’extrémum dépend de l’intervalle.

Démontrer un maximum. Soit $h (x) = 10 + 6 x - x^{2}$ sur $ℝ$ . On calcule $h (3) = 10 + 18 - 9 = 19$ . Pour tout réel $x$ : $h (x) - 19 = - x^{2} + 6 x - 9$ $= - (x^{2} - 6 x + 9)$ $= - (x - 3)^{2}$ . Un carré est positif ou nul, donc $h (x) - 19 ⩽ 0$ , c’est-à-dire $h (x) ⩽ 19$ . Comme $h (3) = 19$ , le maximum de $h$ sur $ℝ$ est $19$ , atteint en $3$ .

Démontrer un minimum. Pour $u (x) = x^{2} + 6 x + 1$ : $u (x) - (- 8) = x^{2} + 6 x + 9$ $= (x + 3)^{2} ⩾ 0$ , donc $u (x) ⩾ - 8$ , et $u (- 3) = - 8$ . Le minimum de $u$ sur $ℝ$ est $- 8$ , atteint en $- 3$ : on retrouve ce qu’annonçait le tableau de variations.

Pas toujours d’extrémum. Sur $[1; + \infty [$ , la fonction inverse a un maximum, $1$ , atteint en $1$ , mais pas de minimum : ses valeurs s’approchent de $0$ sans jamais l’atteindre.

Réflexe — En lecture : je repère le point le plus haut ou le plus bas sur l’intervalle demandé, sans oublier les bornes. En preuve : je repère le candidat $c$ , je calcule $f (c)$ , puis j’étudie le signe de $f (x) - f (c)$ .

Attention — Le maximum est une valeur ( $19$ ) ; l’endroit où il est atteint est une abscisse ( $3$ ) : « le maximum est $3$ » et « le maximum est atteint en $3$ » ne disent pas la même chose. Et prouver $h (x) ⩽ 25$ ne suffit pas : $25$ n’est jamais atteint, ce n’est donc pas le maximum.

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Comparer deux images avec le sens de variation

Ce qu’il faut savoir

Soient $a$ et $b$ deux réels, avec $a < b$ , d’un même intervalle $I$ sur lequel $f$ est monotone.

• $f$ strictement croissante sur $I$ : $f (a) < f (b)$ (même ordre) ;
• $f$ strictement décroissante sur $I$ : $f (a) > f (b)$ (ordre inversé) ;
• croissante ou décroissante au sens large : mêmes conclusions avec $⩽$ ou $⩾$ .

Fonctions de référence (variations démontrées dans les chapitres Fonctions affines et Carré, inverse et valeur absolue) : $x \mapsto m x + p$ est croissante sur $ℝ$ si $m > 0$ , décroissante si $m < 0$ ; la fonction carré est décroissante sur $] - \infty; 0]$ et croissante sur $[0; + \infty [$ ; la fonction inverse est décroissante sur $] - \infty; 0 [$ et sur $] 0; + \infty [$ ; la fonction valeur absolue est décroissante sur $] - \infty; 0]$ et croissante sur $[0; + \infty [$ .

Inéquation. Si $f$ est strictement croissante sur $I$ et si $c$ appartient à $I$ , alors pour $x$ dans $I$ : $f (x) < f (c)$ équivaut à $x < c$ .

Exemples

Avec la fonction carré. Comparer $(- 2, 7)^{2}$ et $(- 3, 1)^{2}$ . Les nombres $- 3, 1$ et $- 2, 7$ appartiennent à $] - \infty; 0]$ , où la fonction carré est strictement décroissante. Comme $- 3, 1 < - 2, 7$ , on a $(- 3, 1)^{2} > (- 2, 7)^{2}$ .

Avec la fonction inverse. $0, 38$ et $0, 41$ appartiennent à $] 0; + \infty [$ , où la fonction inverse est strictement décroissante. Comme $0, 38 < 0, 41$ , on a $\frac{1}{0, 38} > \frac{1}{0, 41}$ .

Avec un tableau. D’après le tableau de $g$ : $0$ et $2$ appartiennent à $[- 1; 3]$ , où $g$ est décroissante, et $0 < 2$ , donc $g (0) ⩾ g (2)$ . En revanche, $- 3$ et $4$ ne sont pas dans un même intervalle de monotonie : on sait seulement que $1 ⩽ g (- 3) ⩽ 4$ et $- 2 ⩽ g (4) ⩽ 2$ . Ces encadrements se chevauchent : on ne peut pas comparer $g (- 3)$ et $g (4)$ .

Avec un maximum. $4 = g (- 1)$ est le maximum de $g$ sur $[- 4; 5]$ , donc $g (4, 5) ⩽ g (- 1)$ , sans aucun calcul.

Avec une forme canonique. $h (x) = 19 - (x - 3)^{2}$ (partie précédente : $10 + 6 x - x^{2} = 19 - (x - 3)^{2}$ ). Si $3 ⩽ a < b$ , alors $0 ⩽ a - 3 < b - 3$ ; la fonction carré est strictement croissante sur $[0; + \infty [$ , donc $(a - 3)^{2} < (b - 3)^{2}$ , puis $19 - (a - 3)^{2} > 19 - (b - 3)^{2}$ : $h (a) > h (b)$ . La fonction $h$ est strictement décroissante sur $[3; + \infty [$ .

Réflexe — Avant de comparer $f (a)$ et $f (b)$ , je vérifie que $a$ et $b$ sont dans un même intervalle où $f$ est monotone. Je range $a$ et $b$ , puis j’applique la règle : même ordre si $f$ est croissante, ordre inversé si elle est décroissante. Sinon, j’utilise un encadrement ou un extrémum.

Attention — La fonction carré n’est pas croissante sur $ℝ$ : $- 5 < 2$ mais $(- 5)^{2} = 25$ est plus grand que $2^{2} = 4$ . Et la fonction inverse n’est pas décroissante « sur $ℝ$ privé de $0$ » : $- 2 < 3$ et pourtant $\frac{1}{- 2} < \frac{1}{3}$ , car $- 2$ et $3$ ne sont pas dans le même intervalle.

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Problèmes d’optimisation

Ce qu’il faut savoir

Optimiser, c’est chercher la valeur de la variable qui rend une grandeur (aire, bénéfice, distance, coût) la plus grande ou la plus petite possible : on cherche un maximum ou un minimum.

La démarche.
1. Je choisis la variable $x$ , son unité et l’intervalle de ses valeurs possibles.
2. J’exprime la grandeur étudiée en fonction de $x$ .
3. Je cherche l’extrémum : un tableau de valeurs ou une courbe pour le conjecturer, puis une preuve (signe de $f (x) - f (c)$ , forme donnée à vérifier, tableau de variations).
4. Je vérifie que la valeur trouvée appartient à l’intervalle, puis je conclus par une phrase qui répond à la question, avec l’unité.

Exemples

Le plus grand rectangle dans un triangle. Dans un repère orthonormé, on considère $O (0; 0)$ , $A (10; 0)$ et $B (0; 10)$ . Pour $M$ sur le segment $[O A]$ , on construit le rectangle $O M P Q$ avec $P$ sur $[A B]$ et $Q$ sur $[O B]$ . Où placer $M$ pour que l’aire du rectangle soit maximale ?

1. On note $x$ l’abscisse de $M$ : $x$ appartient à $[0; 10]$ .
2. La droite $(A B)$ a pour équation $y = - x + 10$ : le point $P$ d’abscisse $x$ a pour ordonnée $10 - x$ . L’aire du rectangle est donc $𝒜 (x) = x (10 - x)$ .
3. Conjecture : $𝒜 (4) = 24$ , $𝒜 (5) = 25$ et $𝒜 (6) = 24$ . Preuve : $25 - 𝒜 (x) = 25 - 10 x + x^{2}$ $= (x - 5)^{2} ⩾ 0$ , donc $𝒜 (x) ⩽ 25 = 𝒜 (5)$ pour tout $x$ de $[0; 10]$ .
4. $5$ appartient bien à $[0; 10]$ . L’aire est maximale quand $M$ est le milieu de $[O A]$ : le rectangle est alors un carré de côté $5$ , d’aire $25$ unités d’aire.

Réflexe — Je n’oublie jamais l’intervalle des valeurs possibles : l’extrémum se cherche sur cet intervalle. Ma conclusion répond à la question posée (une position, un prix, un instant, une dimension), avec l’unité.

Attention — Un tableau de valeurs ne prouve pas un maximum, il le fait deviner : entre deux valeurs calculées, la fonction peut prendre une valeur plus grande. Et si le candidat trouvé est hors de l’intervalle, l’extrémum est atteint ailleurs, souvent à une borne.

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Balayage et dichotomie : approcher un extrémum

Ce qu’il faut savoir

On connaît l’allure du tableau de variations : $f$ est strictement croissante sur $[a; c]$ puis strictement décroissante sur $[c; b]$ , mais on ne sait pas calculer $c$ . On approche alors l’abscisse $c$ du maximum par un algorithme (même idée pour un minimum).

Balayage. On calcule $f (x)$ pour $x = a$ , $a + p$ , $a + 2 p$ , … jusqu’à $b$ ( $p$ est le pas) et on retient l’abscisse $x_{m}$ qui donne la plus grande image. Le maximum est alors atteint entre $x_{m} - p$ et $x_{m} + p$ : c’est un encadrement d’amplitude $2 p$ .

Dichotomie. On prend le milieu $m$ de $[a; b]$ et on compare $f (m)$ et $f (m + h)$ , avec $h$ très petit. Si $f (m) < f (m + h)$ , la fonction monte encore en $m$ : le maximum est atteint après $m$ , on garde $[m; b]$ . Sinon, elle descend déjà : il est atteint avant $m + h$ , on garde $[a; m + h]$ . On recommence : à chaque étape, la longueur de l’intervalle est presque divisée par $2$ .

Conjecturer. Une boucle Python qui affiche les images $f (a)$ , $f (a + p)$ , … donne un tableau de valeurs régulier : il aide à deviner les variations d’une fonction donnée par une formule.

Encadrer une solution. Si $f$ est strictement croissante sur $[a; b]$ avec $f (a) < 0 < f (b)$ , l’équation $f (x) = 0$ a une seule solution $α$ dans $[a; b]$ . Le balayage calcule $f (a)$ , $f (a + p)$ , … et s’arrête au premier changement de signe : $α$ est entre les deux dernières valeurs de $x$ (encadrement d’amplitude $p$ ).

Exemples

Soit $f (x) = 6 x - x^{3}$ sur $[0; 2]$ . On admet que $f$ est strictement croissante puis strictement décroissante sur cet intervalle.

def f(x):
    return 6*x - x**3

def balayage(a, b, n):
    p = (b - a) / n
    xm = a
    for k in range(n + 1):
        x = a + k * p
        if f(x) > f(xm):
            xm = x
    return xm

Balayage. balayage(0, 2, 20) travaille avec le pas $p = 0, 1$ et renvoie $1, 4$ (la machine affiche 1.4000000000000001, à cause des arrondis). En effet $f (1, 3) = 5, 603$ , $f (1, 4) = 5, 656$ et $f (1, 5) = 5, 625$ . Le maximum est atteint entre $1, 3$ et $1, 5$ , et il est au moins égal à $5, 656$ .

def dichotomie(a, b):
    while b - a > 0.01:
        m = (a + b) / 2
        if f(m) < f(m + 0.001):
            a = m
        else:
            b = m + 0.001
    return a, b

Dichotomie. Avec dichotomie(0, 2) : 1^re étape, $m = 1$ , $f (1) = 5$ et $f (1, 001) \approx 5, 003$ : la fonction monte, on garde $[1; 2]$ . 2^e étape, $m = 1, 5$ , $f (1, 5) = 5, 625$ et $f (1, 501) \approx 5, 624$ : elle descend, on garde $[1; 1, 501]$ . Après $8$ étapes, la fonction renvoie (1.4075625, 1.417015625) : le maximum est atteint entre $1, 40$ et $1, 42$ .

Réflexe — Je vérifie d’abord sur le tableau de variations que $f$ monte puis descend sur $[a; b]$ (un seul sommet). Balayage : le maximum est à moins d’un pas de $x_{m}$ . Dichotomie : je compare deux images très proches pour savoir si $f$ monte ou descend au milieu, et je garde la moitié qui contient le sommet.

Attention — Un algorithme donne un encadrement, pas la valeur exacte. Si $f$ change plusieurs fois de sens sur $[a; b]$ , la dichotomie peut garder la mauvaise moitié. Et la machine arrondit les décimaux : 0.1 * 3 s’affiche 0.30000000000000004.

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Pour aller plus loin

Image, courbe, résolution graphique. Les notions de fonction, d’image et d’antécédent, l’ensemble de définition et la résolution graphique de $f (x) = k$ ou $f (x) < k$ sont traités dans le chapitre Généralités sur les fonctions.

Variations des fonctions affines. La démonstration (« $x \mapsto m x + p$ est croissante si $m > 0$ , décroissante si $m < 0$ ») et le lien entre sens de variation, signe et droite sont dans le chapitre Fonctions affines.

Carré, inverse et valeur absolue. Leurs courbes, leur signe et la démonstration de leurs variations sont dans le chapitre Carré, inverse et valeur absolue. Le signe d’un produit ou d’un quotient s’étudie dans Étude de signe et tableaux de signes.

Plus tard. Le sens de variation se lit sur le signe de la dérivée, ce qui permet de trouver la valeur exacte de l’abscisse du sommet que balayage et dichotomie ne font qu’encadrer : chapitre Variations, extremums et courbes (1^re spécialité).

Pour aller plus loin : longueur d’une portion de courbe. Le programme cite aussi cet exemple d’algorithme : on découpe $[a; b]$ en $n$ morceaux de même longueur, on remplace chaque morceau de courbe par le segment qui joint ses extrémités et on additionne leurs longueurs (formule de la distance dans un repère orthonormé). Pour la fonction carré entre les abscisses $0$ et $1$ : environ $1, 460$ avec $n = 2$ , $1, 478$ avec $n = 10$ , $1, 479$ avec $n = 100$ .

from math import sqrt

def f(x):
    return x**2

def longueur(a, b, n):
    L = 0
    p = (b - a) / n
    for k in range(n):
        x1 = a + k * p
        x2 = x1 + p
        dy = f(x2) - f(x1)
        L = L + sqrt(p**2 + dy**2)
    return L

À retenir

$f$ croissante sur $I$ : pour tous $a < b$ de $I$ , $f (a) ⩽ f (b)$ (l’ordre est conservé) ; décroissante : $f (a) ⩾ f (b)$ (l’ordre est inversé).
Démontrer un sens de variation : signe de $f (b) - f (a)$ pour $a < b$ , en factorisant par $b - a$ .
Tableau de variations : bornes et changements de sens en haut, flèches et images en bas ; une flèche = un intervalle de monotonie.
Maximum $M$ sur $I$ atteint en $c$ : $f (c) = M$ et $f (x) ⩽ M$ pour tout $x$ de $I$ ; on le prouve par le signe de $f (x) - f (c)$ .
Comparer $f (a)$ et $f (b)$ : seulement si $a$ et $b$ sont dans un même intervalle de monotonie (même ordre si croissante, ordre inversé si décroissante).
Optimiser : variable et intervalle, expression, extrémum prouvé, conclusion avec l’unité ; balayage et dichotomie l’encadrent quand on ne sait pas le calculer.

Questions fréquentes

Comment démontrer qu’une fonction est croissante sur un intervalle ?

On prend deux réels quelconques a < b de l’intervalle et on étudie le signe de f(b) − f(a). En général, on factorise par b − a, qui est positif, et on étudie le signe de l’autre facteur grâce aux bornes de l’intervalle. Si f(b) − f(a) est toujours positif, f est croissante ; toujours négatif, elle est décroissante.

Comment dresser un tableau de variations ?

Sur la 1re ligne, on écrit les bornes et les valeurs de x où le sens de variation change, dans l’ordre croissant. Sur la 2e ligne, on trace une flèche montante ou descendante pour chaque intervalle, et on écrit au bout de chaque flèche l’image correspondante, calculée avec la formule de f.

Comment trouver le maximum ou le minimum d’une fonction ?

Sur une courbe ou un tableau, c’est la plus grande ou la plus petite image sur l’intervalle étudié, bornes comprises. Pour le démontrer, on calcule f(c) puis on prouve que f(x) − f(c) est toujours négatif (maximum) ou toujours positif (minimum), souvent en faisant apparaître un carré comme −(x − 3)².

Peut-on toujours comparer f(a) et f(b) avec un tableau de variations ?

Non : il faut que a et b soient dans un même intervalle où f est monotone. Si f y est croissante, f(a) et f(b) sont dans le même ordre que a et b ; si elle est décroissante, l’ordre est inversé. Sinon, on essaie un encadrement ou un extrémum, mais on ne peut souvent pas conclure.

À quoi servent le balayage et la dichotomie ?

À encadrer l’abscisse du maximum (ou du minimum) d’une fonction qui monte puis descend, quand on ne sait pas la calculer exactement. Le balayage calcule les images avec un pas fixe et garde la plus grande ; la dichotomie coupe l’intervalle en deux et garde la moitié qui contient le sommet. Python les programme en quelques lignes.

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