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Variations et extrémums

Fonction croissante, décroissante, monotone sur un intervalle, tableau de variations, maximum et minimum, comparer f(a) et f(b), problèmes d’optimisation, balayage et dichotomie en Python.

À propos de cette page
Un QCM de 36 questions sur les variations et les extrémums en trois niveaux : définitions et lecture d’un tableau, puis démonstrations, encadrements et balayage, enfin les pièges classiques comme le majorant non atteint ou la comparaison de deux images hors d’un même intervalle. Chaque réponse est expliquée.

Les 36 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile ★ — 12 questions

  1. f est croissante sur l’intervalle I signifie : pour tous a et b de I, si a < b, alors…

    • A. f(a) ≤ f(b)
    • B. f(a) ≥ f(b)
    • C. f(a) = f(b)
    • D. a ≤ f(b)
    Réponse

    A. f(a) ≤ f(b) — Une fonction croissante conserve l’ordre : les images sont rangées dans le même ordre que les nombres de départ.

  2. Dans un tableau de variations, une flèche descend de 6 à −2 sur [1 ; 5]. Cela indique que :

    • A. f est décroissante sur [1 ; 5] et f(1) = −2
    • B. f est croissante sur [−2 ; 6] et f(1) = 6
    • C. f est décroissante sur [1 ; 5] et f(5) = −2
    • D. f(6) = 1 et f(−2) = 5 sur cet intervalle
    Réponse

    C. f est décroissante sur [1 ; 5] et f(5) = −2 — La flèche descend : f est décroissante sur [1 ; 5]. Les nombres aux bouts de la flèche sont les images des bornes : f(1) = 6 et f(5) = −2.

  3. Sur sa courbe, une fonction décroissante sur un intervalle :

    • A. monte quand x augmente
    • B. descend quand x augmente
    • C. est une droite horizontale
    • D. passe toujours par l’origine
    Réponse

    B. descend quand x augmente — En parcourant l’intervalle de gauche à droite, les images diminuent : la courbe descend.

  4. Le maximum de f sur [0 ; 6] vaut 5 et il est atteint en 2. Cela signifie que :

    • A. f(5) = 2 et f(x) ≤ 2 sur [0 ; 6]
    • B. f(2) = 5 et f(x) ≥ 5 sur [0 ; 6]
    • C. f(x) = 5 pour tout x de [0 ; 6]
    • D. f(2) = 5 et f(x) ≤ 5 sur [0 ; 6]
    Réponse

    D. f(2) = 5 et f(x) ≤ 5 sur [0 ; 6] — Le maximum est une image, f(2) = 5, et toutes les images de l’intervalle lui sont inférieures ou égales.

  5. La fonction x ↦ 7 − 2x est, sur ℝ :

    • A. décroissante
    • B. croissante
    • C. constante
    • D. croissante puis décroissante
    Réponse

    A. décroissante — C’est une fonction affine de coefficient directeur −2, négatif : elle est décroissante sur ℝ.

  6. f croît de −1 à 3 sur [0 ; 2], puis décroît de 3 à 0 sur [2 ; 5]. Le minimum de f sur [0 ; 5] vaut :

    • A. 0, atteint en 5
    • B. −1, atteint en 0
    • C. 3, atteint en 2
    • D. 0, atteint en −1
    Réponse

    B. −1, atteint en 0 — Les images du tableau sont −1, 3 et 0, bornes comprises : la plus petite est −1 = f(0).

  7. La fonction carré est décroissante sur :

    • A. [0 ; +∞[
    • B. ℝ tout entier
    • C. ]−∞ ; 0]
    • D. [−1 ; 1]
    Réponse

    C. ]−∞ ; 0] — La fonction carré est décroissante sur ]−∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[ : elle n’est monotone ni sur ℝ ni sur [−1 ; 1].

  8. f est strictement croissante sur [0 ; 10]. Les nombres f(3) et f(8) vérifient :

    • A. f(3) > f(8)
    • B. f(3) = f(8)
    • C. on ne peut pas savoir
    • D. f(3) < f(8)
    Réponse

    D. f(3) < f(8) — 3 et 8 sont dans [0 ; 10] et 3 < 8 : une fonction strictement croissante conserve l’ordre, donc f(3) < f(8).

  9. Chercher les dimensions d’un enclos d’aire maximale, c’est chercher :

    • A. le maximum de la fonction aire
    • B. une valeur de l’aire au hasard
    • C. le périmètre de l’enclos
    • D. l’image de 0 par la fonction aire
    Réponse

    A. le maximum de la fonction aire — Optimiser une aire, c’est trouver la plus grande valeur de la fonction aire sur l’intervalle des valeurs possibles, et où elle est atteinte.

  10. Un balayage de [0 ; 1] avec le pas 0,1 calcule combien d’images ?

    • A. 10
    • B. 11
    • C. 9
    • D. 100
    Réponse

    B. 11 — On calcule les images de 0 ; 0,1 ; 0,2 ; … ; 1 : cela fait 10 pas, donc 11 valeurs de x, les deux bornes comprises.

  11. Une fonction monotone sur un intervalle I est une fonction :

    • A. croissante puis décroissante sur I
    • B. qui prend toujours la même valeur
    • C. croissante sur I ou décroissante sur I
    • D. dont la courbe est une droite
    Réponse

    C. croissante sur I ou décroissante sur I — Monotone signifie qu’elle ne change pas de sens sur tout l’intervalle : croissante partout sur I, ou décroissante partout sur I.

  12. La fonction inverse est strictement décroissante sur ]0 ; +∞[. Donc 1/0,2 et 1/0,5 vérifient :

    • A. 1/0,2 < 1/0,5
    • B. 1/0,2 et 1/0,5 sont égaux
    • C. on ne peut pas les comparer
    • D. 1/0,2 > 1/0,5
    Réponse

    D. 1/0,2 > 1/0,5 — 0,2 < 0,5 dans ]0 ; +∞[, où la fonction inverse inverse l’ordre : 1/0,2 > 1/0,5 (5 contre 2).

Niveau moyen ★★ — 12 questions

  1. Soit u(x) = x² + 4x. Pour deux réels a < b, la différence u(b) − u(a) est égale à :

    • A. (b − a)(a + b + 4)
    • B. (b − a)(a + b − 4)
    • C. (b − a)(b − a + 4)
    • D. (b + a)(b − a − 4)
    Réponse

    A. (b − a)(a + b + 4) — u(b) − u(a) = b² − a² + 4(b − a) = (b − a)(b + a) + 4(b − a) = (b − a)(a + b + 4).

  2. f est croissante sur [−2 ; 1] et sur [3 ; 7]. Alors :

    • A. f est croissante sur [−2 ; 7]
    • B. f est décroissante sur [1 ; 3]
    • C. f(1) est le maximum de f sur [−2 ; 7]
    • D. on ne sait rien de son sens sur [1 ; 3]
    Réponse

    D. on ne sait rien de son sens sur [1 ; 3] — Les hypothèses ne disent rien de ce qui se passe entre 1 et 3 : le sens de variation se donne intervalle par intervalle.

  3. f décroît de 9 à 1 sur [−3 ; 4]. Pour tout x de [−3 ; 4] :

    • A. 9 ≤ f(x) ≤ 1
    • B. 1 ≤ f(x) ≤ 9
    • C. −3 ≤ f(x) ≤ 4
    • D. f(x) ≥ 9
    Réponse

    B. 1 ≤ f(x) ≤ 9 — f est décroissante : f(4) ≤ f(x) ≤ f(−3), soit 1 ≤ f(x) ≤ 9. On encadre les images, pas les abscisses.

  4. Pour tout réel x, h(x) = 6 − (x + 2)². Sur ℝ, le maximum de h est :

    • A. 6, atteint en 2
    • B. −2, atteint en 6
    • C. 6, atteint en −2
    • D. inexistant : h n’en a pas
    Réponse

    C. 6, atteint en −2 — (x + 2)² ≥ 0 donc h(x) ≤ 6, et h(−2) = 6 − 0 = 6 : le maximum vaut 6, atteint en −2.

  5. Comparer (−1,8)² et (−1,9)² :

    • A. (−1,8)² < (−1,9)²
    • B. (−1,8)² > (−1,9)²
    • C. (−1,8)² = (−1,9)²
    • D. impossible sans calculatrice
    Réponse

    A. (−1,8)² < (−1,9)² — −1,9 < −1,8 ≤ 0 et la fonction carré est strictement décroissante sur ]−∞ ; 0] : (−1,9)² > (−1,8)².

  6. f admet sur [0 ; 8] un minimum égal à 3. L’équation f(x) = 2, sur [0 ; 8] :

    • A. a au moins une solution
    • B. n’a aucune solution
    • C. a exactement deux solutions
    • D. a pour solution x = 3
    Réponse

    B. n’a aucune solution — Toutes les images sont supérieures ou égales à 3, et 2 < 3 : la valeur 2 n’est jamais atteinte.

  7. g est définie sur [−4 ; 4] : elle croît de −1 à 6 sur [−4 ; 0], puis décroît de 6 à 2 sur [0 ; 4], strictement. On peut affirmer que :

    • A. g(−3) > g(3)
    • B. g(−2) > g(−1)
    • C. g(−4) > g(4)
    • D. g(1) > g(3)
    Réponse

    D. g(1) > g(3) — 1 et 3 sont dans [0 ; 4], où g est strictement décroissante : g(1) > g(3). Pour g(−3) et g(3), on ne peut pas conclure ; g(−2) < g(−1) et g(−4) = −1 < 2 = g(4).

  8. Le bénéfice d’une entreprise, en milliers d’euros, est B(x) = 90 − 2(x − 7)² pour x centaines d’objets vendus, x dans [0 ; 10]. Le bénéfice maximal est :

    • A. 7 milliers d’euros, pour 9 000 objets
    • B. 90 milliers d’euros, pour 7 objets
    • C. 90 milliers d’euros, pour 700 objets
    • D. 88 milliers d’euros, pour 800 objets
    Réponse

    C. 90 milliers d’euros, pour 700 objets — (x − 7)² ≥ 0 donc B(x) ≤ 90, et B(7) = 90 avec 7 dans [0 ; 10] : 90 milliers d’euros, pour 7 centaines, soit 700 objets.

  9. balayage(0, 3, 30), appliqué à une fonction qui monte puis descend, renvoie 1,7. Le maximum est atteint :

    • A. entre 1,6 et 1,8
    • B. exactement en 1,7
    • C. entre 1,7 et 3
    • D. entre 0 et 1,7
    Réponse

    A. entre 1,6 et 1,8 — Le pas vaut 3/30 = 0,1 : le sommet est à moins d’un pas de 1,7, donc entre 1,6 et 1,8. Le balayage ne donne pas la valeur exacte.

  10. Si −3 ≤ x ≤ 2, alors x² appartient à l’intervalle :

    • A. [4 ; 9]
    • B. [−9 ; 4]
    • C. [0 ; 4]
    • D. [0 ; 9]
    Réponse

    D. [0 ; 9] — La fonction carré n’est pas monotone sur [−3 ; 2] : sur [−3 ; 0], x² décroît de 9 à 0 ; sur [0 ; 2], il croît de 0 à 4. Donc 0 ≤ x² ≤ 9.

  11. Pour x > 0, k(x) = x + 25/x, et k(x) − 10 = (x − 5)²/x. On en déduit que :

    • A. le maximum de k sur ]0 ; +∞[ est 10
    • B. le minimum de k est 5, atteint en 10
    • C. le minimum de k sur ]0 ; +∞[ est 10
    • D. k est croissante sur ]0 ; +∞[
    Réponse

    C. le minimum de k sur ]0 ; +∞[ est 10 — Pour x > 0, (x − 5)²/x ≥ 0, donc k(x) ≥ 10, et k(5) = 5 + 5 = 10 : le minimum est 10, atteint en 5.

  12. f est strictement décroissante sur ℝ et f(5) = 0. L’inéquation f(x) > 0 a pour ensemble de solutions :

    • A. ]5 ; +∞[
    • B. ]−∞ ; 5[
    • C. ]−∞ ; 0[
    • D. ]0 ; 5[
    Réponse

    B. ]−∞ ; 5[ — f(x) > f(5) : comme f inverse l’ordre, cela équivaut à x < 5.

Niveau difficile ★★★ — 12 questions

  1. On sait seulement que f(0) = 1 et f(4) = 9. On peut affirmer que :

    • A. f est croissante sur [0 ; 4]
    • B. f(2) est compris entre 1 et 9
    • C. f n’est pas décroissante sur [0 ; 4]
    • D. le maximum de f sur [0 ; 4] vaut 9
    Réponse

    C. f n’est pas décroissante sur [0 ; 4] — Si f était décroissante sur [0 ; 4], on aurait f(0) ≥ f(4), soit 1 ≥ 9 : c’est faux. Mais rien ne dit que f est croissante, ni ce que vaut f(2).

  2. Pour tout x de [0 ; 5], f(x) ≤ 10. On peut affirmer que :

    • A. 10 n’est pas forcément le maximum de f
    • B. le maximum de f sur [0 ; 5] vaut 10
    • C. f(5) = 10
    • D. f est croissante sur [0 ; 5]
    Réponse

    A. 10 n’est pas forcément le maximum de f — Pour que 10 soit le maximum, il faut aussi une image égale à 10. Par exemple, f(x) = x vérifie f(x) ≤ 10 sur [0 ; 5], mais son maximum est 5.

  3. f décroît strictement de 3 à −1 sur [−2 ; 1], puis croît strictement de −1 à 5 sur [1 ; 6]. Le nombre f(0) vérifie :

    • A. f(0) < −1
    • B. f(0) = 0
    • C. 3 < f(0) < 5
    • D. −1 < f(0) < 3
    Réponse

    D. −1 < f(0) < 3 — 0 est dans [−2 ; 1], où f est strictement décroissante : −2 < 0 < 1 donne f(−2) > f(0) > f(1), soit 3 > f(0) > −1.

  4. f décroît strictement de 3 à −1 sur [−2 ; 1], puis croît strictement de −1 à 5 sur [1 ; 6]. Quel couple d’images peut-on comparer ?

    • A. f(0) et f(4)
    • B. f(−1) et f(0,5)
    • C. f(−2) et f(5)
    • D. f(−1,5) et f(2)
    Réponse

    B. f(−1) et f(0,5) — −1 et 0,5 sont dans [−2 ; 1], où f est décroissante : f(−1) > f(0,5). Les autres couples sont de part et d’autre de 1, et leurs encadrements se chevauchent.

  5. On sait que a < b. On peut conclure que 1/a > 1/b :

    • A. pour tous réels a et b non nuls
    • B. seulement si a et b sont des entiers
    • C. si a et b sont tous deux strictement positifs
    • D. jamais, la fonction inverse n’étant pas monotone
    Réponse

    C. si a et b sont tous deux strictement positifs — La fonction inverse est strictement décroissante sur ]0 ; +∞[ (et sur ]−∞ ; 0[). Mais avec a = −2 et b = 3, on a 1/a < 1/b : la règle exige un même intervalle.

  6. Pour tout réel x, f(x) = (x − 1)² + 3. Sur l’intervalle [2 ; 5], le minimum de f est :

    • A. 4, atteint en 2
    • B. 3, atteint en 1
    • C. 19, atteint en 5
    • D. 3, atteint en 2
    Réponse

    A. 4, atteint en 2 — Sur [2 ; 5], x − 1 ≥ 1, donc (x − 1)² ≥ 1 et f(x) ≥ 4, avec f(2) = 4. La valeur 3 n’est atteinte qu’en 1, hors de l’intervalle.

  7. Un élève écrit : « f(1) = 2, f(3) = 5 et f(6) = 8, donc f est croissante sur [1 ; 6] ». Son raisonnement :

    • A. est juste, car les images augmentent
    • B. est juste, car 1 < 3 < 6
    • C. est faux, car f(6) devrait valoir 11
    • D. est faux : trois valeurs ne prouvent rien
    Réponse

    D. est faux : trois valeurs ne prouvent rien — La croissance porte sur tous les couples a < b de l’intervalle : entre deux valeurs calculées, la fonction peut très bien descendre.

  8. Dichotomie pour un maximum sur [2 ; 6] : m = 4, f(4) = 7 et f(4,001) = 6,99. On garde l’intervalle :

    • A. [4 ; 6]
    • B. [2 ; 4,001]
    • C. [4,001 ; 6]
    • D. [2 ; 6]
    Réponse

    B. [2 ; 4,001] — f(4) > f(4,001) : la fonction descend déjà entre 4 et 4,001, donc le sommet est avant 4,001. On garde [2 ; 4,001].

  9. La courbe de f sur [0 ; 4] est le segment qui va du point (0 ; 5) au point (4 ; 1). Alors f :

    • A. est décroissante, de minimum 4 atteint en 1
    • B. est croissante, de maximum 5 atteint en 0
    • C. est décroissante, de minimum 1 atteint en 4
    • D. n’a ni maximum ni minimum sur [0 ; 4]
    Réponse

    C. est décroissante, de minimum 1 atteint en 4 — Le segment descend de gauche à droite : f est décroissante, son minimum est l’ordonnée 1 du point d’abscisse 4, et son maximum est f(0) = 5.

  10. Si −4 ≤ x ≤ −2, alors x² appartient à l’intervalle :

    • A. [−16 ; −4]
    • B. [−4 ; 16]
    • C. [2 ; 4]
    • D. [4 ; 16]
    Réponse

    D. [4 ; 16] — Sur [−4 ; −2], la fonction carré est décroissante : (−4)² ≥ x² ≥ (−2)², soit 4 ≤ x² ≤ 16.

  11. Un balayage de pas 0,25 trouve la plus grande image en x = 3. Pour gagner en précision, on peut :

    • A. balayer [2,75 ; 3,25] avec le pas 0,025
    • B. balayer [0 ; 3] avec le même pas
    • C. multiplier le pas par 10
    • D. se contenter de calculer f(3)
    Réponse

    A. balayer [2,75 ; 3,25] avec le pas 0,025 — Le sommet est entre 2,75 et 3,25 : on balaie seulement cet intervalle, avec un pas dix fois plus petit.

  12. f est définie sur [0 ; 10], croissante sur [0 ; 4] et décroissante sur [4 ; 10]. Alors :

    • A. f(0) est le minimum de f sur [0 ; 10]
    • B. f(4) est le maximum de f sur [0 ; 10]
    • C. f(10) est le minimum de f sur [0 ; 10]
    • D. f(2) et f(7) sont égaux
    Réponse

    B. f(4) est le maximum de f sur [0 ; 10] — Pour x dans [0 ; 4], f(x) ≤ f(4) ; pour x dans [4 ; 10], f(x) ≤ f(4) : f(4) est le maximum. Le minimum est f(0) ou f(10), on ne sait pas lequel.

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