Étude de signe et tableaux de signes

Signe d’une expression affine ax + b, règle des signes et tableau de signes d’un produit ou d’un quotient, valeurs interdites, inéquations produit et quotient, lecture graphique du signe et position relative de deux courbes.

À propos de cette page

Ce cours de maths de 2nde sur l’étude de signe suit cinq parties : signe de ax + b avec sa démonstration, règle des signes et tableau de signes d’un produit, signe d’un quotient et valeurs interdites, inéquations produit et quotient, lecture graphique du signe et position relative de deux courbes. Chaque partie a ses tableaux de signes rédigés, un réflexe et le piège à éviter.

Signe d’une expression affine ax + b

Ce qu’il faut savoir

Étudier le signe d’une expression $f (x)$ , c’est trouver les valeurs de $x$ pour lesquelles $f (x) > 0$ , celles pour lesquelles $f (x) = 0$ et celles pour lesquelles $f (x) < 0$ . On résume la réponse dans un tableau de signes : sur la première ligne, les valeurs de $x$ rangées dans l’ordre croissant ; dessous, le signe de l’expression, avec un $0$ sous chaque valeur qui l’annule.

Propriété. Soient $a \neq 0$ et $b$ deux réels. L’expression $a x + b$ s’annule en $x_{0} = - \frac{b}{a}$ . Elle est du signe de $a$ à droite de $x_{0}$ , et du signe contraire à gauche.

$x$	$- \infty$		$- \frac{b}{a}$		$+ \infty$
$a x + b$		signe de $- a$	$0$	signe de $a$

En image. La droite d’équation $y = a x + b$ coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse $x_{0}$ . Si $a > 0$ , elle monte : elle est sous l’axe avant $x_{0}$ , au-dessus après. Si $a < 0$ , c’est l’inverse.

Cas $a = 0$ . L’expression vaut la constante $b$ : son signe est celui de $b$ pour tout réel $x$ .

Exemples

Démonstration (utile, non exigible). Pour tout réel $x$ : $a (x - x_{0})$ $= a (x + \frac{b}{a})$ $= a x + b$ . Si $x > x_{0}$ , alors $x - x_{0} > 0$ : le produit $a (x - x_{0})$ a le signe de $a$ . Si $x < x_{0}$ , alors $x - x_{0} < 0$ : le produit a le signe contraire de celui de $a$ . Enfin, il vaut $0$ pour $x = x_{0}$ .

Un coefficient négatif. $- 3 x + 8 = 0 ⟺ x = \frac{8}{3}$ . Ici $a = - 3 < 0$ : l’expression est négative à droite de $\frac{8}{3}$ , positive à gauche.

$x$	$- \infty$		$\frac{8}{3}$		$+ \infty$
$- 3 x + 8$		$+$	$0$	$-$

Donc $- 3 x + 8 > 0$ sur $] - \infty; \frac{8}{3} [$ et $- 3 x + 8 < 0$ sur $] \frac{8}{3}; + \infty [$ . Contrôle avec $x = 0$ : $- 3 \times 0 + 8 = 8 > 0$ , et $0$ est bien à gauche de $\frac{8}{3}$ .

Un coefficient fractionnaire. $\frac{3}{4} x - 6$ $= 0 ⟺ \frac{3}{4} x$ $= 6 ⟺ x$ $= 6 \times \frac{4}{3}$ $= 8$ . Ici $a = \frac{3}{4} > 0$ : négatif avant $8$ , positif après.

$x$	$- \infty$		$8$		$+ \infty$
$\frac{3}{4} x - 6$		$-$	$0$	$+$

Réflexe — Je résous $a x + b = 0$ , puis je regarde le signe de $a$ (le nombre devant $x$ ) : « signe de $a$ à droite de la racine ». Je contrôle avec une valeur simple, souvent $x = 0$ .

Attention — Dans $1 - x$ , le coefficient de $x$ est $a = - 1$ , pas $1$ : l’expression est positive avant $1$ . Et la racine est $- \frac{b}{a}$ , pas $\frac{b}{a}$ : pour $4 x + 12$ , c’est $- 3$ .

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Règle des signes et tableau de signes d’un produit

Ce qu’il faut savoir

Règle des signes. Un produit de nombres non nuls est positif si le nombre de facteurs négatifs est pair, négatif s’il est impair. Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul.

Tableau de signes d’un produit. 1. Chercher la valeur qui annule chaque facteur. 2. Ranger toutes ces valeurs dans l’ordre croissant sur la ligne des $x$ . 3. Remplir une ligne par facteur (signe de $a x + b$ ). 4. Dernière ligne : règle des signes, colonne par colonne, et un $0$ sous chaque valeur qui annule un facteur.

Facteurs particuliers. Un facteur constant positif ne change rien ; un facteur constant négatif (comme $- 2$ ) inverse tous les signes. Un carré $(x - c)^{2}$ est positif ou nul, et nul seulement en $c$ : il ne change pas le signe des autres facteurs, mais il ajoute un $0$ en $c$ .

Exemples

Deux facteurs. $(2 x - 5) (4 - x)$ . Le facteur $2 x - 5$ s’annule en $\frac{5}{2}$ , avec $a = 2 > 0$ : négatif puis positif. Le facteur $4 - x$ s’annule en $4$ , avec $a = - 1 < 0$ : positif puis négatif. On range $\frac{5}{2} < 4$ .

$x$	$- \infty$		$\frac{5}{2}$		$4$		$+ \infty$
$2 x - 5$		$-$	$0$	$+$		$+$
$4 - x$		$+$		$+$	$0$	$-$
$(2 x - 5) (4 - x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

Sur $] \frac{5}{2}; 4 [$ , aucun facteur n’est négatif : le produit est positif. Sur les deux autres intervalles, un seul facteur est négatif (nombre impair) : le produit est négatif. Donc $(2 x - 5) (4 - x) > 0$ sur $] \frac{5}{2}; 4 [$ et $(2 x - 5) (4 - x) < 0$ sur $] - \infty; \frac{5}{2} [\cup] 4; + \infty [$ .

Avec un carré. $(x - 3)^{2} (2 x + 1)$ . Le carré est positif, sauf en $3$ où il est nul ; $2 x + 1$ s’annule en $- \frac{1}{2}$ .

$x$	$- \infty$		$- \frac{1}{2}$		$3$		$+ \infty$
$(x - 3)^{2}$		$+$		$+$	$0$	$+$
$2 x + 1$		$-$	$0$	$+$		$+$
$(x - 3)^{2} (2 x + 1)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$+$

Le produit a le signe de $2 x + 1$ , avec un zéro de plus en $3$ : il est strictement positif sur $] - \frac{1}{2}; 3 [\cup] 3; + \infty [$ .

Réflexe — Une ligne par facteur, les valeurs rangées dans l’ordre croissant, puis je compte les « $-$ » de chaque colonne : pair, « $+$ » ; impair, « $-$ ».

Attention — Je range les valeurs avant de remplir : par exemple $- \frac{2}{3} < - \frac{1}{2} < \frac{1}{4}$ . Une colonne inversée fausse toute la dernière ligne. Et je ne développe pas le produit : la forme factorisée est celle qui donne le signe.

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Signe d’un quotient et valeurs interdites

Ce qu’il faut savoir

Valeurs interdites. Le quotient $\frac{A (x)}{B (x)}$ n’existe que si $B (x) \neq 0$ . Les valeurs de $x$ qui annulent le dénominateur sont les valeurs interdites ; l’expression est définie sur $ℝ$ privé de ces valeurs (son ensemble de définition).

Signe d’un quotient. Pour $B (x) \neq 0$ , $\frac{A (x)}{B (x)}$ suit la même règle des signes qu’un produit : positif si $A (x)$ et $B (x)$ ont le même signe, négatif sinon. Il est nul si et seulement si $A (x) = 0$ et $B (x) \neq 0$ .

Dans le tableau. Une ligne pour le numérateur, une pour le dénominateur (avec son $0$ ), puis la ligne du quotient : un $0$ sous les valeurs qui annulent le numérateur, une double barre $‖$ sous chaque valeur interdite.

Exemples

Un quotient de deux facteurs affines. $\frac{x + 1}{3 - x}$ . Valeur interdite : $3 - x = 0 ⟺ x = 3$ . Le numérateur s’annule en $- 1$ ( $a = 1 > 0$ ) ; le dénominateur est positif avant $3$ ( $a = - 1 < 0$ ).

$x$	$- \infty$		$- 1$		$3$		$+ \infty$
$x + 1$		$-$	$0$	$+$		$+$
$3 - x$		$+$		$+$	$0$	$-$
$\frac{x + 1}{3 - x}$		$-$	$0$	$+$	\|\|	$-$

Le quotient est positif sur $] - 1; 3 [$ , nul en $- 1$ , négatif sur $] - \infty; - 1 [$ et sur $] 3; + \infty [$ ; il n’existe pas en $3$ .

Un carré au numérateur. $\frac{(x + 2)^{2}}{5 - x}$ . Valeur interdite : $5$ . Le numérateur est positif, nul seulement en $- 2$ .

$x$	$- \infty$		$- 2$		$5$		$+ \infty$
$(x + 2)^{2}$		$+$	$0$	$+$		$+$
$5 - x$		$+$		$+$	$0$	$-$
$\frac{(x + 2)^{2}}{5 - x}$		$+$	$0$	$+$	\|\|	$-$

Le quotient a le signe du dénominateur, avec un $0$ en $- 2$ : positif ou nul sur $] - \infty; 5 [$ , négatif sur $] 5; + \infty [$ .

Réflexe — Avant tout calcul, je cherche les valeurs interdites (dénominateur $= 0$ ). Dans la dernière ligne, elles portent une double barre.

Attention — Le signe d’un quotient ne se lit pas sur le numérateur seul : $\frac{x + 1}{3 - x}$ est négatif pour $x = 4$ , alors que $x + 1 = 5 > 0$ . Et une valeur interdite n’est jamais solution, même si l’inégalité est large.

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Inéquations produit et inéquations quotient

Ce qu’il faut savoir

Méthode. 1. Donner les valeurs interdites s’il y a un quotient. 2. Tout passer dans un membre pour comparer à $0$ . 3. Factoriser (facteur commun, $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ ) ou réduire au même dénominateur. 4. Dresser le tableau de signes. 5. Lire les solutions.

Lire les solutions. Pour « $> 0$ », on prend les intervalles « $+$ » ; pour « $⩾ 0$ », on ajoute les valeurs où l’expression est nulle (crochets fermés). Les valeurs interdites sont toujours exclues (crochet ouvert).

Interdit. On ne divise pas, et on ne multiplie pas, les deux membres par une expression qui contient $x$ : son signe peut changer, et le sens de l’inégalité avec lui.

Exemples

Une inéquation quotient. Résoudre $\frac{2 x + 1}{x - 4} ⩾ 1$ . Valeur interdite : $4$ . Pour $x \neq 4$ : $\frac{2 x + 1}{x - 4} - 1$ $= \frac{2 x + 1 - (x - 4)}{x - 4}$ $= \frac{x + 5}{x - 4}$ . L’inéquation équivaut à $\frac{x + 5}{x - 4} ⩾ 0$ .

$x$	$- \infty$		$- 5$		$4$		$+ \infty$
$x + 5$		$-$	$0$	$+$		$+$
$x - 4$		$-$		$-$	$0$	$+$
$\frac{x + 5}{x - 4}$		$+$	$0$	$-$	\|\|	$+$

On garde les « $+$ » et le $0$ , jamais la double barre : $S =] - \infty; - 5] \cup] 4; + \infty [$ .

Factoriser d’abord. Résoudre $(x + 1)^{2} ⩽ 4 (x + 1)$ . On écrit $(x + 1)^{2} - 4 (x + 1) ⩽ 0$ , puis on met $x + 1$ en facteur : $(x + 1) [(x + 1) - 4] ⩽ 0$ , soit $(x + 1) (x - 3) ⩽ 0$ . Les deux facteurs ont un coefficient positif : le produit est négatif entre $- 1$ et $3$ . $S = [- 1; 3]$ . Simplifier par $x + 1$ aurait donné $x ⩽ 3$ : faux pour $x = - 2$ , car $(- 1)^{2} = 1$ n’est pas inférieur à $4 \times (- 1) = - 4$ .

Ne pas diviser par $x$ . « $x^{2} > 3 x$ , donc $x > 3$ » est faux : $x = - 1$ vérifie $1 > - 3$ . On écrit $x^{2} - 3 x > 0$ , soit $x (x - 3) > 0$ : positif à l’extérieur de $0$ et $3$ . $S =] - \infty; 0 [\cup] 3; + \infty [$ .

Une différence de deux carrés. $(2 x + 1)^{2} ⩾ 25$ $⟺ (2 x + 1)^{2} - 5^{2} ⩾ 0$ $⟺ (2 x + 1 - 5) (2 x + 1 + 5) ⩾ 0$ $⟺ (2 x - 4) (2 x + 6) ⩾ 0$ . Racines $2$ et $- 3$ , coefficients positifs : $S =] - \infty; - 3] \cup [2; + \infty [$ .

Réflexe — Je compare à $0$ , je factorise, je dresse le tableau, puis je relis le symbole de l’inéquation avant de choisir les crochets.

Attention — Pour $\frac{x + 1}{3 - x} ⩾ 0$ , on garde $- 1$ mais jamais $3$ : $S = [- 1; 3 [$ . Et un facteur carré dans une inégalité stricte enlève un point : $(x - 2)^{2} (x + 1) > 0$ exige $x > - 1$ et $x \neq 2$ .

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Lire un signe et comparer deux courbes

Ce qu’il faut savoir

Lecture graphique. $f (x) > 0$ si et seulement si le point de la courbe $C_{f}$ d’abscisse $x$ est strictement au-dessus de l’axe des abscisses ; $f (x) < 0$ s’il est au-dessous ; $f (x) = 0$ aux points où $C_{f}$ coupe ou touche l’axe.

Lire un tableau de signes donné. On prend les intervalles marqués du bon signe. Les bornes de l’ensemble de définition sont incluses si $f$ y est définie et du bon signe.

Position relative de deux courbes. $C_{f}$ est strictement au-dessus de $C_{g}$ sur un intervalle $I$ si et seulement si $f (x) - g (x) > 0$ pour tout $x$ de $I$ . On étudie donc le signe de la différence $f (x) - g (x)$ ; ses zéros sont les abscisses des points d’intersection.

Exemples

Lire une courbe. Une fonction $f$ est définie sur $[- 3; 4]$ ; sa courbe, représentée ci-dessous, coupe l’axe des abscisses en $- 2$ , $1$ et $3$ , elle est au-dessous de l’axe sur $[- 3; - 2 [$ et sur $] 1; 3 [$ , au-dessus sur $] - 2; 1 [$ et sur $] 3; 4]$ . Donc $f (x) < 0$ sur $[- 3; - 2 [\cup] 1; 3 [$ , et $f (x) ⩾ 0$ sur $[- 2; 1] \cup [3; 4]$ .

Position d’une parabole et d’une droite. $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x + 6$ . On calcule $f (x) - g (x) = x^{2} - x - 6$ , et l’on vérifie que $(x - 3) (x + 2)$ $= x^{2} + 2 x - 3 x - 6$ $= x^{2} - x - 6$ .

$x$	$- \infty$		$- 2$		$3$		$+ \infty$
$x + 2$		$-$	$0$	$+$		$+$
$x - 3$		$-$		$-$	$0$	$+$
$f (x) - g (x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

$C_{f}$ est au-dessus de la droite sur $] - \infty; - 2 [\cup] 3; + \infty [$ et au-dessous sur $] - 2; 3 [$ . Points d’intersection : $(- 2; 4)$ et $(3; 9)$ , car $g (- 2) = 4$ et $g (3) = 9$ .

Réflexe — « Au-dessus » se traduit par « différence positive » : je calcule $f (x) - g (x)$ , je la factorise et j’étudie son signe.

Attention — Un tableau de signes donne le signe de $f (x)$ , pas sa valeur : si $f (x) > 0$ , on ne sait pas si $f (x) > 1$ . Et pour comparer deux courbes, on n’étudie jamais un seul morceau de la différence (par exemple le numérateur sans le dénominateur).

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Pour aller plus loin

Équations produit et quotient. Résoudre $A (x) B (x) = 0$ ou $\frac{A (x)}{B (x)} = 0$ , et chercher les valeurs interdites d’une équation : chapitre Équations.

Inéquations du premier degré. Résoudre $a x + b > 0$ ou $a x + b ⩽ c x + d$ en transformant l’inégalité, et les règles sur les inégalités : chapitre Inégalités et inéquations.

Signe des fonctions de référence. Le signe et les variations des fonctions carré, inverse et valeur absolue, les inéquations du type $x^{2} < k$ ou $\frac{1}{x} < k$ , et la position des courbes $y = x$ et $y = x^{2}$ sur $[0; + \infty [$ (démonstration) : chapitre Carré, inverse et valeur absolue. Les fonctions racine carrée et cube ne sont plus au programme de 2nde depuis 2026 : approfondissement.

Fonctions affines. Le lien entre signe de $m x + p$ , sens de variation et droite représentative : chapitre Fonctions affines. Résoudre $f (x) < g (x)$ en lisant des courbes : chapitre Généralités sur les fonctions.

Factoriser. Facteur commun et identités remarquables : chapitre Calcul littéral et expressions fractionnaires.

En 1re (spécialité). Le signe d’un trinôme $a x^{2} + b x + c$ qui ne se factorise pas à vue s’obtient avec le discriminant ; les tableaux de signes servent ensuite à étudier le signe d’une dérivée.

À retenir

$a x + b$ ( $a \neq 0$ ) s’annule en $- \frac{b}{a}$ : signe de $a$ à droite, signe contraire à gauche.
Règle des signes : un produit ou un quotient de nombres non nuls est positif si le nombre de facteurs négatifs est pair, négatif s’il est impair.
Tableau de signes : valeurs rangées dans l’ordre croissant, une ligne par facteur, $0$ sous les zéros, double barre ‖ sous les valeurs interdites.
Inéquation produit ou quotient : on compare à $0$ , on factorise, on fait le tableau ; on ne divise ni ne multiplie par une expression en $x$ .
$C_{f}$ est au-dessus de $C_{g}$ là où $f (x) - g (x) > 0$ .

Questions fréquentes

Comment trouver le signe de ax + b ?

On résout ax + b = 0 : la racine est −b/a. L’expression est du signe de a à droite de cette racine et du signe contraire à gauche. Par exemple, 1 − x (a = −1) est positif avant 1 et négatif après.

Comment faire le tableau de signes d’un produit ?

On cherche la valeur qui annule chaque facteur, on range ces valeurs dans l’ordre croissant sur la ligne des x, on remplit une ligne par facteur, puis la dernière ligne avec la règle des signes : un nombre pair de facteurs négatifs donne +, un nombre impair donne −.

Que signifie la double barre dans un tableau de signes ?

Elle marque une valeur interdite : une valeur qui annule le dénominateur d’un quotient. L’expression n’y existe pas, donc cette valeur n’appartient jamais à l’ensemble des solutions : le crochet est toujours ouvert.

Comment résoudre une inéquation quotient ?

On donne les valeurs interdites, on passe tout dans un membre pour comparer à 0, on réduit au même dénominateur et on factorise, puis on dresse le tableau de signes. On ne multiplie jamais par le dénominateur, dont le signe peut changer.

Comment savoir si une courbe est au-dessus d’une autre ?

On étudie le signe de la différence f(x) − g(x) : la courbe de f est au-dessus de celle de g là où cette différence est positive. Les valeurs qui annulent la différence sont les abscisses des points d’intersection.

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