Comment faire un tableau de signes en seconde ?

On factorise l'expression, on cherche la valeur qui annule chaque facteur ainsi que les valeurs interdites, puis on les range dans l'ordre croissant sur la ligne des x. On remplit une ligne par facteur avec le signe de ax + b, et la dernière ligne s'obtient par la règle des signes, colonne par colonne.

Quel est le signe de ax + b ?

Si a est non nul, ax + b s'annule en x = −b/a. L'expression est du signe de a à droite de cette valeur et du signe contraire à gauche. Par exemple, −2x + 7 est positif avant 3,5 et négatif après.

Que signifie la double barre dans un tableau de signes ?

Elle signale une valeur interdite : le dénominateur s'y annule, donc l'expression n'est pas définie. Cette valeur n'est jamais solution d'une inéquation, même large : le crochet est toujours ouvert de ce côté.

Comment résoudre une inéquation produit ou quotient ?

On passe tout dans un membre pour comparer à 0, on réduit au même dénominateur et on factorise. On dresse ensuite le tableau de signes et on lit les intervalles où l'expression a le signe voulu, en incluant les zéros du numérateur seulement si l'inégalité est large.

Pourquoi ne peut-on pas diviser une inéquation par x ?

Parce que le signe de x est inconnu : diviser par un nombre négatif change le sens de l'inégalité. Il faut factoriser : x² ≥ 3x devient x(x − 3) ≥ 0, dont les solutions sont x ≤ 0 ou x ≥ 3.

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Étude de signe et tableaux de signes

Signe d'une expression affine, d'un produit et d'un quotient, tableaux de signes, inéquations produit et quotient (thème Fonctions)

À propos de cette page

Ce cours de mathématiques en seconde sur « Étude de signe et tableaux de signes » suit le programme officiel de mathématiques de seconde. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : L'essentiel, Signe de ax + b, Signe d'un produit et d'un quotient, Lecture graphique du signe. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de seconde à réussir en mathématiques.

L'essentiel

Étudier le signe d'une expression

f (x)

sur un intervalle

I

, c'est déterminer les valeurs de

x

I

pour lesquelles

f (x) > 0

, celles pour lesquelles

f (x) < 0

et celles pour lesquelles

f (x) = 0

Tableau de signes. Première ligne : les valeurs de

x

rangées dans l'ordre croissant (bornes, valeurs qui annulent un facteur, valeurs interdites). Puis une ligne par facteur, et une dernière ligne pour l'expression entière. On écrit

0

sous une valeur qui annule, une double barre ‖ sous une valeur interdite.

Règle des signes. Un produit ou un quotient de nombres non nuls est positif si le nombre de facteurs négatifs est pair, négatif s'il est impair.
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur non nul.

Les chapitres « Inéquations » et « Généralités sur les fonctions » ont introduit le tableau de signes. Ici, on le systématise : plusieurs facteurs, quotients, factorisation préalable, paramètre.

Signe de ax + b

Propriété. Soit

a \neq 0

b

deux réels. L'expression

a x + b

s'annule en

x_{0} = - \frac{b}{a}

; elle est du signe de $a$ à droite de $x_{0}$ et du signe contraire à gauche.

$x$	$- \infty$		$- \frac{b}{a}$		$+ \infty$
$a x + b$		signe de $- a$	0	signe de $a$

Justification.

a x + b = a (x - x_{0})

. Si

x > x_{0}

, alors

x - x_{0} > 0

a x + b

a le signe de

a

; si

x < x_{0}

, alors

x - x_{0} < 0

a x + b

a le signe contraire.

Exemple.

- 2 x + 7

a = - 2 < 0

- 2 x + 7 = 0 ⟺ x = \frac{7}{2}

. Donc

- 2 x + 7 > 0

sur

] - \infty; \frac{7}{2} [

- 2 x + 7 < 0

sur

] \frac{7}{2}; + \infty [

a = 0

, l'expression vaut la constante

b

: son signe est celui de

b

sur tout

ℝ

Signe d'un produit et d'un quotient

Propriété. Sur chaque intervalle du tableau, le signe de

A (x) \times B (x)

ou de

\frac{A (x)}{B (x)}

s'obtient par la règle des signes appliquée aux signes de

A (x)

et de

B (x)

Exemple.

(2 x - 5) (4 - x)

2 x - 5

s'annule en

\frac{5}{2}

(

a = 2 > 0

4 - x

s'annule en

4

(

a = - 1 < 0

$x$	$- \infty$		$\frac{5}{2}$		$4$		$+ \infty$
$2 x - 5$		−	0	+		+
$4 - x$		+		+	0	−
$(2 x - 5) (4 - x)$		−	0	+	0	−

Donc

(2 x - 5) (4 - x) > 0

sur

] \frac{5}{2}; 4 [

(2 x - 5) (4 - x) < 0

sur

] - \infty; \frac{5}{2} [\cup] 4; + \infty [

Valeur interdite. Dans

\frac{A (x)}{B (x)}

, toute valeur qui annule

B (x)

est interdite : on trace une double barre ‖ dans la dernière ligne, et cette valeur n'appartient jamais à un ensemble de solutions.

Facteur carré.

(x - c)^{2} \geq 0

pour tout réel

x

, et

(x - c)^{2} = 0

seulement pour

x = c

: ce facteur ne modifie pas le signe des autres, mais il ajoute un zéro en

c

Lecture graphique du signe

Lecture graphique.

f (x) > 0

si et seulement si le point de

C_{f}

d'abscisse

x

est strictement au-dessus de l'axe des abscisses ;

f (x) < 0

s'il est strictement au-dessous. Les solutions de

f (x) = 0

sont les abscisses des points où

C_{f}

coupe ou touche l'axe.

Exemple. Ci-dessus,

f

est définie sur

[- 3; 4]

C_{f}

coupe l'axe en

- 2

1

3

. On lit :

f (x) < 0

sur

[- 3; - 2 [\cup] 1; 3 [

f (x) > 0

sur

] - 2; 1 [\cup] 3; 4]

. Le calcul le confirme : les trois facteurs changent de signe en

- 2

1

3

Position relative de deux courbes.

C_{f}

est strictement au-dessus de

C_{g}

sur

I

si et seulement si

f (x) - g (x) > 0

pour tout

x

I

. On étudie donc le signe de la différence

f (x) - g (x)

; ses zéros donnent les abscisses des points d'intersection.

Signe des fonctions de référence

Fonction	Définie sur	Signe
$x \mapsto x^{2}$	$ℝ$	positive ou nulle ; nulle seulement en $0$
$x \mapsto x^{3}$	$ℝ$	du signe de $x$ : négative sur $] - \infty; 0 [$ , positive sur $] 0; + \infty [$
$x \mapsto \frac{1}{x}$	$] - \infty; 0 [\cup] 0; + \infty [$	du signe de $x$ , jamais nulle ; $0$ est une valeur interdite
$x \mapsto \sqrt{x}$	$[0; + \infty [$	positive ou nulle ; nulle seulement en $0$

Démonstration (position de $y = x$ , $y = x^{2}$ et $y = x^{3}$ sur $[0; + \infty [$ ).

x^{2} - x = x (x - 1)

x^{3} - x^{2} = x^{2} (x - 1)

. Pour

x \geq 0

, on a

x \geq 0

x^{2} \geq 0

: ces deux différences ont donc le signe de

x - 1

. Sur

[0; 1]

, elles sont négatives ou nulles :

x^{3} \leq x^{2} \leq x

. Sur

[1; + \infty [

, elles sont positives ou nulles :

x \leq x^{2} \leq x^{3}

Sur

ℝ

entier,

x^{2} - x = x (x - 1)

est positif sur

] - \infty; 0] \cup [1; + \infty [

: pour tout

x < 0

, on a

x^{2} > x

Méthodes

Méthode 1 — Dresser le tableau de signes d'un produit ou d'un quotient

Écrire l'expression comme produit ou quotient de facteurs de signe connu (affines, carrés, constantes).
Résoudre « facteur $= 0$ » pour chaque facteur ; repérer les valeurs interdites (dénominateur nul).
Ranger toutes ces valeurs dans l'ordre croissant sur la ligne des $x$ .
Remplir une ligne par facteur avec le signe de $a x + b$ .
Dernière ligne : règle des signes colonne par colonne ; $0$ sous les zéros du numérateur, ‖ sous les valeurs interdites.

Exemple rédigé.

\frac{x + 1}{3 - x}

x + 1 = 0 ⟺ x = - 1

(

a = 1 > 0

) ;

3 - x = 0 ⟺ x = 3

, valeur interdite (

a = - 1 < 0

$x$	$- \infty$		$- 1$		$3$		$+ \infty$
$x + 1$		−	0	+		+
$3 - x$		+		+	0	−
$\frac{x + 1}{3 - x}$		−	0	+	‖	−

Méthode 2 — Résoudre une inéquation quotient

Déterminer les valeurs interdites.
Tout passer dans un membre pour comparer à $0$ .
Réduire au même dénominateur et factoriser.
Dresser le tableau de signes.
Lire la réponse : zéros du numérateur inclus si l'inégalité est large, valeurs interdites toujours exclues.

Exemple rédigé. Résoudre

\frac{2 x + 1}{x - 4} \geq 1

. Valeur interdite :

4

. Pour

x \neq 4

\frac{2 x + 1}{x - 4} - 1 = \frac{2 x + 1 - (x - 4)}{x - 4} = \frac{x + 5}{x - 4}

. Signes :

+

sur

] - \infty; - 5 [

0

- 5

-

sur

] - 5; 4 [

, ‖ en

4

+

sur

] 4; + \infty [

. $S =] - \infty; - 5] \cup] 4; + \infty [$ .

Méthode 3 — Factoriser avant d'étudier le signe

Tout passer à gauche ; ne jamais diviser par une expression contenant $x$ .
Chercher un facteur commun ou l'identité $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .
Dresser le tableau de signes du produit obtenu, puis conclure.

Exemple rédigé. Résoudre

(x + 1)^{2} \leq 4 (x + 1)

. On écrit

(x + 1)^{2} - 4 (x + 1) \leq 0

, soit

(x + 1) (x + 1 - 4) \leq 0

, c'est-à-dire

(x + 1) (x - 3) \leq 0

. Les deux facteurs ont un coefficient positif : le produit est négatif entre les racines. $S = [- 1; 3]$ . Simplifier par

x + 1

aurait donné

x \leq 3

: faux pour

x = - 2

(

1 \leq - 4

est faux).

Pièges et erreurs classiques

Diviser par une expression en $x$ . «

x^{2} > 3 x

donc

x > 3

» est faux : pour

x = - 1

1 > - 3

est vrai. On écrit

x (x - 3) > 0

, d'où

S =] - \infty; 0 [\cup] 3; + \infty [

Oublier le signe de $a$ .

1 - x

est positif avant

1

: avec

a < 0

, l'ordre des signes s'inverse.

Crochet fermé sur une valeur interdite. Pour

\frac{x + 1}{3 - x} \geq 0

, on garde

- 1

mais jamais

3

S = [- 1; 3 [

Facteur carré dans une inégalité stricte.

(x - 2)^{2} (x + 1) > 0

exige

x > - 1

x \neq 2

Valeurs mal rangées. Ranger par exemple

- \frac{2}{3}

- \frac{1}{2}

\frac{1}{4}

dans l'ordre croissant avant de remplir le tableau : une colonne inversée fausse toute la dernière ligne.

Conclure sans relire l'inégalité. Pour

\geq 0

, on prend les « + » et les zéros ; pour

> 0

, seulement les « + ».

En bref

$a x + b$ ( $a \neq 0$ ) s'annule en $- \frac{b}{a}$ et a le signe de $a$ à droite de cette valeur.
Produit, quotient : une ligne par facteur, règle des signes colonne par colonne.
Valeur interdite : double barre ‖, toujours exclue (crochet ouvert).
$x^{2} \geq 0$ et $\sqrt{x} \geq 0$ ; $x^{3}$ et $\frac{1}{x}$ ont le signe de $x$ .
Inéquation : tout passer à gauche, factoriser, tableau, puis lire — jamais diviser par une expression en $x$ .
Position de deux courbes = signe de $f (x) - g (x)$ .

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