Variations et extrémums

1. a)$0,5$ et $1,5$ appartiennent à $[-2;5]$, où $f$ est décroissante, et $0,5<1,5$ : l’ordre est inversé, $f(0,5)⩾f(1,5)$. (1)
2. b)$-1,31<-1,3⩽0$ et la fonction carré est strictement décroissante sur $]-\infty ;0]$ : $(-1,31{)}^2>(-1,3{)}^2$. (1)
3. c)$(x-7{)}^2⩾0$, donc $(x-7{)}^2+2⩾2$, avec égalité pour $x=7$ : le minimum vaut $2$, atteint en $7$. (1)
4. d)C’est une fonction affine de coefficient directeur $-0,5<0$ : elle est décroissante sur $ℝ$. (1)

Repère — Avant toute comparaison, on vérifie que les deux nombres sont dans un même intervalle de monotonie.

1. a)Les images du tableau sont $2$, $-6$, $9$ et $-4$. Le maximum de $k$ sur $[-5;7]$ vaut $9$, atteint en $3$ ; le minimum vaut $-6$, atteint en $-1$. (1)
2. b)$4$ et $6$ appartiennent à $[3;7]$, où $k$ est strictement décroissante, et $4<6$ : donc $k(4)>k(6)$. (1)
3. c)Sur $[-1;3]$, $k$ est croissante de $k(-1)=-6$ à $k(3)=9$ : pour tout $x$ de $[-1;3]$, $-6⩽k(x)⩽9$. (1)
4. d)Comparer les images des deux bornes ne donne pas le sens de variation sur tout l’intervalle. Contre-exemple : $-1<3$ et $k(-1)=-6<k(3)=9$, alors qu’une fonction décroissante donnerait $k(-1)⩾k(3)$. Donc $k$ n’est pas décroissante sur $[-5;7]$. (1)

Repère — Le sens de variation se lit flèche par flèche, jamais en comparant seulement les deux bornes.

1. a)$f(b)-f(a)=b^2-12b+40-a^2+12a-40$ $=(b^2-a^2)-12(b-a)$ $=(b-a)(b+a)-12(b-a)$ $=(b-a)(a+b-12)$. (1)
2. b)Soient $a<b$ dans $[6;+\infty [$. Alors $b-a>0$ ; et $a⩾6$, $b>6$ donnent $a+b>12$, donc $a+b-12>0$. Le produit est strictement positif : $f(a)<f(b)$. Donc $f$ est strictement croissante sur $[6;+\infty [$. (1)
3. c)$(x-6{)}^2=x^2-12x+36$, donc $f(x)-4=x^2-12x+36=(x-6{)}^2$. Un carré est positif ou nul : $f(x)⩾4$ pour tout réel $x$, et $f(6)=36-72+40=4$. Le minimum de $f$ sur $ℝ$ vaut $4$, atteint en $6$. (1)
4. d)$f(0)=40$, $f(6)=4$ et $f(10)=100-120+40=20$. Sur $[0;10]$ : $f$ décroît de $40$ à $4$ sur $[0;6]$, puis croît de $4$ à $20$ sur $[6;10]$.

   $x$	$0$		$6$		$10$
   $f(x)$	$40$	↘	$4$	↗	$20$

   (1)

Méthode — Sens de variation : signe de f(b) − f(a) ; extrémum : signe de f(x) − f(c).

1. a)Le grillage couvre les trois segments de longueur $x$ et les deux autres côtés, de même longueur $L$ : $3x+2L=120$, donc $L={\displaystyle \frac{120-3x}{2}}=60-1,5x$ m. L’aire d’un rectangle est le produit de ses dimensions : $A(x)=x(60-1,5x)$. (1)
2. b)$600-1,5(x-20{)}^2=600-1,5(x^2-40x+400)$ $=600-1,5x^2+60x-600$ $=60x-1,5x^2$. Or $A(x)=x(60-1,5x)=60x-1,5x^2$ : les deux expressions sont égales. (1)
3. c)Pour tout $x$, $1,5(x-20{)}^2⩾0$, donc $A(x)⩽600$, avec égalité pour $x=20$, qui appartient à $]0;40[$. L’aire maximale vaut $600$ m², pour $x=20$ m : les deux autres côtés mesurent $60-1,5\times 20=30$ m. L’enclos mesure $20$ m sur $30$ m. (1)
4. d)Pour $0<a<b⩽20$ : $a-20<b-20⩽0$, et la fonction carré est strictement décroissante sur $]-\infty ;0]$, donc $(a-20{)}^2>(b-20{)}^2$, puis $A(a)<A(b)$ : $A$ est strictement croissante sur $]0;20]$. Comme $12<13$, $A(12)<A(13)$. (1)

Méthode — Optimiser : variable et intervalle, expression, extrémum démontré, conclusion avec l’unité.

1. a)$d(3)=3\times 7^2=147$ ; $d(3,5)=3,5\times 6,5^2$ $=3,5\times 42,25$ $=147,875$ ; $d(4)=4\times 6^2=144$. (1)
2. b)La plus grande image calculée est en $3,5$, et $d$ monte puis descend : le sommet est à moins d’un pas de $3,5$. Le maximum est atteint entre $3$ et $4$ (en effet $d(3)<d(3,5)$ et $d(4)<d(3,5)$). (1)
3. c)Le milieu de $[0;5]$ est $2,5$ ; $d(2,5)=2,5\times 7,5^2$ $=2,5\times 56,25$ $=140,625$. Comme $d(2,5)<d(2,51)\approx 140,81$, la fonction monte encore en $2,5$ : le sommet est après $2,5$. On garde $[2,5;5]$. (1)
4. d)Le milieu de $[2,5;5]$ est $3,75$ ; $d(3,75)=3,75\times 6,{25}^2$ $=3,75\times 39,0625$ $=146,484375$. Comme $d(3,75)>d(3,76)\approx 146,41$, la fonction descend déjà : le sommet est avant $3,76$. On garde $[2,5;3,76]$. (1)

Repère — La dichotomie compare deux images très proches pour savoir si la fonction monte ou descend au milieu.