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Variations et extrémums

Fonction croissante, décroissante, monotone sur un intervalle, tableau de variations, maximum et minimum, comparer f(a) et f(b), problèmes d’optimisation, balayage et dichotomie en Python.

À propos de cette page
Cinq problèmes corrigés où les variations servent à décider : les températures d’une journée d’hiver, le bénéfice d’un atelier de porte-clés, la trajectoire d’un plongeur, le prix d’abonnement qui maximise la recette d’un club, et la plus grande niche rectangulaire sous une arche, encadrée par balayage puis démontrée.

5 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

  1. Je choisis la variable et l’intervalle de ses valeurs possibles, avec son unité (une longueur est positive, une production ne dépasse pas la capacité).
  2. J’exprime la grandeur étudiée en fonction de la variable, en justifiant chaque terme (aire = largeur × hauteur, bénéfice = recette − coût).
  3. Je conjecture l’extrémum avec quelques valeurs, un balayage ou la courbe.
  4. Je démontre : forme donnée à vérifier en développant, signe de f(x) − f(c), ou tableau de variations.
  5. Je conclus par une phrase qui répond à la question (dimension, prix, instant), avec l’unité, après avoir vérifié que la valeur trouvée est dans l’intervalle.
Problème 1 · Températures d’une journée d’hiver★★★Facile
Une station météo relève la température T(x), en °C, à l’heure x, pour x dans [0;24]. Son tableau de variations est le suivant ; T est strictement monotone sur chaque intervalle.
x061524
T(x)4↘−3↗12↘1
  1. 1. Température maximale de la journée : °C
    Les nombres de la 2e ligne sont 4, −3, 12 et 1. Le plus grand est 12 : la température maximale est 12 °C, atteinte à 15 h.
  2. 2. Heure à laquelle la température est minimale : h
    Le plus petit nombre de la 2e ligne est −3, écrit sous 6 : la température minimale, −3 °C, est atteinte à 6 h.
  3. 3. Complète par < ou > : T(8) T(11)
    8 et 11 appartiennent à [6;15], où T est strictement croissante, et 8<11 : T(8)<T(11). En revanche, T(3) et T(20) ne se comparent pas avec le tableau : 3 et 20 ne sont pas dans le même intervalle de monotonie.
  4. 4. Justifier que, pour tout x de [15;24], T(x)⩾m, et donner le plus grand nombre m possible : m=
    Rédaction attendue. Sur [15;24], T est décroissante ; pour x dans cet intervalle, x⩽24 donne donc T(x)⩾T(24)=1. Comme T(24)=1, aucun nombre plus grand que 1 ne convient : m=1. Le soir, la température ne descend pas sous 1 °C.
  5. 5. Le programme ci-dessous doit renvoyer la plus haute température d’une liste de relevés.
    def maximum(releves):
    m = 0
    for t in releves:
        if t > m:
            m = t
    return m
    Pour la liste [-5, -2, -7], il renvoie
    m vaut 0 au départ et aucun relevé n’est plus grand que 0 : la condition t > m n’est jamais vraie, la fonction renvoie 0, une valeur qui n’est même pas dans la liste (le bon maximum est −2). Correction : remplacer m = 0 par m = releves[0].
Problème 2 · Bénéfice d’un atelier de porte-clés★★★Moyen
Un atelier fabrique x dizaines de porte-clés, avec x dans [0;40]. Le coût de production, en euros, est C(x)=x2+10x+500 et chaque dizaine de porte-clés est vendue 60 €. Le bénéfice est B(x)=60x−C(x).
  1. 1. B(20)= €
    C(20)=400+200+500=1100 € et la recette vaut 60×20=1200 €, donc B(20)=1200−1100=100 € : pour 200 porte-clés, l’atelier gagne 100 €.
  2. 2. Démontrer que B(x)=−x2+50x−500, puis que B(x)=k−(x−25)2, où k est un nombre à trouver : k=
    Rédaction attendue. B(x)=60x−(x2+10x+500) =−x2+50x−500. Or (x−25)2=x2−50x+625, donc −(x−25)2=−x2+50x−625, et B(x)=−(x−25)2+125. Ainsi k=125.
  3. 3. Justifier le nombre de porte-clés à fabriquer pour que le bénéfice soit maximal : porte-clés
    Rédaction attendue. Pour tout x de [0;40], (x−25)2⩾0, donc B(x)⩽125, et B(25)=125, avec 25 dans [0;40]. Le bénéfice maximal, 125 €, est obtenu pour 25 dizaines, soit 250 porte-clés.
  4. 4. B(40)= €
    B(40)=−1600+2000−500=−100 € : à 400 porte-clés, l’atelier perd 100 €.
  5. 5. Sur [25;40], la fonction B est
    Pour 25⩽a<b⩽40 : 0⩽a−25<b−25, et la fonction carré est strictement croissante sur [0;+∞[, donc (a−25)2<(b−25)2, puis B(a)>B(b). B est strictement décroissante sur [25;40] : tableau, B croît de B(0)=−500 à 125, puis décroît de 125 à −100.
Problème 3 · Trajectoire d’un plongeur★★★Moyen
Un plongeur s’élance d’un plongeoir. Sa hauteur au-dessus de l’eau, en mètres, t secondes après l’impulsion, est modélisée par h(t)=−5t2+4t+10, de t=0 jusqu’à son entrée dans l’eau.
  1. 1. Hauteur du plongeoir : h(0)= m
    h(0)=10 : au départ, le plongeur est à 10 m au-dessus de l’eau, la hauteur du plongeoir.
  2. 2. Démontrer que h(t)=−5(t−0,4)2+k, où k est un nombre à trouver : k=
    Rédaction attendue. −5(t−0,4)2=−5(t2−0,8t+0,16) =−5t2+4t−0,8. Donc h(t)=−5t2+4t+10 =−5(t−0,4)2+0,8+10 =−5(t−0,4)2+10,8. Ainsi k=10,8.
  3. 3. Justifier que le plongeur est au plus haut à t=0,4 s, puis donner l’autre instant où il repasse à la hauteur du plongeoir : s
    Rédaction attendue. −5(t−0,4)2⩽0 pour tout t, donc h(t)⩽10,8, avec égalité pour t=0,4 : la hauteur maximale, 10,8 m, est atteinte au bout de 0,4 s. Tableau : h croît de 10 à 10,8 sur [0;0,4], puis décroît. Ensuite, h(t)=10 équivaut à −5t2+4t=0, soit t(4−5t)=0 : t=0 (le départ) ou t=0,8. Le plongeur repasse à 10 m au bout de 0,8 s.
  4. 4. h(1)= m
    h(1)=−5+4+10=9 m : le plongeur redescend.
  5. 5. h(1,8)=1. Calculer h(1,9) et justifier que le plongeur entre dans l’eau entre 1,8 s et 1,9 s : h(1,9)=
    Rédaction attendue. h(1,9)=−5×3,61+7,6+10 =−18,05+17,6 =−0,45. Sur [0,4;1,9], h est décroissante : elle passe de h(1,8)=1>0 à h(1,9)=−0,45<0. La hauteur devient nulle entre ces deux instants : le plongeur touche l’eau entre 1,8 s et 1,9 s (balayage au dixième de seconde).
Problème 4 · Recette d’un club sportif★★★Moyen
Un club fixe le prix de son abonnement mensuel à p euros, avec 0⩽p⩽40. Il compte alors 400−10p adhérents. On note R(p) la recette mensuelle, en euros.
  1. 1. R(12)= €
    À 12 €, il y a 400−120=280 adhérents : R(12)=12×280=3360 €. En général, R(p)=p(400−10p)=−10p2+400p.
  2. 2. R(30)= €
    À 30 €, il reste 400−300=100 adhérents : R(30)=30×100=3000 €.
  3. 3. Démontrer que R(p)=4000−10(p−20)2, puis justifier le prix qui rend la recette maximale : €
    Rédaction attendue. 4000−10(p−20)2=4000−10(p2−40p+400) =−10p2+400p =R(p). Comme 10(p−20)2⩾0, on a R(p)⩽4000 pour tout p, et R(20)=4000. La recette est maximale, égale à 4000 €, pour un abonnement à 20 €.
  4. 4. Sans calculer, complète par < ou > : R(15) R(18)
    Pour 0⩽a<b⩽20 : a−20<b−20⩽0, et la fonction carré est strictement décroissante sur ]−∞;0], donc (a−20)2>(b−20)2, puis R(a)<R(b). R est strictement croissante sur [0;20] ; comme 15<18, R(15)<R(18).
  5. 5. Nombre d’adhérents au prix optimal :
    À 20 € : 400−10×20=200 adhérents, et 20×200=4000 €.
Méthodes utiles : Cas 5 Cas 4
Problème 5 · La plus grande niche sous une arche★★★Difficile
Dans un mur, une arche est modélisée, dans un repère orthonormé d’unité 1 dm, par la courbe d’équation y=12−x2, l’axe des abscisses représentant le sol. On creuse sous l’arche une niche rectangulaire ABCD avec A(−x;0), B(x;0), C(x;12−x2) et D(−x;12−x2), où 0<x⩽3. On note 𝒜(x) son aire, en dm².
  1. 1. Pour x=1, l’aire de la niche vaut dm²
    Pour x=1 : AB=2 dm et BC=12−1=11 dm, donc l’aire vaut 2×11=22 dm².
  2. 2. Justifier que 𝒜(x)=24x−2x3, puis calculer 𝒜(1,5)=
    Rédaction attendue. La largeur est AB=x−(−x)=2x et la hauteur BC=12−x2 (positive car x⩽3). Donc 𝒜(x)=2x(12−x2)=24x−2x3. Puis 𝒜(1,5)=36−2×3,375 =36−6,75 =29,25 dm².
  3. 3. Un balayage de pas 0,5 donne 𝒜(0,5)=11,75 ; 𝒜(2)=32 ; 𝒜(2,5)=28,75 ; 𝒜(3)=18. En admettant que 𝒜 croît puis décroît, le balayage donne l’encadrement 1,5<c< de l’abscisse c du maximum
    Avec les valeurs déjà trouvées (22 en 1, 29,25 en 1,5), la plus grande aire calculée est 32, en x=2. La fonction croît puis décroît : le sommet est à moins d’un pas de 2, donc 1,5<c<2,5.
  4. 4. Développer 2(x−2)2(x+4) : on obtient 2x3−24x+
    (x−2)2=x2−4x+4, puis (x2−4x+4)(x+4)=x3+4x2−4x2−16x+4x+16 =x3−12x+16. Donc 2(x−2)2(x+4)=2x3−24x+32.
  5. 5. En déduire que 𝒜(x)⩽𝒜(2) pour tout x de ]0;3]. La niche d’aire maximale a une largeur de dm
    Rédaction attendue. 𝒜(2)=48−16=32. Pour x dans ]0;3] : 𝒜(2)−𝒜(x)=32−24x+2x3 =2(x−2)2(x+4). Or (x−2)2⩾0 et x+4>0 : ce produit est positif ou nul, donc 𝒜(x)⩽𝒜(2). L’aire est maximale, égale à 32 dm², pour x=2 : la largeur vaut 2x=4 dm.
  6. 6. Hauteur de cette niche : dm
    La hauteur vaut 12−22=8 dm. La niche la plus grande mesure 4 dm sur 8 dm, soit 40 cm sur 80 cm.
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