Variations et extrémums

La fonction $f$ est définie sur $[-6;4]$. Sa courbe monte du point $A(-6;-1)$ au point $B(-2;5)$, puis descend jusqu’au point $C(4;-3)$. Réponds par « croissante » ou « décroissante », ou par un nombre.

1. Sur $[-6;-2]$, $f$ est
   De $A$ à $B$, la courbe monte quand $x$ augmente : $f$ est croissante sur $[-6;-2]$.
2. Sur $[0;3]$, $f$ est
   L’intervalle $[0;3]$ est contenu dans $[-2;4]$, où la courbe descend de $B$ à $C$ : $f$ est décroissante sur $[0;3]$.
3. Le plus grand intervalle de la forme $[c;4]$ sur lequel $f$ est monotone commence en $c=$
   $f$ est décroissante sur $[-2;4]$. Si l’on part d’un nombre plus petit que $-2$, l’intervalle contient un morceau où la courbe monte et un morceau où elle descend : $f$ n’y est plus monotone. Donc $c=-2$.

La fonction $f$ est strictement décroissante sur $[1;9]$. Complète par le symbole < ou >.

1. $f(2)$ $f(7)$
   $2$ et $7$ appartiennent à $[1;9]$ et $2<7$. Comme $f$ est strictement décroissante, elle inverse l’ordre : $f(2)>f(7)$.
2. Pour tout $a$ de $]3;9]$ : $f(a)$ $f(3)$
   Pour $a$ dans $]3;9]$, on a $3<a$, donc, $f$ inversant l’ordre, $f(3)>f(a)$, c’est-à-dire $f(a)<f(3)$.
3. Si $x$ appartient à $[1;9]$ et $f(x)>f(5)$, alors $x$ $5$
   Si on avait $x⩾5$, la décroissance donnerait $f(x)⩽f(5)$, ce qui est faux. Donc $x<5$.

Fonctions déjà étudiées et contre-exemples.

1. La fonction $x\mapsto 4-2,5x$ est sur $ℝ$.
   C’est une fonction affine de coefficient directeur $-2,5$, négatif : elle est décroissante sur $ℝ$ (chapitre Fonctions affines).
2. Justifier que la fonction carré n’est pas croissante sur $[-3;2]$. Avec $a=-3$ et $b=2$, la différence $a^2-b^2$ vaut
   Rédaction attendue. Prenons $a=-3$ et $b=2$, deux réels de $[-3;2]$ tels que $a<b$. On a $a^2-b^2=9-4=5>0$, donc $a^2>b^2$. Si la fonction carré était croissante sur $[-3;2]$, on aurait $a^2⩽b^2$ : ce contre-exemple prouve qu’elle ne l’est pas.
3. $f$ est croissante sur $[0;6]$, avec $f(1)=4$ et $f(5)=4$. Alors $f(3)=$
   On a $1<3<5$ et $f$ est croissante sur $[0;6]$, donc $f(1)⩽f(3)⩽f(5)$, c’est-à-dire $4⩽f(3)⩽4$. Donc $f(3)=4$ : $f$ est même constante sur $[1;5]$.

Soit $v$ la fonction définie sur $ℝ$ par $v(x)=x^2+2x-7$, et soient $a<b$ deux réels.

1. Démontrer que $v(b)-v(a)=(b-a)(a+b+k)$, où $k$ est un nombre à trouver : $k=$
   Rédaction attendue. $v(b)-v(a)=b^2+2b-7-a^2-2a+7$ $=(b^2-a^2)+2(b-a)$. Or $b^2-a^2=(b-a)(b+a)$, donc $v(b)-v(a)=(b-a)(a+b)+2(b-a)$ $=(b-a)(a+b+2)$. Ainsi $k=2$.
2. Justifier que $v$ est strictement croissante sur $[-1;+\infty [$. Pour $a=-1$ et $b=3$, la différence $v(b)-v(a)$ vaut
   Rédaction attendue. Soient $a<b$ dans $[-1;+\infty [$. Alors $b-a>0$ ; et $a⩾-1$, $b>-1$ donnent $a+b>-2$, donc $a+b+2>0$. Le produit $(b-a)(a+b+2)$ est strictement positif : $v(a)<v(b)$, donc $v$ est strictement croissante sur $[-1;+\infty [$. Vérification : $v(3)=9+6-7=8$ et $v(-1)=1-2-7=-8$, donc $v(3)-v(-1)=16=4\times 4$.
3. Sur $]-\infty ;-1]$, $v$ est
   Si $a<b⩽-1$, alors $a+b<-2$, donc $a+b+2<0$, alors que $b-a>0$ : $v(b)-v(a)<0$. Donc $v$ est strictement décroissante sur $]-\infty ;-1]$.

Voici le tableau de variations d’une fonction $f$ définie sur $[-5;6]$.

1. Sur $[0;2]$, $f$ est
   Sur $[0;2]$, la flèche monte de $-4$ à $1$ : $f$ est croissante sur $[0;2]$.
2. $f(0)=$
   Le nombre écrit sous $0$, au bout des flèches, est l’image de $0$ : $f(0)=-4$.
3. Pour tout $x$ de $[2;6]$, $-2⩽f(x)⩽M$ ; le plus petit nombre $M$ possible est
   Sur $[2;6]$, $f$ est décroissante de $f(2)=1$ à $f(6)=-2$. Donc, pour tout $x$ de $[2;6]$ : $-2⩽f(x)⩽1$. Comme $f(2)=1$, aucun nombre plus petit que $1$ ne convient : $M=1$.
4. Nombre de solutions de l’équation $f(x)=0$ sur $[-5;6]$ :
   On compte flèche par flèche : $0$ est compris entre $3$ et $-4$ (une solution dans $]-5;0[$), entre $-4$ et $1$ (une solution dans $]0;2[$), et entre $1$ et $-2$ (une solution dans $]2;6[$). Aucune solution n’est sur la 1^re ligne, car $f(-5)$, $f(0)$, $f(2)$ et $f(6)$ ne valent pas $0$. L’équation a $3$ solutions.

La courbe d’une fonction $k$ définie sur $[-2;8]$ est formée de trois segments : de $A(-2;1)$ à $B(1;7)$, de $B$ à $C(5;-3)$, puis de $C$ à $D(8;0)$.

1. Dans le tableau de variations de $k$, la 1^re ligne contient $-2$, $1$, et $8$
   La 1^re ligne contient les bornes $-2$ et $8$ et les abscisses où le sens change : en $B$ (abscisse $1$) la courbe passe de la montée à la descente, en $C$ (abscisse $5$) de la descente à la montée.
2. La flèche descendante va de $7$ à
   Entre $B(1;7)$ et $C(5;-3)$, la courbe descend : la flèche va de $k(1)=7$ à $k(5)=-3$.
3. Le point du segment $[BC]$ d’abscisse $3$ a pour ordonnée $k(3)=$
   Quand $x$ passe de $1$ à $5$ (il augmente de $4$), $k(x)$ passe de $7$ à $-3$ (il diminue de $10$). Sur ce segment, $k(x)$ diminue donc de $10÷4=2,5$ quand $x$ augmente de $1$. De $1$ à $3$ : $k(3)=7-2\times 2,5=2$.

On admet que la fonction $q$ définie par $q(x)=x^2-8x+19$ est décroissante sur $]-\infty ;4]$ et croissante sur $[4;+\infty [$. On étudie $q$ sur $[1;9]$.

1. $q(1)=$
   $q(1)=1-8+19=12$.
2. $q(4)=$
   $q(4)=16-32+19=3$. Le tableau sur $[1;9]$ : $q$ décroît de $12$ à $3$ sur $[1;4]$, puis croît de $3$ à $q(9)$ sur $[4;9]$.
3. Justifier que, pour tout $x$ de $[1;9]$, $q(x)⩽N$, et donner le plus petit nombre $N$ possible : $N=$
   Rédaction attendue. Sur $[1;4]$, $q$ est décroissante, donc $q(x)⩽q(1)=12$. Sur $[4;9]$, $q$ est croissante, donc $q(x)⩽q(9)=81-72+19=28$. Ainsi, pour tout $x$ de $[1;9]$, $q(x)⩽28$ ; et comme $q(9)=28$, aucun nombre plus petit ne convient : $N=28$.

Soit $f$ la fonction définie sur $[-4;3]$ par $f(x)=2x+3$ si $x<1$, et $f(x)=9-4x$ si $x⩾1$.

1. $f(-4)=$
   $-4<1$, donc on utilise la première formule : $f(-4)=2\times (-4)+3=-5$.
2. $f(3)=$
   $3⩾1$ : $f(3)=9-4\times 3=-3$.
3. Justifier le sens de variation de $f$ sur $[1;3]$ : $f$ y est
   Rédaction attendue. Sur $[1;3]$, $f(x)=9-4x$ : c’est une fonction affine de coefficient directeur $-4<0$, donc $f$ est décroissante sur $[1;3]$. Sur $[-4;1[$, $f(x)=2x+3$ a pour coefficient directeur $2>0$ : $f$ y est croissante.
4. Le plus grand nombre écrit sur la 2^e ligne du tableau de variations de $f$ est
   $f(1)=9-4=5$, et la première formule donnerait aussi $2+3=5$ en $1$ : les deux morceaux se raccordent. Tableau : $f$ croît de $-5$ à $5$ sur $[-4;1]$, puis décroît de $5$ à $-3$ sur $[1;3]$. Le plus grand nombre est $5$.

Voici le tableau de variations d’une fonction $f$ définie sur $[-6;7]$.

1. Le maximum de $f$ sur $[-6;7]$ vaut
   Les nombres de la 2^e ligne sont $0$, $9$, $-5$ et $4$. Le plus grand est $9$ : c’est le maximum de $f$ sur $[-6;7]$.
2. Ce maximum est atteint en $x=$
   Le nombre $9$ est écrit sous $-2$ : $f(-2)=9$, le maximum est atteint en $-2$.
3. Le minimum de $f$ sur $[-6;7]$ vaut
   Le plus petit des nombres $0$, $9$, $-5$ et $4$ est $-5$ : c’est le minimum, atteint en $3$.
4. Le minimum de $f$ sur $[-6;-2]$ vaut
   Sur $[-6;-2]$, $f$ croît de $0$ à $9$ : le plus petit nombre est $f(-6)=0$. L’extrémum dépend de l’intervalle étudié.

Pour chaque fonction définie sur $ℝ$, donne l’extrémum demandé. Une fraction s’écrit avec « / ».

1. $m(x)=(x+4{)}^2-7$. Minimum de $m$ sur $ℝ$ :
   Un carré est positif ou nul : $(x+4{)}^2⩾0$, donc $m(x)⩾-7$. De plus $m(-4)=0-7=-7$. Le minimum vaut $-7$, atteint en $-4$.
2. $m$ atteint ce minimum en $x=$
   $m(x)=-7$ lorsque $(x+4{)}^2=0$, c’est-à-dire $x=-4$.
3. $n(x)=5-(2x-1{)}^2$. Maximum de $n$ sur $ℝ$ :
   $(2x-1{)}^2⩾0$, donc $n(x)⩽5$, et l’égalité a lieu quand $2x-1=0$. Le maximum vaut $5$.
4. $n$ atteint ce maximum en $x=$
   $2x-1=0$ donne $x=0,5$ : $n(0,5)=5-0=5$.

Soit $p$ la fonction définie sur $ℝ$ par $p(x)=-x^2+8x-3$.

1. Développer $(x-4{)}^2$ : on obtient $x^2-8x+$
   $(x-4{)}^2=x^2-2\times x\times 4+4^2$ $=x^2-8x+16$.
2. Démontrer que, pour tout réel $x$, $p(x)=c-(x-4{)}^2$, où $c$ est un nombre à trouver : $c=$
   Rédaction attendue. D’après la question précédente, $-(x-4{)}^2=-x^2+8x-16$. Donc $p(x)=-x^2+8x-3$ $=(-x^2+8x-16)+13$ $=13-(x-4{)}^2$. Ainsi $c=13$. On en déduit que $p(x)⩽13$ pour tout $x$, avec $p(4)=13$ : le maximum de $p$ sur $ℝ$ est $13$, atteint en $4$.
3. Justifier que, sur $[5;9]$, le maximum de $p$ vaut
   Rédaction attendue. Pour $x$ dans $[5;9]$, on a $x-4⩾1>0$. La fonction carré étant croissante sur $[0;+\infty [$, $(x-4{)}^2⩾1^2=1$. Donc $p(x)=13-(x-4{)}^2⩽13-1=12$. Et $p(5)=-25+40-3=12$. Le maximum de $p$ sur $[5;9]$ est $12$, atteint en $5$ : le sommet $x=4$ n’est pas dans l’intervalle.

Soit $r$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par $r(x)=4x+{\displaystyle \frac{9}{x}}$. Une fraction s’écrit avec « / ».

1. $r(1)=$
   $r(1)=4+{\displaystyle \frac{9}{1}}=13$.
2. Démontrer que, pour tout $x>0$, $r(x)-m={\displaystyle \frac{(2x-3{)}^2}{x}}$, où $m$ est un nombre à trouver : $m=$
   Rédaction attendue. Pour $x>0$ : ${\displaystyle \frac{(2x-3{)}^2}{x}}={\displaystyle \frac{4x^2-12x+9}{x}}$ $=4x-12+{\displaystyle \frac{9}{x}}$ $=r(x)-12$. Donc $m=12$.
3. En déduire que $r$ admet un minimum sur $]0;+\infty [$. Il est atteint en $x=$
   Rédaction attendue. Pour $x>0$, $(2x-3{)}^2⩾0$ et $x>0$, donc le quotient ${\displaystyle \frac{(2x-3{)}^2}{x}}$ est positif ou nul : $r(x)-12⩾0$, soit $r(x)⩾12$. De plus $r(1,5)=6+{\displaystyle \frac{9}{1,5}}=6+6=12$. Le minimum de $r$ sur $]0;+\infty [$ est $12$, atteint en $1,5$.

Voici le tableau de variations d’une fonction $f$ définie sur $[0;9]$ ; elle est strictement monotone sur chaque intervalle du tableau. Complète par < ou >.

1. $f(1)$ $f(3)$
   $1$ et $3$ appartiennent à $[0;4]$, où $f$ est strictement croissante, et $1<3$ : $f(1)<f(3)$.
2. $f(5)$ $f(8,5)$
   $5$ et $8,5$ appartiennent à $[4;9]$, où $f$ est strictement décroissante, et $5<8,5$ : l’ordre est inversé, $f(5)>f(8,5)$.
3. $f(4)$ $f(7,2)$
   $4$ et $7,2$ appartiennent à $[4;9]$ où $f$ est strictement décroissante, et $4<7,2$, donc $f(4)>f(7,2)$. On peut aussi dire que $f(4)=8$ est le maximum de $f$ sur $[0;9]$.

Compare sans calculatrice, en utilisant le sens de variation d’une fonction connue. Complète par < ou >.

1. $(-4,3{)}^2$ $(-4,03{)}^2$
   $-4,3$ et $-4,03$ sont dans $]-\infty ;0]$, où la fonction carré est strictement décroissante. Comme $-4,3<-4,03$, l’ordre est inversé : $(-4,3{)}^2>(-4,03{)}^2$.
2. ${\displaystyle \frac{1}{2,7}}$ ${\displaystyle \frac{1}{2,07}}$
   $2,07<2,7$ dans $]0;+\infty [$, où la fonction inverse est strictement décroissante : ${\displaystyle \frac{1}{2,07}}>{\displaystyle \frac{1}{2,7}}$, c’est-à-dire ${\displaystyle \frac{1}{2,7}}<{\displaystyle \frac{1}{2,07}}$.
3. $-3\times 1,8+4$ $-3\times 1,79+4$
   La fonction affine $x\mapsto -3x+4$ a un coefficient directeur négatif : elle est strictement décroissante sur $ℝ$. Comme $1,79<1,8$, on a $-3\times 1,79+4>-3\times 1,8+4$.
4. $|-6,2|$ $|-5,9|$
   $-6,2$ et $-5,9$ sont dans $]-\infty ;0]$, où la fonction valeur absolue est strictement décroissante. Comme $-6,2<-5,9$ : $|-6,2|>|-5,9|$.

Attention aux intervalles. Complète par < ou >, ou par un nombre.

1. Justifier la comparaison : $(-2,5{)}^2$ $2,4^2$
   Rédaction attendue. Les nombres $-2,5$ et $2,4$ ne sont pas dans un même intervalle où la fonction carré est monotone. Mais $(-2,5{)}^2=2,5^2$. Or $2,4$ et $2,5$ appartiennent à $[0;+\infty [$, où la fonction carré est strictement croissante, et $2,4<2,5$ : donc $2,4^2<2,5^2$, c’est-à-dire $(-2,5{)}^2>2,4^2$.
2. ${\displaystyle \frac{1}{-0,5}}$ ${\displaystyle \frac{1}{0,25}}$
   Les deux nombres ne sont pas dans le même intervalle ($-0,5<0<0,25$) : on ne peut pas utiliser la décroissance de la fonction inverse. Mais ${\displaystyle \frac{1}{-0,5}}$ est négatif et ${\displaystyle \frac{1}{0,25}}$ est positif, donc ${\displaystyle \frac{1}{-0,5}}<{\displaystyle \frac{1}{0,25}}$.
3. Si $-3⩽x⩽-1$, alors $1⩽x^2⩽M$, avec $M$ le plus petit possible : $M=$
   Sur $[-3;-1]$, contenu dans $]-\infty ;0]$, la fonction carré est décroissante : $-3⩽x⩽-1$ donne $(-3{)}^2⩾x^2⩾(-1{)}^2$, soit $1⩽x^2⩽9$. Comme $(-3{)}^2=9$ est atteint pour $x=-3$, aucun nombre plus petit ne convient : $M=9$.

La fonction $f$ est strictement croissante sur $ℝ$ et $f(2)=0$. La fonction $g$ est strictement décroissante sur $[0;10]$ et $g(6)=3$.

1. Le nombre $f(1,7)$ est (positif ou négatif)
   $1,7<2$ et $f$ est strictement croissante, donc $f(1,7)<f(2)=0$ : $f(1,7)$ est négatif.
2. Complète par < ou > : $f(\pi )$ $f(3,14)$
   $\pi \approx 3,14159$, donc $3,14<\pi$. Comme $f$ est strictement croissante : $f(3,14)<f(\pi )$, soit $f(\pi )>f(3,14)$.
3. Justifier que l’inéquation $f(x)<0$ a pour ensemble de solutions $]-\infty ;c[$, avec $c=$
   Rédaction attendue. $f(x)<0$ s’écrit $f(x)<f(2)$. Si $x<2$, la stricte croissance donne $f(x)<f(2)$ : $x$ est solution. Si $x⩾2$, elle donne $f(x)⩾f(2)=0$ : $x$ n’est pas solution. Donc $S=]-\infty ;2[$ et $c=2$.
4. Les solutions de $g(x)⩾3$ dans $[0;10]$ forment l’intervalle $[0;d]$, avec $d=$
   $g(x)⩾3$ s’écrit $g(x)⩾g(6)$. Comme $g$ est strictement décroissante sur $[0;10]$, cela équivaut à $x⩽6$ : l’ensemble des solutions est $[0;6]$, donc $d=6$.

Un rectangle a un périmètre de $44$ cm. On note $x$ la longueur d’un de ses côtés, en cm, avec $0⩽x⩽22$, et $A(x)$ son aire en cm².

1. Pour $x=5$, l’autre côté mesure cm
   Le demi-périmètre vaut $44÷2=22$ cm : l’autre côté mesure $22-x$, soit $22-5=17$ cm. Ainsi $A(x)=x(22-x)$.
2. Développer $(x-11{)}^2$ : on obtient $x^2-22x+$
   $(x-11{)}^2=x^2-2\times 11\times x+{11}^2$ $=x^2-22x+121$.
3. Démontrer que $A(x)⩽A(11)$ pour tout $x$ de $[0;22]$. Le rectangle d’aire maximale est un
   Rédaction attendue. $A(11)=11\times 11=121$. Pour tout $x$ de $[0;22]$ : $A(11)-A(x)=121-22x+x^2$ $=(x-11{)}^2⩾0$. Donc $A(x)⩽A(11)$ : l’aire est maximale pour $x=11$ cm, et l’autre côté mesure alors $22-11=11$ cm. Le rectangle d’aire maximale est un carré, d’aire $121$ cm².

Un cinéma vend $300$ places à $8$ € la séance. Une étude montre que chaque baisse de $0,50$ € du prix attire $25$ spectateurs de plus. On note $x$ le nombre de baisses ($0⩽x⩽16$) et $R(x)$ la recette en euros.

1. Avec $x=4$ baisses, le billet coûte €
   $4$ baisses de $0,50$ € font $2$ € : le billet coûte $8-2=6$ €. En général, le prix vaut $8-0,5x$ et le nombre de spectateurs $300+25x$.
2. Avec $x=4$ baisses, la recette vaut €
   Il y a $300+25\times 4=400$ spectateurs à $6$ € : $R(4)=6\times 400=2400$ €.
3. On admet que $R(x)=2450-12,5(x-2{)}^2$. Justifier le prix du billet qui rend la recette maximale : €
   Rédaction attendue. Pour tout $x$ de $[0;16]$, $(x-2{)}^2⩾0$, donc $R(x)⩽2450$, avec égalité pour $x=2$, qui appartient à $[0;16]$. La recette est maximale pour $2$ baisses, soit un billet à $8-2\times 0,5=7$ €.
4. Nombre de spectateurs pour ce prix :
   Pour $x=2$ : $300+25\times 2=350$ spectateurs. La recette vaut alors $7\times 350=2450$ €.

$ABCD$ est un carré de côté $8$ cm. On place $M$ sur $[AB]$, $N$ sur $[BC]$, $P$ sur $[CD]$ et $Q$ sur $[DA]$ tels que $AM=BN=CP=DQ=x$, avec $x$ dans $[0;8]$. On admet que $MNPQ$ est un carré ; on note $S(x)$ son aire en cm².

1. Pour $x=2$, l’aire de $MNPQ$ vaut cm²
   On retire au grand carré quatre triangles rectangles identiques, de côtés de l’angle droit $x$ et $8-x$. Pour $x=2$ : chaque triangle a pour aire ${\displaystyle \frac{2\times 6}{2}}=6$ cm², donc $S(2)=64-4\times 6=40$ cm².
2. Démontrer que $S(x)=2(x-4{)}^2+k$, où $k$ est un nombre à trouver : $k=$
   Rédaction attendue. $S(x)=64-4\times {\displaystyle \frac{x(8-x)}{2}}$ $=64-2x(8-x)$ $=2x^2-16x+64$. Or $2(x-4{)}^2=2(x^2-8x+16)$ $=2x^2-16x+32$. Donc $S(x)=2(x-4{)}^2+32$ et $k=32$.
3. Justifier que $S$ admet un minimum sur $[0;8]$. Ce minimum représente % de l’aire de $ABCD$
   Rédaction attendue. Pour tout $x$, $2(x-4{)}^2⩾0$, donc $S(x)⩾32$, et $S(4)=32$ avec $4$ dans $[0;8]$ : l’aire minimale est $32$ cm², obtenue quand $M$, $N$, $P$, $Q$ sont les milieux des côtés. Elle représente ${\displaystyle \frac{32}{64}}=0,5$, soit $50$ % de l’aire de $ABCD$.

Dans un repère orthonormé, on considère $A(0;2)$, $B(6;4)$ et un point $M(x;0)$ de l’axe des abscisses, avec $x$ dans $[0;6]$. On cherche la position de $M$ qui rend $A{M}^2+B{M}^2$ minimale.

1. Pour $x=0$, $A{M}^2+B{M}^2=$
   Pour $M(0;0)$ : $A{M}^2=0^2+2^2=4$ et $B{M}^2=6^2+4^2=52$, donc $A{M}^2+B{M}^2=56$.
2. Démontrer que $A{M}^2+B{M}^2=2(x-3{)}^2+k$, où $k$ est un nombre à trouver : $k=$
   Rédaction attendue. $A{M}^2=(x-0{)}^2+(0-2{)}^2=x^2+4$ et $B{M}^2=(x-6{)}^2+(0-4{)}^2=x^2-12x+52$. Donc $A{M}^2+B{M}^2=2x^2-12x+56$. Or $2(x-3{)}^2=2x^2-12x+18$, donc $A{M}^2+B{M}^2=2(x-3{)}^2+38$ : $k=38$. Le minimum sur $[0;6]$ vaut $38$, atteint pour $M(3;0)$.
3. On impose maintenant $4⩽x⩽6$. Justifier que la plus petite valeur de $A{M}^2+B{M}^2$ est alors
   Rédaction attendue. Pour $x$ dans $[4;6]$, on a $x-3⩾1>0$. La fonction carré étant croissante sur $[0;+\infty [$, $(x-3{)}^2⩾1$, donc $A{M}^2+B{M}^2⩾2\times 1+38=40$. Pour $x=4$, on obtient exactement $40$. Le minimum est atteint à la borne $x=4$, car le sommet $x=3$ est hors de l’intervalle.

Une fonction $f$ est croissante puis décroissante sur $[1;3]$. Un balayage de pas $0,5$ donne :

1. Abscisse retenue par le balayage : $x_m=$
   Parmi $3,2$ ; $4,1$ ; $4,4$ ; $4,3$ et $3,9$, la plus grande image est $4,4$, obtenue pour $x=2$ : le balayage retient $x_m=2$.
2. Le balayage donne l’encadrement $1,5<c<$ de l’abscisse $c$ du maximum
   La fonction monte puis descend : le sommet est à moins d’un pas de $x_m=2$, donc $2-0,5<c<2+0,5$, soit $1,5<c<2,5$.
3. L’amplitude de cet encadrement est
   $2,5-1,5=1$ : c’est deux fois le pas. Pour un encadrement plus fin, on recommence avec un pas plus petit autour de $2$.

Soit $g(x)={\displaystyle \frac{20x}{x^2+3}}$ sur $[0;4]$. On admet que $g$ est strictement croissante puis strictement décroissante sur cet intervalle. On donne $g(1,6)\approx 5,755$. Valeurs approchées au millième.

1. $g(1,7)\approx$
   $g(1,7)={\displaystyle \frac{34}{2,89+3}}$ $={\displaystyle \frac{34}{5,89}}\approx 5,772$.
2. $g(1,8)\approx$
   $g(1,8)={\displaystyle \frac{36}{3,24+3}}$ $={\displaystyle \frac{36}{6,24}}\approx 5,769$.
3. Un balayage de pas $0,1$ sur $[0;4]$ fournit un encadrement de l’abscisse du maximum. Son amplitude est
   $g(1,6)<g(1,7)$ : la fonction monte encore entre $1,6$ et $1,7$ ; $g(1,7)>g(1,8)$ : elle descend déjà entre $1,7$ et $1,8$. Comme $g$ monte puis descend, les valeurs calculées avant $1,7$ sont plus petites que $g(1,7)$, et celles d’après aussi : le balayage retient $x_m=1,7$, et le maximum est atteint entre $1,6$ et $1,8$ : l’amplitude de l’encadrement vaut $1,8-1,6=0,2$, deux fois le pas.

On utilise la fonction Python ci-dessous, qui balaie $[a;b]$ avec $n$ pas égaux.

def balayage(a, b, n):
    p = (b - a) / n
    xm = a
    for k in range(n + 1):
        x = a + k * p
        if f(x) > f(xm):
            xm = x
    return xm

1. Pour l’appel balayage(2, 5, 30), le pas vaut
   $p={\displaystyle \frac{5-2}{30}}={\displaystyle \frac{3}{30}}=0,1$.
2. Pour ce même appel, le nombre de valeurs de $x$ examinées par la boucle est
   range(n + 1) donne $k=0,1,\dots ,30$, soit $31$ valeurs : $x=2$ ; $2,1$ ; … ; $5$ (les deux bornes comprises).
3. Pour approcher un minimum, on remplace le symbole > du test par le symbole d’inégalité stricte
   On garde alors l’abscisse de la plus petite image : le test devient if f(x) < f(xm):.
4. Justifier : pour une fonction qui monte puis descend, l’appel renvoie $3,6$. Le balayage donne l’encadrement $3,5<c<$ de l’abscisse $c$ du maximum
   Rédaction attendue. La fonction renvoie l’abscisse $3,6$ de la plus grande image calculée. Donc $f(3,5)<f(3,6)$ : la fonction n’a pas encore commencé à descendre avant $3,5$, le sommet est après $3,5$. Et $f(3,7)⩽f(3,6)$ : elle ne monte plus après $3,7$, le sommet est avant $3,7$. Le maximum est atteint en une abscisse $c$ telle que $3,5<c<3,7$.

On admet que la fonction $f$ définie par $f(x)=x^3+x-5$ est strictement croissante sur $ℝ$. On cherche la solution $\alpha$ de l’équation $f(x)=0$.

1. $f(1)=$
   $f(1)=1+1-5=-3$.
2. $f(2)=$
   $f(2)=8+2-5=5$. Comme $f$ est strictement croissante sur $[1;2]$ avec $f(1)<0<f(2)$, l’équation $f(x)=0$ a une seule solution $\alpha$ dans $[1;2]$.
3. Balayage de pas $0,1$ à partir de $1$ : $f(1,4)=-0,856$ et $f(1,5)=-0,125$. Calculer $f(1,6)=$
   $f(1,6)=4,096+1,6-5=0,696$. C’est le premier changement de signe : $f(1,5)<0<f(1,6)$, donc $1,5<\alpha <1,6$ (encadrement d’amplitude $0,1$, le pas).
4. Justifier, avec $f(1,51)=-0,047049$, $f(1,52)=0,031808$ et $f(1,515)\approx -0,0077$, l’arrondi de $\alpha$ au centième :
   Rédaction attendue. $f$ est strictement croissante et $f(1,51)<0<f(1,52)$, donc $1,51<\alpha <1,52$. Cet encadrement ne suffit pas pour arrondir : il faut savoir si $\alpha$ est avant ou après $1,515$. Or $f(1,515)<0=f(\alpha )$ ; comme $f$ est strictement croissante, $1,515<\alpha$. Donc $1,515<\alpha <1,52$ : l’arrondi de $\alpha$ au centième est $1,52$.

Soit $f(x)=20x-x^3$ sur $[0;4]$ ; on admet que $f$ est strictement croissante puis strictement décroissante sur cet intervalle. On applique la dichotomie avec $h=0,01$ : au milieu $m$, si $f(m)<f(m+0,01)$, on garde $[m;b]$, sinon on garde $[a;m+0,01]$. Valeurs approchées au millième.

1. 1^re étape : $m=2$, $f(2)=32$ et $f(2,01)\approx$
   $f(2,01)=40,2-2,{01}^3$ $=40,2-8,120601$ $=32,079399\approx 32,079$. Comme $f(2)<f(2,01)$, la fonction monte en $2$ : on garde $[2;4]$.
2. 2^e étape : le milieu de l’intervalle gardé vaut $m=$
   Le milieu de $[2;4]$ est ${\displaystyle \frac{2+4}{2}}=3$.
3. À cette 2^e étape, $f(m)=$
   $f(3)=60-27=33$.
4. Justifier quel intervalle on garde après la 2^e étape. Sa borne de droite vaut
   Rédaction attendue. $f(3,01)=60,2-27,270901$ $=32,929099$, donc $f(3,01)<f(3)$ : la fonction descend déjà entre $3$ et $3,01$. Le sommet est donc avant $3,01$ (s’il était après, $f$ serait croissante sur $[3;3,01]$). On garde $[2;3,01]$ : sa borne de droite est $3,01$.