Fiche de révision : variations et extrémums

Fonction croissante, décroissante, monotone sur un intervalle, tableau de variations, maximum et minimum, comparer f(a) et f(b), problèmes d’optimisation, balayage et dichotomie en Python.

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benprofparticulier.frMathématiques · Seconde

Variations et extrémums

Fiche méthode

(Maths 2nde · Fonctions · Variations et extrémums)

La démarche pour étudier les variations d’une fonction

1. Je conjecture le sens de variation : courbe, tableau de valeurs (calculatrice ou Python).

2. Je démontre : signe de $f (b) - f (a)$ pour $a < b$ , ou variations connues (affine, carré, inverse, valeur absolue).

3. Je dresse le tableau : bornes et changements de sens en haut, flèches et images en bas.

4. J’exploite : extrémums (bornes comprises), comparaisons dans un même intervalle, encadrements, optimisation.

Le réflexe — une lecture graphique ou un tableau de valeurs ne démontre rien : un sens de variation ou un extrémum se justifie par un calcul ou par une propriété citée.

Cas 1 · Démontrer un sens de variation

Réflexe — je prends a < b dans I, je factorise f(b) − f(a) par b − a, j’étudie le signe de l’autre facteur avec les bornes de I.

Exemple. Questions types : « Démontrer que $f$ est croissante sur $I$ ». Exemple : $s (x) = x^{2} - 10 x$ sur $] - \infty; 5]$ .

Soient $a < b ⩽ 5$ . $s (b) - s (a) = b^{2} - a^{2} - 10 (b - a)$ $= (b - a) (a + b - 10)$ .

$b - a > 0$ et $a + b < 10$ , donc $a + b - 10 < 0$ : $s (b) - s (a) < 0$ .

$s$ est strictement décroissante sur $] - \infty; 5]$ (et, de même, croissante sur $[5; + \infty [$ ).

Attention — trois valeurs qui augmentent ne prouvent pas qu’une fonction est croissante.

Cas 2 · Dresser et lire un tableau de variations

Réflexe — bornes et changements de sens sur la 1re ligne, flèches et images sur la 2e ; une flèche = un intervalle de monotonie.

Exemple. Questions types : « Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[a; b]$ », « Encadrer $f (x)$ ». Exemple : $s$ (cas 1) sur $[2; 8]$ .

$s (2) = 4 - 20 = - 16$ , $s (5) = 25 - 50 = - 25$ , $s (8) = 64 - 80 = - 16$ .

$x$	$2$		$5$		$8$
$s (x)$	$- 16$	↘	$- 25$	↗	$- 16$

Pour $x$ dans $[2; 8]$ : $- 25 ⩽ s (x) ⩽ - 16$ .

Attention — les nombres du bas sont des images, pas des abscisses.

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Cas 3 · Maximum, minimum

Réflexe — je repère le candidat c, je calcule f(c), puis je montre que f(x) − f(c) est négatif (maximum) ou positif (minimum).

Exemple. Questions types : « Montrer que $f$ admet un maximum », « Lire l’extrémum sur $[a; b]$ ». Exemple : $t (x) = 7 + 4 x - x^{2}$ sur $ℝ$ .

$t (2) = 7 + 8 - 4 = 11$ .

$t (x) - 11 = - x^{2} + 4 x - 4$ $= - (x - 2)^{2} ⩽ 0$ , donc $t (x) ⩽ 11$ .

Le maximum de $t$ sur $ℝ$ est $11$ , atteint en $2$ .

Attention — le maximum est une image ; l’abscisse où il est atteint est une autre réponse.

Cas 4 · Comparer deux images

Réflexe — même intervalle de monotonie d’abord ; puis même ordre si croissante, ordre inversé si décroissante.

Exemple. Questions types : « Comparer $f (a)$ et $f (b)$ sans calcul ». Exemple : comparer $\frac{1}{- 1, 2}$ et $\frac{1}{- 1, 5}$ .

$- 1, 5$ et $- 1, 2$ sont dans $] - \infty; 0 [$ , où la fonction inverse est strictement décroissante.

$- 1, 5 < - 1, 2$ , donc l’ordre est inversé : $\frac{1}{- 1, 5} > \frac{1}{- 1, 2}$ .

Attention — deux nombres de part et d’autre d’un changement de sens (ou de 0 pour l’inverse) ne se comparent pas par la règle.

Cas 5 · Optimiser

Réflexe — variable et intervalle, grandeur en fonction de x, extrémum démontré, phrase de conclusion avec l’unité.

Exemple. Questions types : « Pour quelle valeur de $x$ l’aire (le bénéfice) est-elle maximale ? ». Exemple : deux nombres positifs ont pour somme $12$ ; rendre leur produit maximal.

$x$ dans $[0; 12]$ , l’autre nombre vaut $12 - x$ : $P (x) = x (12 - x)$ .

$36 - P (x) = x^{2} - 12 x + 36$ $= (x - 6)^{2} ⩾ 0$ , donc $P (x) ⩽ 36 = P (6)$ .

Le produit est maximal, égal à $36$ , quand les deux nombres valent $6$ .

Attention — le candidat doit appartenir à l’intervalle ; sinon l’extrémum est souvent à une borne.

Cas 6 · Balayage et dichotomie

Réflexe — balayage : le sommet est à moins d’un pas de l’abscisse retenue ; dichotomie : f(m) < f(m + h) → on garde [m ; b], sinon [a ; m + h].

Exemple. Questions types : « Encadrer l’abscisse du maximum », « Compléter le programme ». Exemple : $w (x) = 2 x - x^{3}$ , croissante puis décroissante sur $[0; 1]$ , balayée au pas $0, 1$ .

$w (0, 7) = 1, 057$ , $w (0, 8) = 1, 088$ , $w (0, 9) = 1, 071$ .

La plus grande image calculée est en $0, 8$ .

Le maximum est atteint entre $0, 7$ et $0, 9$ .

Attention — un algorithme encadre le maximum, il ne donne pas sa valeur exacte.

Les pièges

Croissante sur [0 ; 2] et sur [5 ; 8] ne veut pas dire croissante sur [0 ; 8].
f(0) < f(5) ne prouve pas que f est croissante sur [0 ; 5].
Le maximum se lit sur la 2e ligne du tableau, bornes comprises.
Prouver f(x) ≤ M ne suffit pas : il faut aussi une image égale à M.
La fonction carré n’est pas croissante sur ℝ : (−5)² > 2² alors que −5 < 2.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche pour étudier les variations d’une fonction en 2nde, puis un exemple rédigé par type de question : démontrer un sens de variation, dresser un tableau, prouver un maximum, comparer deux images avec la fonction inverse, optimiser un produit, encadrer un sommet par balayage. Elle se termine par cinq pièges et se télécharge en PDF.

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