Sujet du bac 2024 de spé maths — Amérique du Nord, jour 1 (général)

Partie A

1. Arbre pondéré : depuis la racine, $R$ avec la probabilité $0,07$ et $\overline{R}$ avec $0,93$. Après $R$ : $E$ avec $0,8$ et $\overline{E}$ avec $0,2$. Après $\overline{R}$ : $E$ avec $0,4$ et $\overline{E}$ avec $0,6$.

$P(R\cap E)$$=P(R)\times P_R(E)$$=0,07\times 0,8$$=0,056$. $P(R\cap E)=0,056$.

2. $R$ et $\overline{R}$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales : $P(E)$$=P(R\cap E)+P(\overline{R}\cap E)$$=0,056+0,93\times 0,4$$=0,056+0,372$$=0,428$. La probabilité de tirer une épée est $0,428$.

3. $P_E(R)={\displaystyle \frac{P(R\cap E)}{P(E)}}={\displaystyle \frac{0,056}{0,428}}\approx 0,131$. Sachant que le joueur a tiré une épée, la probabilité que ce soit un objet rare est environ $0,131$.

Partie B

1. On répète $30$ fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli de succès « l'objet tiré est rare », de probabilité $0,07$ ; $X$ compte le nombre de succès. $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(30;0,07)$, d'espérance $E(X)=np=30\times 0,07=2,1$ : en moyenne, un joueur obtient $2,1$ objets rares en $30$ défis.

2. $P(X<6)=P(X⩽5)\approx 0,984$ (calculatrice). $P(X<6)\approx 0,984$.

3. $P(X⩾k)=1-P(X⩽k-1)$. À la calculatrice : $P(X⩾2)$$=1-P(X⩽1)$$\approx 1-0,369$$=0,631⩾0,5$ et $P(X⩾3)$$=1-P(X⩽2)$$\approx 1-0,649$$=0,351$$<0,5$. Comme $k\mapsto P(X⩾k)$ est décroissante, la plus grande valeur cherchée est $k=2$ : un joueur qui remporte $30$ défis a plus d'une chance sur deux d'obtenir au moins $2$ objets rares (mais moins d'une chance sur deux d'en obtenir au moins $3$).

4. Soit $Y$ le nombre d'objets rares obtenus en $N$ tirages ; par le même raisonnement, $Y$ suit la loi $\mathcal{B}(N;0,07)$. L'événement « au moins un objet rare » est le contraire de $\{Y=0\}$, et $P(Y=0)=0,{93}^N$. On veut :

$1-0,{93}^N⩾0,95⟺0,{93}^N⩽0,05⟺N\ln (0,93)⩽\ln (0,05)$ (croissance de $\ln$) $⟺N⩾{\displaystyle \frac{\ln (0,05)}{\ln (0,93)}}$ (on divise par $\ln (0,93)<0$, ce qui change le sens de l'inégalité).

Or ${\displaystyle \frac{\ln (0,05)}{\ln (0,93)}}\approx 41,3$. Il faut que le ticket d'or permette de tirer au moins $N=42$ objets. (Contrôle : $1-0,{93}^{41}\approx 0,949$ et $1-0,{93}^{42}\approx 0,952$.)

1. Réponse c. $\overrightarrow{AB}(3;1;-3)$ est un vecteur directeur de $(AB)$. Seule la représentation c a un vecteur directeur colinéaire à $\overrightarrow{AB}$ (c'est $\overrightarrow{AB}$ lui-même) et passe par $A(1;0;3)$ (pour $t=0$). Les représentations a, b, d ont pour vecteurs directeurs $(1;0;3)$, $(4;1;0)$, $(1;0;-3)$, non colinéaires à $\overrightarrow{AB}$.

2. Réponse d. Un point $(x;y;z)$ est sur $(d)$ s'il existe $t$ avec $x=3+4t$, $y=6t$, $z=4-2t$. Pour $R(-3;-9;7)$ : $3+4t=-3$ donne $t=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$, et alors $y=6\times (-{\displaystyle \frac{3}{2}})=-9$ et $z=4+3=7$ : les trois coordonnées conviennent. Pour $M$, $N$, $P$, l'ordonnée $6$ impose $t=1$, qui donne le point $(7;6;2)$, différent de $M(7;6;6)$, $N(3;6;4)$ et $P(4;6;-2)$.

3. Réponse b. $(d)$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow{u}(4;6;-2)$ et $(d^{\prime })$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow{v}(3;-2;1)$, non colinéaires : les droites ne sont ni parallèles ni confondues. Un point commun vérifierait $3+4t=-2+3k$, $6t=-1-2k$, $4-2t=1+k$. La troisième donne $k=3-2t$ ; la deuxième devient $6t=-7+4t$, soit $t=-{\displaystyle \frac{7}{2}}$ et $k=10$ ; la première donne alors $3-14=-11$ et $-2+30=28$ : contradiction. Les droites ne sont pas sécantes : elles sont non coplanaires.

4. Réponse a. Un plan perpendiculaire à $(d)$ a pour vecteur normal $\overrightarrow{u}(4;6;-2)$, ou $(2;3;-1)$ : son équation est de la forme $2x+3y-z+k=0$. Il passe par $I(2;1;0)$ : $4+3+k=0$, $k=-7$, d'où $2x+3y-z-7=0$. (La réponse c a un vecteur normal correct mais $I$ ne vérifie pas l'équation : $8+6+9\ne 0$.)

Pour $x>0$, $\ln (x^2)=2\ln x$, donc $f(x)=2x\ln x-{\displaystyle \frac{1}{x}}$.

Partie A : lectures graphiques

1. $f^{\prime }(1)$ est le coefficient directeur de la tangente $(T)$, qui passe par $A(1;-1)$ et $B(0;-4)$ : $f^{\prime }(1)={\displaystyle \frac{-1-(-4)}{1-0}}=3$. $f^{\prime }(1)=3$ et, comme $(T)$ coupe l'axe des ordonnées en $-4$, $(T)$ : $y=3x-4$.

2. Sur le graphique, la courbe est en dessous de ses tangentes pour $x<1$ et au-dessus pour $x>1$ : $f$ semble concave sur $]0;1]$ et convexe sur $[1;+\infty [$. La courbe traverse sa tangente $(T)$ en $A$ : $A$ semble être un point d'inflexion de $(C_f)$.

Partie B : étude analytique

1. En $+\infty$ : $\underset{x\to +\infty }{lim}\ln x=+\infty$ donc $\underset{x\to +\infty }{lim}2x\ln x=+\infty$ (produit), et $\underset{x\to +\infty }{lim}{\displaystyle \frac{1}{x}}=0$. Par somme, $\underset{x\to +\infty }{lim}f(x)=+\infty$.

En $0$ : par croissances comparées, $\underset{x\to 0^{+}}{lim}x\ln x=0$, donc $\underset{x\to 0^{+}}{lim}2x\ln x=0$ ; et $\underset{x\to 0^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{1}{x}}=+\infty$ donc $\underset{x\to 0^{+}}{lim}(-{\displaystyle \frac{1}{x}})=-\infty$. Par somme, $\underset{x\to 0^{+}}{lim}f(x)=-\infty$.

2. a) $(2x\ln x{)}^{\prime }=2\ln x+2x\times {\displaystyle \frac{1}{x}}=2\ln x+2$ et ${(-{\displaystyle \frac{1}{x}})}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{x^2}}$. $f^{\prime }(x)=2\ln x+2+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$. (Contrôle : $f^{\prime }(1)=0+2+1=3$, conforme à la partie A.)

2. b) $f^{″}(x)$$={\displaystyle \frac{2}{x}}-{\displaystyle \frac{2}{x^3}}$$={\displaystyle \frac{2x^2-2}{x^3}}$$={\displaystyle \frac{2(x^2-1)}{x^3}}$. $f^{″}(x)={\displaystyle \frac{2(x+1)(x-1)}{x^3}}$.

3. a) Sur $]0;+\infty [$, $x^3>0$ et $x+1>0$, donc $f^{″}(x)$ a le signe de $x-1$ : $f^{″}(x)⩽0$ sur $]0;1]$ et $f^{″}(x)⩾0$ sur $[1;+\infty [$. $f$ est concave sur $]0;1]$, convexe sur $[1;+\infty [$, et $A(1;-1)$ est un point d'inflexion ($f^{″}$ s'y annule en changeant de signe), ce qui confirme la lecture graphique.

3. b) $f^{″}$ est la dérivée de $f^{\prime }$ : $f^{\prime }$ est décroissante sur $]0;1]$ et croissante sur $[1;+\infty [$. Elle admet donc un minimum en $1$, $f^{\prime }(1)=3>0$. Ainsi, pour tout $x>0$, $f^{\prime }(x)⩾3>0$ : $f^{\prime }$ est strictement positive et $f$ est strictement croissante sur $]0;+\infty [$.

4. a) $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $]0;+\infty [$, avec $\underset{0^{+}}{lim}f=-\infty$ et $\underset{+\infty }{lim}f=+\infty$. D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0;+\infty [$.

4. b) À la calculatrice, $f(1,325)\approx -0,009<0$ et $f(1,335)\approx 0,022>0$, donc $\alpha \approx 1,33$ (au centième ; $\alpha \approx 1,328$).

$f(\alpha )=0$ s'écrit $\alpha \ln ({\alpha }^2)={\displaystyle \frac{1}{\alpha }}$, soit, en divisant par $\alpha >0$, $\ln ({\alpha }^2)={\displaystyle \frac{1}{{\alpha }^2}}$. En appliquant la fonction exponentielle : ${\alpha }^2=\exp \left({\displaystyle \frac{1}{{\alpha }^2}}\right)$. $\alpha$ vérifie bien ${\alpha }^2=\exp \left({\displaystyle \frac{1}{{\alpha }^2}}\right)$.

1. $I_0$$={\displaystyle {\int }_0^{\pi }{e}^0\sin xdx={\int }_0^{\pi }\sin xdx={[-\cos x]}_0^{\pi }=-\cos \pi +\cos 0=1+1}$. $I_0=2$.

2. a) Pour tout $x\in [0;\pi ]$, $\sin x⩾0$ et $e^{-nx}>0$, donc $e^{-nx}\sin x⩾0$. Par positivité de l'intégrale (les bornes étant dans l'ordre $0⩽\pi$), $I_n⩾0$.

2. b) Par linéarité, $I_{n+1}-I_n$$={\displaystyle {\int }_0^{\pi }(e^{-(n+1)x}-e^{-nx})\sin xdx={\int }_0^{\pi }{e}^{-nx}(e^{-x}-1)\sin xdx}$. Pour $x\in [0;\pi ]$ : $e^{-x}⩽1$ donc $e^{-x}-1⩽0$, tandis que $e^{-nx}>0$ et $\sin x⩾0$ ; l'intégrande est donc négative et $I_{n+1}-I_n⩽0$.

2. c) La suite $(I_n)$ est décroissante (2.b) et minorée par $0$ (2.a). D'après le théorème de convergence monotone, $(I_n)$ converge.

3. a) Pour tout $x\in [0;\pi ]$, $\sin x⩽1$ et $e^{-nx}>0$, donc $e^{-nx}\sin x⩽e^{-nx}$. Par croissance de l'intégrale (bornes dans l'ordre croissant), $I_n⩽{\displaystyle {\int }_0^{\pi }{e}^{-nx}dx}$.

3. b) Pour $n⩾1$, une primitive de $x\mapsto e^{-nx}$ est $x\mapsto -{\displaystyle \frac{1}{n}}{e}^{-nx}$. Donc ${\displaystyle {\int }_0^{\pi }{e}^{-nx}dx={[-{\displaystyle \frac{1}{n}}{e}^{-nx}]}_0^{\pi }=-{\displaystyle \frac{1}{n}}{e}^{-n\pi }+{\displaystyle \frac{1}{n}}}$. ${\displaystyle {\int }_0^{\pi }{e}^{-nx}dx={\displaystyle \frac{1-e^{-n\pi }}{n}}}$.

3. c) Pour $n⩾1$ : $0⩽I_n⩽{\displaystyle \frac{1-e^{-n\pi }}{n}}⩽{\displaystyle \frac{1}{n}}$ (car $0<e^{-n\pi }$). Comme $\underset{n\to +\infty }{lim}{\displaystyle \frac{1}{n}}=0$, le théorème des gendarmes donne $\underset{n\to +\infty }{lim}{I}_n=0$.

4. a) Première intégration par parties : $u(x)=e^{-nx}$, $v^{\prime }(x)=\sin x$, d'où $u^{\prime }(x)=-n{e}^{-nx}$, $v(x)=-\cos x$ (fonctions dérivables à dérivées continues sur $[0;\pi ]$).

$I_n$$={[-e^{-nx}\cos x]}_0^{\pi }-{\displaystyle {\int }_0^{\pi }(-n{e}^{-nx})(-\cos x)dx=(-e^{-n\pi }\cos \pi )-(-e^0\cos 0)-n{\int }_0^{\pi }{e}^{-nx}\cos xdx=e^{-n\pi }+1-n{J}_n}$.

$I_n=1+e^{-n\pi }-n{J}_n$.

Deuxième intégration par parties : $u(x)=\sin x$, $v^{\prime }(x)=e^{-nx}$, d'où $u^{\prime }(x)=\cos x$, $v(x)=-{\displaystyle \frac{1}{n}}{e}^{-nx}$ (pour $n⩾1$).

$I_n$$={[-{\displaystyle \frac{1}{n}}{e}^{-nx}\sin x]}_0^{\pi }+{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }{e}^{-nx}\cos xdx=0-0+{\displaystyle \frac{1}{n}}{J}_n}$ car $\sin \pi =\sin 0=0$.

$I_n={\displaystyle \frac{1}{n}}{J}_n$.

4. b) De la seconde relation, $J_n=n{I}_n$. En reportant dans la première : $I_n=1+e^{-n\pi }-n\times n{I}_n$, soit $I_n(1+n^2)=1+e^{-n\pi }$, d'où $I_n={\displaystyle \frac{1+e^{-n\pi }}{n^2+1}}$ pour tout $n⩾1$. (Contrôle : $I_n⩽{\displaystyle \frac{2}{n^2+1}}\to 0$, cohérent avec 3.c.)

5. La ligne 5 est la condition de la boucle : while I >= 0.1 :

Explication : la variable I vaut $I_0=2$ au départ ; tant que $I_n$ n'est pas strictement inférieure à $0,1$, on passe au rang suivant (ligne 6) et on calcule $I_n$ avec la formule de la question 4.b (ligne 7). La fonction renvoie le premier rang $n$ tel que $I_n<0,1$. Attention au piège : $I_3={\displaystyle \frac{1+e^{-3\pi }}{10}}\approx 0,10001$ est très légèrement supérieur à $0,1$, donc la fonction renvoie $n=4$ ($I_4\approx 0,059$).