Annales du bac · 2023 · Mathématiques (spécialité)

Sujet du bac 2023 de spé maths — Métropole, Mayotte, Antilles Guyane, jour 2 (général)

Mathématiques (spécialité) · général · Métropole, Mayotte, Antilles Guyane · session 2023 · 5 pages · source : Eduscol (ministère de l'Éducation nationale)

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Au programme de ce sujet

Exercice 1 (5 pts) — QCM : probabilités conditionnelles et loi binomiale d'un jeu vidéo
Exercice 2 (5 pts) — Suites géométrique et logistique : évolution d'une population d'insectes
Exercice 3 (5 pts) — Géométrie dans l'espace : plans perpendiculaires et projetés orthogonaux
Exercice 4 (5 pts) — Étude d'une fonction logarithme-exponentielle et convexité

Corrigé

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Corrigé détaillé rédigé par Ben, professeur particulier de mathématiques. Chaque question est justifiée comme on l'attend le jour de l'épreuve.

Le corrigé rédigé, question par question

Exercice 1 — QCM : probabilités conditionnelles et loi binomiale d'un jeu vidéo (5 pts)

Données de l'énoncé : $P (A) = \frac{2}{5}$ , $P_{A} (G) = \frac{7}{10}$ et $P (G) = \frac{12}{25}$ .

1. Réponse c : $\frac{7}{25}$ . $P (A \cap G)$ $= P (A) \times P_{A} (G)$ $= \frac{2}{5} \times \frac{7}{10}$ $= \frac{14}{50}$ $= \frac{7}{25}$ .

2. Réponse b : $\frac{1}{3}$ . $A$ et $B$ forment une partition : $P (B \cap G)$ $= P (G) - P (A \cap G)$ $= \frac{12}{25} - \frac{7}{25}$ $= \frac{5}{25}$ $= \frac{1}{5}$ , et $P (B) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ . Donc $P_{B} (G) = \frac{P (B \cap G)}{P (B)} = \frac{1 / 5}{3 / 5} = \frac{1}{3}$ .

3. Réponse c : $0, 188$ . Le nombre $X$ de parties gagnées suit la loi binomiale $B (10; \frac{12}{25})$ (10 répétitions indépendantes d'une épreuve de Bernoulli de paramètre $0, 48$ ). $P (X$ $= 6)$ $= (\binom{10}{6}) \times 0, 48^{6} \times 0, 52^{4}$ $\approx 0, 1878$ $\approx 0, 188$ .

4. Réponse b : $n = 3$ . À la calculatrice, $P (X ⩽ 3) \approx 0, 207$ (tandis que $P (X ⩽ 2) \approx 0, 070$ et $P (X ⩽ 4) \approx 0, 427$ ).

5. Réponse d : $1 - {(\frac{13}{25})}^{10}$ . « Gagner au moins une partie » est le contraire de « perdre les $10$ parties », de probabilité ${(1 - \frac{12}{25})}^{10} = {(\frac{13}{25})}^{10}$ .

Exercice 2 — Suites géométrique et logistique : évolution d'une population d'insectes (5 pts)

Partie A : premier modèle

1. Augmenter de $60 %$ revient à multiplier par $1 + \frac{60}{100} = 1, 6$ . Donc pour tout $n$ , $u_{n + 1} = 1, 6 u_{n}$ : $(u_{n})$ est géométrique de raison $1, 6$ et de premier terme $u_{0} = 0, 1$ , d'où $u_{n} = 0, 1 \times 1, 6^{n}$ .

2. Comme $1, 6 > 1$ , $lim_{n \to + \infty} 1, 6^{n} = + \infty$ , donc $lim_{n \to + \infty} u_{n} = + \infty$ .

3. $u_{n}$ $> 0, 4 ⟺ 0, 1 \times 1, 6^{n}$ $> 0, 4 ⟺ 1, 6^{n}$ $> 4 ⟺ n \ln (1, 6)$ $> \ln 4 ⟺ n$ $> \frac{\ln 4}{\ln 1, 6}$ (car $\ln 1, 6 > 0$ ). Or $\frac{\ln 4}{\ln 1, 6} \approx 2, 95$ . Le plus petit entier est $n = 3$ ( $u_{3} = 0, 4096 > 0, 4$ et $u_{2} = 0, 256$ ).

4. Non. Dès le troisième mois, la population dépasse $400 000$ insectes ( $u_{3} \approx 409 600$ ), et elle tend vers $+ \infty$ : selon ce modèle, l'équilibre du milieu ne serait pas préservé.

Partie B : second modèle

1. $v_{1}$ $= 1, 6 \times 0, 1 - 1, 6 \times 0, 1^{2}$ $= 0, 16 - 0, 016$ $= 0, 144$ . Au bout d'un mois, il y a $144 000$ insectes.

2. a) $f (x)$ $= x ⟺ 1, 6 x - 1, 6 x^{2}$ $= x ⟺ 0, 6 x - 1, 6 x^{2}$ $= 0 ⟺ x (0, 6 - 1, 6 x)$ $= 0 ⟺ x$ $= 0$ ou $x = \frac{0, 6}{1, 6} = \frac{3}{8}$ . Les solutions sont $0$ et $\frac{3}{8} = 0, 375$ .

2. b) $f^{'} (x) = 1, 6 - 3, 2 x$ , et $f^{'} (x) ⩾ 0 ⟺ x ⩽ \frac{1, 6}{3, 2} = \frac{1}{2}$ . Donc $f$ est croissante sur $[0; \frac{1}{2}]$ .

3. a) Montrons par récurrence la propriété $P (n)$ : « $0 ⩽ v_{n} ⩽ v_{n + 1} ⩽ \frac{1}{2}$ ».

Initialisation : $v_{0} = 0, 1$ et $v_{1} = 0, 144$ : $0 ⩽ 0, 1 ⩽ 0, 144 ⩽ \frac{1}{2}$ .

Hérédité : soit $n$ tel que $0 ⩽ v_{n} ⩽ v_{n + 1} ⩽ \frac{1}{2}$ . Comme $f$ est croissante sur $[0; \frac{1}{2}]$ : $f (0) ⩽ f (v_{n}) ⩽ f (v_{n + 1}) ⩽ f (\frac{1}{2})$ , soit $0 ⩽ v_{n + 1} ⩽ v_{n + 2} ⩽ 0, 4$ , et $0, 4 ⩽ \frac{1}{2}$ (car $f (0) = 0$ et $f (\frac{1}{2}) = 0, 8 - 0, 4 = 0, 4$ ). Donc $P (n + 1)$ est vraie.

Conclusion : pour tout entier naturel $n$ , $0 ⩽ v_{n} ⩽ v_{n + 1} ⩽ \frac{1}{2}$ .

3. b) La suite $(v_{n})$ est croissante et majorée par $\frac{1}{2}$ : d'après le théorème de convergence monotone, $(v_{n})$ converge.

3. c) $ℓ$ est solution de $f (x) = x$ , donc $ℓ = 0$ ou $ℓ = \frac{3}{8}$ . Comme la suite est croissante, $ℓ ⩾ v_{0} = 0, 1 > 0$ , donc $ℓ = \frac{3}{8} = 0, 375$ . La population tend vers $375 000$ insectes et, la suite étant croissante, $v_{n} ⩽ ℓ < 0, 4$ pour tout $n$ : le nombre d'insectes ne dépasse jamais $400 000$ , l'équilibre est préservé.

4. a) La boucle continue tant que $v < 0, 4$ . Or, pour tout $n$ , $v_{n} ⩽ 0, 375 < 0, 4$ : la condition est toujours vraie et la boucle ne s'arrête jamais : seuil(0.4) ne renvoie rien (le programme tourne indéfiniment).

4. b) La fonction renvoie le plus petit $n$ tel que $v_{n} ⩾ 0, 35$ . En calculant les termes : $v_{1} = 0, 144$ , $v_{2} \approx 0, 197$ , $v_{3} \approx 0, 253$ , $v_{4} \approx 0, 302$ , $v_{5} \approx 0, 337$ , $v_{6} \approx 0, 358$ . seuil(0.35) renvoie $6$ : c'est au bout de $6$ mois que la population atteint pour la première fois $350 000$ insectes.

Exercice 3 — Géométrie dans l'espace : plans perpendiculaires et projetés orthogonaux (5 pts)

1. a) Les coefficients de l'équation $2 x + y - z + 2 = 0$ donnent ${\vec{n}}_{1} (2; 1; - 1)$ , vecteur normal à $P_{1}$ .

1. b) ${\vec{n}}_{1} \cdot {\vec{n}}_{2} = 2 \times 1 + 1 \times (- 1) + (- 1) \times 1 = 0$ . Les vecteurs normaux sont orthogonaux : $P_{1}$ et $P_{2}$ sont perpendiculaires.

2. a) $P_{2}$ a une équation de la forme $x - y + z + k = 0$ ; avec $B (1; 1; 2)$ : $1 - 1 + 2 + k = 0$ , $k = - 2$ . $P_{2}$ : $x - y + z - 2 = 0$ .

2. b) Soit $M (0; - 2 + t; t)$ un point de $Δ$ . Dans $P_{1}$ : $0 + (- 2 + t) - t + 2 = 0$ , vrai pour tout $t$ . Dans $P_{2}$ : $0 - (- 2 + t) + t - 2 = 0$ , vrai pour tout $t$ . Donc $Δ$ est incluse dans $P_{1}$ et dans $P_{2}$ . Les deux plans ne sont pas parallèles (vecteurs normaux non colinéaires), donc leur intersection est une droite ; comme elle contient $Δ$ , $Δ = P_{1} \cap P_{2}$ .

3. a) $\vec{A M_{t}} (- 1; - 3 + t; t - 1)$ , donc $A M_{t}^{2}$ $= 1 + (t - 3)^{2} + (t - 1)^{2}$ $= 1 + t^{2} - 6 t + 9 + t^{2} - 2 t + 1$ $= 2 t^{2} - 8 t + 11$ . $A M_{t} = \sqrt{2 t^{2} - 8 t + 11}$ .

3. b) $H$ est le point de $Δ$ le plus proche de $A$ : $A H$ est le minimum de $A M_{t}$ . Le trinôme $2 t^{2} - 8 t + 11$ (coefficient dominant positif) atteint son minimum en $t = \frac{8}{4} = 2$ , où il vaut $8 - 16 + 11 = 3$ . Donc $A H = \sqrt{3}$ , atteint pour $H = M_{2} (0; 0; 2)$ .

4. a) $D_{1}$ passe par $A (1; 1; 1)$ et a pour vecteur directeur ${\vec{n}}_{1} (2; 1; - 1)$ : $x = 1 + 2 t$ , $y = 1 + t$ , $z = 1 - t$ , $t \in R$ .

4. b) $H_{1}$ est le point de $D_{1}$ situé dans $P_{1}$ : $2 (1 + 2 t) + (1 + t) - (1 - t) + 2 = 0$ , soit $6 t + 4 = 0$ , $t = - \frac{2}{3}$ . D'où $H_{1} (1 - \frac{4}{3}; 1 - \frac{2}{3}; 1 + \frac{2}{3})$ , soit $H_{1} (- \frac{1}{3}; \frac{1}{3}; \frac{5}{3})$ .

5. $\vec{A H_{1}} (- \frac{4}{3}; - \frac{2}{3}; \frac{2}{3})$ et $\vec{H_{2} H} (0 - \frac{4}{3}; 0 - \frac{2}{3}; 2 - \frac{4}{3})$ $= (- \frac{4}{3}; - \frac{2}{3}; \frac{2}{3})$ . Comme $\vec{A H_{1}} = \vec{H_{2} H}$ , $A H_{1} H H_{2}$ est un parallélogramme.

De plus $\vec{A H_{2}} (\frac{1}{3}; - \frac{1}{3}; \frac{1}{3})$ et $\vec{A H_{1}} \cdot \vec{A H_{2}} = - \frac{4}{9} + \frac{2}{9} + \frac{2}{9} = 0$ : l'angle en $A$ est droit. Un parallélogramme ayant un angle droit est un rectangle : $A H_{1} H H_{2}$ est un rectangle. (Contrôle : $A H_{1}^{2} + A H_{2}^{2} = \frac{24}{9} + \frac{3}{9} = 3 = A H^{2}$ .)

Exercice 4 — Étude d'une fonction logarithme-exponentielle et convexité (5 pts)

1. a) $lim_{x \to - \infty} (- x) = + \infty$ donc $lim_{x \to - \infty} e^{- x} = + \infty$ , puis $lim_{x \to - \infty} (1 + e^{- x}) = + \infty$ et, par composition avec $lim_{X \to + \infty} \ln X = + \infty$ : $lim_{x \to - \infty} f (x) = + \infty$ .

1. b) $lim_{x \to + \infty} e^{- x} = 0$ donc $lim_{x \to + \infty} (1 + e^{- x}) = 1$ et, par continuité de $\ln$ en $1$ , $lim_{x \to + \infty} f (x) = \ln 1 = 0$ . Graphiquement, l'axe des abscisses est asymptote horizontale à $C$ en $+ \infty$ .

1. c) $f = \ln u$ avec $u (x) = 1 + e^{- x} > 0$ et $u^{'} (x) = - e^{- x}$ , donc $f^{'} (x) = \frac{u^{'} (x)}{u (x)} = \frac{- e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ . En multipliant numérateur et dénominateur par $e^{x}$ : $f^{'} (x) = \frac{- 1}{e^{x} + 1}$ . $f^{'} (x) = \frac{- 1}{1 + e^{x}}$ .

1. d) $1 + e^{x} > 0$ donc $f^{'} (x) < 0$ pour tout réel $x$ : $f$ est strictement décroissante sur $R$ , de $+ \infty$ (en $- \infty$ ) vers $0$ (en $+ \infty$ ).

$x$	$- \infty$		$+ \infty$
$f^{'} (x)$		$-$
$f$	$+ \infty$	décroissante	$0$

2. a) $f (0) = \ln 2$ et $f^{'} (0) = \frac{- 1}{2}$ . $T_{0}$ : $y = - \frac{1}{2} x + \ln 2$ .

2. b) $f^{'} (x) = - (1 + e^{x})^{- 1}$ donc $f^{″} (x)$ $= - (- \frac{e^{x}}{(1 + e^{x})^{2}})$ $= \frac{e^{x}}{(1 + e^{x})^{2}}$ $> 0$ pour tout réel $x$ . $f^{″}$ est strictement positive sur $R$ : $f$ est convexe sur $R$ .

2. c) La courbe d'une fonction convexe est au-dessus de chacune de ses tangentes. En particulier, $C$ est au-dessus de $T_{0}$ : pour tout réel $x$ , $f (x) ⩾ - \frac{1}{2} x + \ln 2$ .

3. a) $f (x) - f (- x)$ $= \ln (1 + e^{- x}) - \ln (1 + e^{x})$ $= \ln \frac{1 + e^{- x}}{1 + e^{x}}$ . Or $1 + e^{- x} = e^{- x} (e^{x} + 1)$ , donc $\frac{1 + e^{- x}}{1 + e^{x}} = e^{- x}$ et $\ln (e^{- x}) = - x$ . Pour tout réel $x$ , $f (x) - f (- x) = - x$ .

3. b) Le coefficient directeur de $(M_{a} N_{a})$ est $\frac{f (a) - f (- a)}{a - (- a)} = \frac{- a}{2 a} = - \frac{1}{2}$ (car $a \neq 0$ ). C'est aussi le coefficient directeur de $T_{0}$ . Les droites $T_{0}$ et $(M_{a} N_{a})$ sont donc parallèles.

Conseils pour le jour J

Exercice 1 : les données sont des fractions, garde-les sous cette forme jusqu'au bout ( $P (A \cap G) = \frac{7}{25}$ , $P_{B} (G) = \frac{1}{3}$ ) et n'utilise la calculatrice que pour les questions 3 et 4 (loi binomiale $B (10; 0, 48)$ ). Exercice 2 : la question B.4.a est un piège classique : la boucle ne se termine pas car la suite est majorée par sa limite $0, 375 < 0, 4$ ; dis-le explicitement. La récurrence B.3.a doit utiliser la croissance de $f$ sur $[0; \frac{1}{2}]$ et la valeur $f (\frac{1}{2}) = 0, 4$ . Exercice 3 : pour montrer qu'une droite est l'intersection de deux plans, vérifie qu'elle est incluse dans chacun et que les plans sont sécants ; pour le rectangle de la question 5, montre d'abord l'égalité de deux vecteurs (parallélogramme) puis un angle droit. Exercice 4 : la dérivée se simplifie en multipliant par $e^{x}$ , et l'inégalité 2.c découle directement de la convexité (courbe au-dessus de la tangente) : cite ce résultat plutôt que de refaire une étude de fonction.

Extrait du sujet (début du texte)

23-MATJ2ME1 Page sur 5 1 BACCALAURÉAT GÉNÉRAL ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ SESSION 2023 MATHÉMATIQUES Mardi 21 mars 2023 Durée de l’épreuve : 4 heures L’usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé. L’usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé. Dès que ce sujet vous est remis, assurez-vous qu’il est complet. Ce sujet comporte 5 pages numérotées de 1 à 5. Le candidat doit traiter les quatre exercices proposés. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées. 23-MATJ2ME1 Page sur 5 2 Exercice 1 (5 points) Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Aucun point n’est enlevé en l’absence de réponse ou en cas de réponse inexacte. Un jeu vidéo possède une vaste communauté de joueurs en ligne. Avant de débuter une partie, le joueur doit choisir entre deux « mondes » : soit le monde A, soit le monde B. On choisit au hasard un individu dans la communauté des joueurs. Lorsqu’il joue une partie, on admet que : • la probabilité que le joueur choisisse le monde A est égale à ! " ; • si le joueur choisit le monde A, la probabilité qu’il gagne la partie est de # $% ; • la probabilité que le joueur gagne la partie est de $! !" . On considère les évènements suivants : • 𝐴 : « Le joueur choisit le monde A » ; • 𝐵 : « Le joueur choisit le monde B » …

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