Annales du bac · 2022 · Mathématiques (spécialité)

Sujet du bac 2022 de spé maths — Métropole, La Réunion, Antilles Guyane, jour 1 (général)

Mathématiques (spécialité) · général · Métropole, La Réunion, Antilles Guyane · session 2022 · 5 pages · source : Eduscol (ministère de l'Éducation nationale)

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Au programme de ce sujet

Exercice 1 (7 pts) — Fonction exponentielle et suite récurrente : dosage d'un médicament
Exercice 2 (7 pts) — Géométrie dans l'espace : projeté orthogonal et volume d'un tétraèdre
Exercice 3 (7 pts) — Probabilités conditionnelles et loi binomiale : stage de formation
Exercice 4 (7 pts) — QCM : fonctions, primitives et convexité

Corrigé

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Corrigé détaillé rédigé par Ben, professeur particulier de mathématiques. Chaque question est justifiée comme on l'attend le jour de l'épreuve.

Le corrigé rédigé, question par question

Exercice 1 — Fonction exponentielle et suite récurrente : dosage d'un médicament (7 pts)

Partie A : premier protocole

1. a) $f = 3 u v$ avec $u (t) = t$ , $u^{'} (t) = 1$ , $v (t) = e^{- 0, 5 t + 1}$ , $v^{'} (t) = - 0, 5 e^{- 0, 5 t + 1}$ . Donc $f^{'} (t)$ $= 3 (e^{- 0, 5 t + 1} - 0, 5 t e^{- 0, 5 t + 1})$ . $f^{'} (t) = 3 (- 0, 5 t + 1) e^{- 0, 5 t + 1}$ .

1. b) $e^{- 0, 5 t + 1} > 0$ , donc $f^{'} (t)$ a le signe de $- 0, 5 t + 1$ : positif pour $t < 2$ , nul en $2$ , négatif pour $t > 2$ . $f$ est croissante sur $[0; 2]$ et décroissante sur $[2; 10]$ , avec $f (0) = 0$ , $f (2) = 6 e^{0} = 6$ et $f (10) = 30 e^{- 4} \approx 0, 55$ .

$t$	$0$		$2$		$10$
$f^{'} (t)$		$+$	$0$	$-$
$f$	$0$	croissante	$6$	décroissante	$30 e^{- 4}$

1. c) La quantité de médicament est maximale au bout de $2$ heures et vaut alors $6$ mg.

2. a) Sur $[0; 2]$ , $f$ est continue et strictement croissante, avec $f (0) = 0$ et $f (2) = 6$ ; comme $0 ⩽ 5 ⩽ 6$ , le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires assure que l'équation $f (t) = 5$ admet une unique solution $α$ sur $[0; 2]$ . À la calculatrice, $f (1, 02) \approx 4, 995 < 5$ et $f (1, 03) \approx 5, 019 > 5$ , donc $α \approx 1, 02$ .

2. b) D'après les variations de $f$ , $f (t) ⩾ 5$ si et seulement si $α ⩽ t ⩽ β$ . La durée d'efficacité est $β - α \approx 3, 46 - 1, 02 = 2, 44$ h, soit $2$ h et $0, 44 \times 60 \approx 26$ min. Le médicament est efficace pendant environ $2$ h $26$ min.

Partie B : deuxième protocole

1. Une heure après l'injection initiale, il reste $70 %$ de $2$ mg, soit $1, 4$ mg, puis on injecte $1, 8$ mg : $u_{1} = 0, 7 \times 2 + 1, 8 = 3, 2$ mg.

2. Entre deux injections, la quantité diminue de $30 %$ (multiplication par $0, 7$ ), puis on ajoute $1, 8$ mg. Pour tout $n$ , $u_{n + 1} = 0, 7 u_{n} + 1, 8$ .

3. a) Montrons par récurrence la propriété $P (n)$ : « $u_{n} ⩽ u_{n + 1} < 6$ ». Initialisation : $u_{0} = 2 ⩽ u_{1} = 3, 2 < 6$ . Hérédité : si $u_{n} ⩽ u_{n + 1} < 6$ , alors, la fonction $x \mapsto 0, 7 x + 1, 8$ étant croissante, $0, 7 u_{n} + 1, 8 ⩽ 0, 7 u_{n + 1} + 1, 8$ $< 0, 7 \times 6 + 1, 8$ , soit $u_{n + 1} ⩽ u_{n + 2} < 6$ . Conclusion : pour tout $n$ , $u_{n} ⩽ u_{n + 1} < 6$ .

3. b) La suite est croissante et majorée par $6$ : d'après le théorème de convergence monotone, $(u_{n})$ converge.

3. c) Par continuité de $x \mapsto 0, 7 x + 1, 8$ , $ℓ = 0, 7 ℓ + 1, 8$ , soit $0, 3 ℓ = 1, 8$ , $ℓ = 6$ : avec ce protocole, la quantité de médicament dans le sang juste après une injection se rapproche de $6$ mg sans jamais l'atteindre.

4. a) $v_{n + 1}$ $= 6 - u_{n + 1}$ $= 6 - 0, 7 u_{n} - 1, 8$ $= 4, 2 - 0, 7 u_{n}$ $= 0, 7 (6 - u_{n})$ $= 0, 7 v_{n}$ . $(v_{n})$ est géométrique de raison $0, 7$ et de premier terme $v_{0} = 6 - 2 = 4$ .

4. b) $v_{n} = 4 \times 0, 7^{n}$ et $u_{n} = 6 - v_{n} = 6 - 4 \times 0, 7^{n}$ .

4. c) $u_{n} ⩾ 5, 5 ⟺ 4 \times 0, 7^{n} ⩽ 0, 5 ⟺ 0, 7^{n} ⩽ 0, 125 ⟺ n \ln 0, 7 ⩽ \ln 0, 125 ⟺ n ⩾ \frac{\ln 0, 125}{\ln 0, 7}$ $\approx 5, 83$ (division par $\ln 0, 7 < 0$ ). Le premier rang est $n = 6$ ( $u_{5} \approx 5, 33$ et $u_{6} \approx 5, 53$ ). La quantité atteint $5, 5$ mg juste après l'injection de la sixième heure ; on arrête alors. Il y a donc $7$ injections : l'injection initiale et les six injections horaires.

Exercice 2 — Géométrie dans l'espace : projeté orthogonal et volume d'un tétraèdre (7 pts)

1. a) $\vec{u} (2; - 1; 2)$ (coefficients de $t$ ).

1. b) Pour $t = - 1$ : $x = 1 - 2 = - 1$ , $y = 2 + 1 = 3$ , $z = 2 - 2 = 0$ . $B (- 1; 3; 0) \in D$ .

1. c) $\vec{A B} (0; 2; - 3)$ . $\vec{A B} \cdot \vec{u} = 0 - 2 - 6 = - 8$ .

2. a) $P$ est orthogonal à $D$ , donc $\vec{u}$ est normal à $P$ : $2 x - y + 2 z + k = 0$ . Avec $A (- 1; 1; 3)$ : $- 2 - 1 + 6 + k = 0$ , $k = - 3$ . $P$ : $2 x - y + 2 z - 3 = 0$ .

2. b) $H$ est le point de $D$ vérifiant l'équation de $P$ : $2 (1 + 2 t) - (2 - t) + 2 (2 + 2 t) - 3 = 0$ , soit $9 t + 1 = 0$ , $t = - \frac{1}{9}$ . D'où $H (1 - \frac{2}{9}; 2 + \frac{1}{9}; 2 - \frac{2}{9})$ , soit $H (\frac{7}{9}; \frac{19}{9}; \frac{16}{9})$ .

2. c) $\vec{A H} (\frac{16}{9}; \frac{10}{9}; - \frac{11}{9})$ , $A H^{2} = \frac{256 + 100 + 121}{81} = \frac{477}{81} = \frac{53}{9}$ . $A H = \frac{\sqrt{53}}{3}$ .

3. a) $H$ et $B$ sont deux points de la droite $D$ , donc $\vec{H B}$ est colinéaire à son vecteur directeur $\vec{u}$ : il existe un réel $k$ tel que $\vec{H B} = k \vec{u}$ .

3. b) $\vec{A B} = \vec{A H} + \vec{H B}$ , donc $\vec{A B} \cdot \vec{u} = \vec{A H} \cdot \vec{u} + k \vec{u} \cdot \vec{u}$ . Or $\vec{A H} \cdot \vec{u} = 0$ car $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $D$ (la droite $(A H)$ est orthogonale à $D$ ). Donc $\vec{A B} \cdot \vec{u} = k ‖ \vec{u} ‖^{2}$ et $k = \frac{\vec{A B} \cdot \vec{u}}{‖ \vec{u} ‖^{2}}$ .

3. c) $‖ \vec{u} ‖^{2} = 4 + 1 + 4 = 9$ donc $k = - \frac{8}{9}$ . $\vec{H B} = - \frac{8}{9} \vec{u} = (- \frac{16}{9}; \frac{8}{9}; - \frac{16}{9})$ , d'où $H = B - \vec{H B}$ : $x_{H} = - 1 + \frac{16}{9} = \frac{7}{9}$ , $y_{H} = 3 - \frac{8}{9} = \frac{19}{9}$ , $z_{H} = 0 + \frac{16}{9} = \frac{16}{9}$ . On retrouve $H (\frac{7}{9}; \frac{19}{9}; \frac{16}{9})$ .

4. Les points $A$ , $C$ , $H$ appartiennent au plan $P$ : on prend $A C H$ pour base. La hauteur correspondante est la distance de $B$ à $P$ , c'est-à-dire $H B$ (car $(H B) = D$ est orthogonale à $P$ et $H \in P$ ) : $H B = | k | ‖ \vec{u} ‖ = \frac{8}{9} \times 3 = \frac{8}{3}$ . Alors $V = \frac{1}{3} \times Aire (A C H) \times \frac{8}{3} = \frac{8}{9}$ donne $Aire (A C H) = \frac{8}{9} \times 3 \times \frac{3}{8}$ . L'aire du triangle $A C H$ est $1$ .

Exercice 3 — Probabilités conditionnelles et loi binomiale : stage de formation (7 pts)

1. a) $P (S) = 0, 25$ .

1. b) Arbre : $P (F) = 0, 52$ , $P (\bar{F}) = 0, 48$ ; après $F$ : $P_{F} (S) = 0, 4$ et $P_{F} (\bar{S}) = 0, 6$ (les branches issues de $\bar{F}$ sont déterminées à la question e : $0, 0875$ et $0, 9125$ ).

1. c) $P (F \cap S)$ $= P (F) \times P_{F} (S)$ $= 0, 52 \times 0, 4$ $= 0, 208$ . La probabilité que la personne soit une femme ayant suivi le stage est $0, 208$ .

1. d) $P_{S} (F) = \frac{P (F \cap S)}{P (S)} = \frac{0, 208}{0, 25} = 0, 832$ . Sachant que la personne a suivi le stage, la probabilité que ce soit une femme est $0, 832$ .

1. e) $F$ et $\bar{F}$ forment une partition : $P (\bar{F} \cap S)$ $= P (S) - P (F \cap S)$ $= 0, 25 - 0, 208$ $= 0, 042$ . Donc $P_{\bar{F}} (S) = \frac{0, 042}{0, 48} = 0, 0875 < 0, 1$ . Parmi les hommes, $8, 75 %$ ont suivi le stage, soit moins de $10 %$ : le directeur a raison.

2. a) On répète $20$ fois de façon identique et indépendante (tirage avec remise) une épreuve de Bernoulli de succès « le salarié a suivi le stage », de probabilité $0, 25$ ; $X$ compte les succès. $X$ suit la loi binomiale $B (20; 0, 25)$ .

2. b) $P (X = 5) = (\binom{20}{5}) \times 0, 25^{5} \times 0, 75^{15} \approx 0, 202$ . $P (X = 5) \approx 0, 202$ .

2. c) La boucle ajoute $P (X = 0) + P (X = 1) + \dots + P (X = 5)$ : le programme renvoie $P (X ⩽ 5) \approx 0, 617$ . proba(5) $\approx 0, 617$ : c'est la probabilité qu'au plus $5$ salariés de l'échantillon aient suivi le stage.

2. d) $P (X ⩾ 6) = 1 - P (X ⩽ 5) \approx 1 - 0, 617 = 0, 383$ . $P (X ⩾ 6) \approx 0, 383$ .

3. $25 %$ des salariés sont augmentés de $5 %$ et $75 %$ de $2 %$ . Le pourcentage moyen d'augmentation est la moyenne pondérée $0, 25 \times 5 + 0, 75 \times 2 = 1, 25 + 1, 5 = 2, 75$ . Le pourcentage moyen d'augmentation est $2, 75 %$ .

Exercice 4 — QCM : fonctions, primitives et convexité (7 pts)

1. Réponse c. Pour $x \neq 0$ , $f (x) = \frac{x^{2} (- 2 + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^{2}})}{x^{2} (1 + \frac{1}{x^{2}})}$ , donc $lim_{x \to \pm \infty} f (x) = - 2$ : la droite $y = - 2$ est asymptote horizontale.

2. Réponse d. $f (x) = x e^{x^{2}} = \frac{1}{2} \times 2 x e^{x^{2}}$ est de la forme $\frac{1}{2} u^{'} e^{u}$ avec $u (x) = x^{2}$ : les primitives sont $\frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$ . $F (0) = 1$ donne $\frac{1}{2} + C = 1$ , $C = \frac{1}{2}$ .

3. Réponse c. $f$ est convexe sur un intervalle où $f^{'}$ est croissante. Sur la figure, $C_{f^{'}}$ monte (elle coupe l'axe des abscisses en $2$ ) jusqu'à un maximum atteint vers $x = 4$ , puis redescend lentement vers $0$ : $f^{'}$ est croissante sur $[0; 2]$ , donc $f$ est convexe sur $[0; 2]$ . La réponse d est fausse (après son maximum, $f^{'}$ décroît : $f$ y est concave), et donc a et b aussi.

4. Réponse a. Toute primitive $F$ de $f$ vérifie $F^{'} (x) = f (x) = 3 e^{- x^{2}} + 2 > 0$ pour tout réel $x$ : toutes les primitives sont croissantes sur $R$ .

5. Réponse d. on met $x^{2}$ en facteur au dénominateur : $\frac{2 \ln x}{3 x^{2} + 1}$ $= \frac{2 \ln x}{x^{2} (3 + \frac{1}{x^{2}})}$ $= \frac{\ln x}{x^{2}} \times \frac{2}{3 + \frac{1}{x^{2}}}$ ; par croissances comparées $\frac{\ln x}{x^{2}} \to 0$ et le second facteur tend vers $\frac{2}{3}$ : la limite est $0$ .

6. Réponse c. En posant $X = e^{x} > 0$ : $X^{2} + X - 12 = 0$ , de discriminant $49$ , a pour solutions $X = 3$ et $X = - 4$ . Seule $X = 3$ est strictement positive, d'où l'unique solution $x = \ln 3$ .

Conseils pour le jour J

Sujet à trois exercices au choix parmi quatre, tous corrigés ici. Exercice 1 : en A.2.b, convertis la durée en heures et minutes ( $0, 44$ h $\approx 26$ min) comme demandé ; en B.4.c, la question porte sur le nombre d'injections, pas sur le rang $n$ : n'oublie pas l'injection initiale. Exercice 2 : la question 3 propose une seconde méthode (projection avec $k = \frac{\vec{A B} \cdot \vec{u}}{‖ \vec{u} ‖^{2}}$ ), la rédaction attend la décomposition $\vec{A B} = \vec{A H} + \vec{H B}$ et l'argument $\vec{A H} \cdot \vec{u} = 0$ . Pour la question 4, identifie que $A$ , $C$ , $H$ sont dans $P$ et que la hauteur est $H B$ . Exercice 3 : la question 1.e demande de calculer $P_{\bar{F}} (S)$ à partir de $P (\bar{F} \cap S) = P (S) - P (F \cap S)$ ; pour le programme Python, décris ce que fait la boucle avant de donner la valeur. Exercice 4 : le QCM se traite en 25 minutes ; les questions 1, 5 et 6 sont des techniques de base (factorisation du terme dominant, croissances comparées, changement de variable $X = e^{x}$ avec $X > 0$ ). À la question 3, la courbe donnée est celle de $f^{'}$ , pas de $f$ : $f$ est convexe là où cette courbe monte.

Extrait du sujet (début du texte)

22 – MATJ1ME1 page /5 1 BACCALAURÉAT GÉNÉRAL ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ SESSION 2022 MATHÉMATIQUES Mercredi 11 mai 2022 Durée de l’épreuve : 4 heures L’usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé. L’usage de la calculatrice sans mémoire, « type collège » est autorisé. Dès que ce sujet vous est remis, assurez-vous qu’il est complet. Ce sujet comporte 5 pages numérotées de à . Le sujet propose 4 exercices. Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices. Chaque exercice est noté sur 7 points (le total sera ramené sur 20 points). Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte. 22 – MATJ1ME1 page /5 2 Exercice 1 (7 points) Thèmes : fonction exponentielle, suites. Dans le cadre d’un essai clinique, on envisage deux protocoles de traitement d’une maladie. L’objectif decet exercice est d’étudier, pour ces deux protocoles, l’évolution de la quantité de médicament présente dans le sang d’un patient en fonction du temps. Les parties A et B sont indépendantes. Partie A : Etude du premier protocole Le premier protocole consiste à faire absorber un médicament, sous forme de comprimé, au patient. On modélise la quantité de médicament présente dans le sang du patient, exprimée en mg, par la fonction 𝑓 définie sur l’intervalle [0; 10] par 𝑓(𝑡) = 3𝑡𝑒−0,5𝑡+1, où 𝑡 désigne le temps, exprimé en heure, écoulé depuis la prise du comprimé. 1. a. On admet que la fonction 𝑓 est dérivable sur l’intervalle [0; 10] et on note 𝑓′ sa fonction dérivée. Montrer que, pour tout nombre réel 𝑡 de [0; 10], on a : 𝑓′(𝑡) = 3(−0,5𝑡 + 1)𝑒−0,5𝑡+1. b. En déduire le tableau de variations de la fonction 𝑓 sur l’intervalle [0; 10]. c. Selon cette modélisation, au bout de combien de temps la quantité de médicament présente dans le sang du patient sera-t-elle maximale ? Quelle est alors …

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