Annales du bac · 2022 · Mathématiques (spécialité)

Sujet du bac 2022 de spé maths — Amérique du Nord, jour 1 (général)

Mathématiques (spécialité) · général · Amérique du Nord · session 2022 · 5 pages · source : Eduscol (ministère de l'Éducation nationale)

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Au programme de ce sujet

Exercice 1 (7 pts) — Probabilités conditionnelles, loi binomiale et variable aléatoire : trajet vers la gare
Exercice 2 (7 pts) — Suite récurrente : loi de refroidissement de Newton
Exercice 3 (7 pts) — Géométrie dans l'espace : triangle, plan et volume d'un tétraèdre
Exercice 4 (7 pts) — Vrai ou faux : fonctions exponentielles, convexité et limites

Corrigé

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Corrigé détaillé rédigé par Ben, professeur particulier de mathématiques. Chaque question est justifiée comme on l'attend le jour de l'épreuve.

Le corrigé rédigé, question par question

Exercice 1 — Probabilités conditionnelles, loi binomiale et variable aléatoire : trajet vers la gare (7 pts)

1. a) Arbre pondéré : depuis la racine, $V$ avec la probabilité $\frac{2}{3}$ et $\bar{V}$ (voiture) avec $\frac{1}{3}$ . Après $V$ : $R$ avec $\frac{1}{50}$ et $\bar{R}$ avec $\frac{49}{50}$ . Après $\bar{V}$ : $R$ avec $\frac{1}{10}$ et $\bar{R}$ avec $\frac{9}{10}$ .

1. b) $V$ et $\bar{V}$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales : $P (R)$ $= P (V) \times P_{V} (R) + P (\bar{V}) \times P_{\bar{V}} (R)$ $= \frac{2}{3} \times \frac{1}{50} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{10}$ $= \frac{2}{150} + \frac{5}{150}$ $= \frac{7}{150}$ . $P (R) = \frac{7}{150}$ .

1. c) $P_{R} (V) = \frac{P (V \cap R)}{P (R)} = \frac{2 / 150}{7 / 150} = \frac{2}{7}$ . Sachant qu'il a raté son train, la probabilité que Paul ait pris son vélo est $\frac{2}{7}$ .

2. a) On répète $20$ fois, de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli de succès « Paul prend son vélo », de probabilité $\frac{2}{3}$ ; $X$ compte les succès. $X$ suit la loi binomiale $B (20; \frac{2}{3})$ .

2. b) $P (X = 10) = (\binom{20}{10}) {(\frac{2}{3})}^{10} {(\frac{1}{3})}^{10} \approx 0, 054$ . $P (X = 10) \approx 0, 054$ .

2. c) $P (X ⩾ 10) = 1 - P (X ⩽ 9) \approx 1 - 0, 038 = 0, 962$ (calculatrice). $P (X ⩾ 10) \approx 0, 962$ .

2. d) $E (X) = n p = 20 \times \frac{2}{3} = \frac{40}{3} \approx 13, 3$ . En moyenne, Paul prend son vélo environ $13$ jours sur $20$ .

3. $E (T)$ $= \sum k P (T$ $= k)$ $= 10 \times 0, 14 + 11 \times 0, 13 + 12 \times 0, 13 + 13 \times 0, 12 + 14 \times 0, 12 + 15 \times 0, 11 + 16 \times 0, 10 + 17 \times 0, 08 + 18 \times 0, 07$ .

$E (T)$ $= 1, 4 + 1, 43 + 1, 56 + 1, 56 + 1, 68 + 1, 65 + 1, 6 + 1, 36 + 1, 26$ $= 13, 5$ . $E (T) = 13, 5$ : lorsqu'il prend sa voiture, le trajet de Paul jusqu'à la gare dure en moyenne $13, 5$ minutes (sur un grand nombre de trajets).

Exercice 2 — Suite récurrente : loi de refroidissement de Newton (7 pts)

1. a) Montrons par récurrence que $T_{n} ⩾ 20$ pour tout entier naturel $n$ . Initialisation : $T_{0} = 180 ⩾ 20$ . Hérédité : si $T_{n} ⩾ 20$ , alors $T_{n + 1}$ $= 0, 955 T_{n} + 0, 9 ⩾ 0, 955 \times 20 + 0, 9$ $= 19, 1 + 0, 9$ $= 20$ . Conclusion : pour tout $n$ , $T_{n} ⩾ 20$ .

1. b) $T_{n + 1} - T_{n}$ $= 0, 955 T_{n} + 0, 9 - T_{n}$ $= - 0, 045 T_{n} + 0, 9$ $= - 0, 045 (T_{n} - 20)$ (car $0, 045 \times 20 = 0, 9$ ). Comme $T_{n} ⩾ 20$ , $T_{n} - 20 ⩾ 0$ et donc $T_{n + 1} - T_{n} ⩽ 0$ . La suite $(T_{n})$ est décroissante.

1. c) $(T_{n})$ est décroissante et minorée par $20$ : d'après le théorème de convergence monotone, $(T_{n})$ est convergente.

2. a) $u_{n + 1}$ $= T_{n + 1} - 20$ $= 0, 955 T_{n} + 0, 9 - 20$ $= 0, 955 T_{n} - 19, 1$ $= 0, 955 (T_{n} - 20)$ $= 0, 955 u_{n}$ . $(u_{n})$ est géométrique de raison $0, 955$ , de premier terme $u_{0} = T_{0} - 20 = 160$ .

2. b) $u_{n} = 160 \times 0, 955^{n}$ , donc $T_{n} = u_{n} + 20 = 20 + 160 \times 0, 955^{n}$ .

2. c) Comme $0 < 0, 955 < 1$ , $lim_{n \to + \infty} 0, 955^{n} = 0$ , donc $lim_{n \to + \infty} T_{n} = 20$ .

2. d) $T_{n} ⩽ 120 ⟺ 160 \times 0, 955^{n} ⩽ 100 ⟺ 0, 955^{n} ⩽ 0, 625 ⟺ n \ln (0, 955) ⩽ \ln (0, 625) ⟺ n ⩾ \frac{\ln (0, 625)}{\ln (0, 955)}$ (division par $\ln (0, 955) < 0$ ). Or $\frac{\ln (0, 625)}{\ln (0, 955)} \approx 10, 2$ . Les solutions sont les entiers $n ⩾ 11$ .

3. a) Le gâteau se refroidit et sa température se rapproche de celle de l'air ambiant, $20$ °C, sans pouvoir descendre en dessous : la limite $20$ correspond à la température ambiante.

3. b) La fonction part de $T = 180$ et $n = 0$ , puis tant que $T > x$ , elle calcule le terme suivant ( $T = 0.955 \times T + 0.9$ , c'est-à-dire $T_{n + 1} = 0, 955 T_{n} + 0, 9$ ) et ajoute 1 à $n$ . Elle renvoie donc le plus petit entier $n$ tel que $T_{n} ⩽ x$ .

D'après 2.d, le plus petit entier $n$ tel que $T_{n} ⩽ 120$ est $11$ ( $T_{10} \approx 121, 0$ et $T_{11} \approx 116, 4$ ). temp(120) renvoie $11$ : il faut attendre $11$ minutes après la sortie du four pour que la température au centre du gâteau soit inférieure ou égale à $120$ °C.

Exercice 3 — Géométrie dans l'espace : triangle, plan et volume d'un tétraèdre (7 pts)

1. a) $\vec{J K} (- 1; 2; 0)$ et $\vec{J L} (- 4; - 2; - 3)$ . $\vec{J K} \cdot \vec{J L} = 4 - 4 + 0 = 0$ . Le triangle $J K L$ est rectangle en $J$ .

1. b) $J K = \sqrt{1 + 4 + 0} = \sqrt{5}$ et $J L = \sqrt{16 + 4 + 9} = \sqrt{29}$ . Aire $= \frac{1}{2} \times J K \times J L = \frac{\sqrt{5} \times \sqrt{29}}{2}$ . L'aire de $J K L$ est $\frac{\sqrt{145}}{2} \approx 6, 02$ cm².

1. c) Dans le triangle rectangle en $J$ : $\tan \hat{J K L} = \frac{J L}{J K} = \frac{\sqrt{29}}{\sqrt{5}}$ , d'où $\hat{J K L} = \arctan \sqrt{\frac{29}{5}} \approx 67, 5^{\circ}$ . (Ou avec le produit scalaire : $\vec{K J} (1; - 2; 0)$ , $\vec{K L} (- 3; - 4; - 3)$ , $\cos \hat{J K L} = \frac{- 3 + 8 + 0}{\sqrt{5} \times \sqrt{34}} = \frac{5}{\sqrt{170}}$ .) $\hat{J K L} \approx 67, 5^{\circ}$ .

2. a) $\vec{n} \cdot \vec{J K} = - 6 + 6 + 0 = 0$ et $\vec{n} \cdot \vec{J L} = - 24 - 6 + 30 = 0$ . $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(J K L)$ : $\vec{n} (6; 3; - 10)$ est normal au plan $(J K L)$ .

2. b) $(J K L)$ : $6 x + 3 y - 10 z + k = 0$ . Avec $J (2; 0; 1)$ : $12 + 0 - 10 + k = 0$ , $k = - 2$ . $(J K L)$ : $6 x + 3 y - 10 z - 2 = 0$ . (Contrôle : $K$ : $6 + 6 - 10 - 2 = 0$ ; $L$ : $- 12 - 6 + 20 - 2 = 0$ .)

3. a) $Δ$ passe par $T (10; 9; - 6)$ et a pour vecteur directeur $\vec{n}$ : $x = 10 + 6 t$ , $y = 9 + 3 t$ , $z = - 6 - 10 t$ , $t \in R$ .

3. b) $H$ est le point de $Δ$ appartenant au plan : $6 (10 + 6 t) + 3 (9 + 3 t) - 10 (- 6 - 10 t) - 2$ $= 0$ , soit $60 + 36 t + 27 + 9 t + 60 + 100 t - 2 = 0$ , soit $145 t + 145 = 0$ , $t = - 1$ . $H (4; 6; 4)$ . (Contrôle : $24 + 18 - 40 - 2 = 0$ .)

3. c) La hauteur du tétraèdre issue de $T$ est $T H = ‖ \vec{T H} ‖$ avec $\vec{T H} (- 6; - 3; 10)$ : $T H = \sqrt{36 + 9 + 100} = \sqrt{145}$ . Donc $V = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{145}}{2} \times \sqrt{145} = \frac{145}{6}$ . Le volume de $J K L T$ est $\frac{145}{6} \approx 24, 2$ cm³.

Exercice 4 — Vrai ou faux : fonctions exponentielles, convexité et limites (7 pts)

Affirmation 1 : VRAIE. Pour tout réel $x$ , $1 - \frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}}$ $= \frac{1 + e^{x} - 1 + e^{x}}{1 + e^{x}}$ $= \frac{2 e^{x}}{1 + e^{x}}$ . En divisant numérateur et dénominateur par $e^{x} \neq 0$ : $\frac{2}{e^{- x} + 1}$ . L'égalité est vraie pour tout réel $x$ .

Affirmation 2 : VRAIE. $g (x) = \frac{1}{2} ⟺ 2 e^{x} = e^{x} + 1 ⟺ e^{x} = 1 ⟺ x = 0$ . L'équation admet une unique solution, $x = 0$ .

Affirmation 3 : VRAIE. L'axe des abscisses est tangent à $C$ au point d'abscisse $a$ si et seulement si $f (a) = 0$ et $f^{'} (a) = 0$ . Or $f (x) = x^{2} e^{- x} = 0 ⟺ x = 0$ (car $e^{- x} > 0$ ), et $f^{'} (x) = 2 x e^{- x} - x^{2} e^{- x} = x (2 - x) e^{- x}$ vérifie $f^{'} (0) = 0$ . L'axe des abscisses est tangent à $C$ en un seul point, l'origine.

Affirmation 4 : FAUSSE. $h^{'} (x)$ $= e^{x} (1 - x^{2}) + e^{x} (- 2 x)$ $= e^{x} (1 - 2 x - x^{2})$ et $h^{″} (x)$ $= e^{x} (1 - 2 x - x^{2}) + e^{x} (- 2 - 2 x)$ $= e^{x} (- x^{2} - 4 x - 1)$ . Le trinôme $- x^{2} - 4 x - 1$ a pour discriminant $Δ = 16 - 4 = 12 > 0$ : il possède deux racines distinctes, $x = - 2 - \sqrt{3}$ et $x = - 2 + \sqrt{3}$ , en lesquelles il change de signe. Comme $e^{x} > 0$ , $h^{″}$ s'annule en changeant de signe en ces deux valeurs : la courbe de $h$ admet deux points d'inflexion, l'affirmation est fausse.

Affirmation 5 : FAUSSE. Pour $x > 0$ , $\frac{e^{x}}{e^{x} + x} = \frac{1}{1 + \frac{x}{e^{x}}}$ . Par croissances comparées, $lim_{x \to + \infty} \frac{x}{e^{x}} = 0$ , donc la limite vaut $1$ , et non $0$ .

Affirmation 6 : VRAIE. Pour tout réel $x$ , $1 + e^{2 x} - 2 e^{x}$ $= {(e^{x})}^{2} - 2 e^{x} + 1$ $= {(e^{x} - 1)}^{2} ⩾ 0$ . Donc $1 + e^{2 x} ⩾ 2 e^{x}$ pour tout réel $x$ .

Conseils pour le jour J

Ce sujet 2022 propose quatre exercices dont trois à choisir ; les quatre sont corrigés ici. Exercice 1 : garde les fractions exactes ( $\frac{7}{150}$ , $\frac{2}{7}$ ) tant que l'énoncé ne demande pas d'arrondi ; pour l'espérance de $T$ , vérifie que la somme des probabilités vaut $1$ avant de calculer. Exercice 2 : c'est l'exercice le plus rentable et le plus classique (suite arithmético-géométrique) ; à la question 3.b, inutile de faire tourner le script Python à la main : il cherche le seuil de la question 2.d, donc la réponse est déjà trouvée. Exercice 3 : la structure est linéaire (triangle rectangle, aire, plan, projeté, volume) ; ne perds pas de temps sur l'angle, une valeur au dixième suffit. Exercice 4 : pour un vrai/faux, une identité algébrique (affirmations 1 et 6) se démontre par le calcul ; pour les points d'inflexion, calcule la dérivée seconde et son discriminant. Choisis tes trois exercices en 5 minutes en fonction de tes points forts et tiens-t'y.

Extrait du sujet (début du texte)

22-MATJ1AN1 Page : BACCALAURÉAT GÉNÉRAL ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ SESSION 2022 MATHÉMATIQUES Jour 1 Durée de l’épreuve : 4 heures L’usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé. L’usage de la calculatrice sans mémoire, « type collège » est autorisé. Dès que ce sujet vous est remis, assurez-vous qu’il est complet. Ce sujet comporte 5 pages numérotées de à . Le sujet propose 4 exercices. Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices. Chaque exercice est noté sur 7 points (le total sera ramené sur 20 points). Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte. 22-MATJ1AN1 Page : EXERCICE 1 (7 points) Thème : probabilités Chaque jour où il travaille, Paul doit se rendre à la gare pour rejoindre son lieu de travail en train. Pour cela, il prend son vélo deux fois sur trois et, s’il ne prend pas son vélo, il prend sa voiture. 1. Lorsqu’il prend son vélo pour rejoindre la gare, Paul ne rate le train qu’une fois sur cinquante alors que, lorsqu’il prend sa voiture pour rejoindre la gare, Paul rate son train une fois sur dix. On considère une journée au hasard lors de laquelle Paul se rend à la gare pour prendre le train qui le conduira au travail. On note :  V l’événement « Paul prend son vélo pour rejoindre la gare » ;  R l’événement « Paul rate son train ». a. Faire un arbre pondéré résumant la situation. b. Montrer que la probabilité que Paul rate son train est égale à ଻ ଵହ଴ . c. Paul a raté son train. Déterminer la valeur exacte de la probabilité qu’il ait pris son vélo pour rejoindre la gare. 2. On choisit au hasard un mois pendant lequel Paul s’est rendu 20 jours à la gare pour rejoindre son lieu de travail selon les modalités décrites …

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