Sujet du bac 2021 de spé maths — Métropole, Mayotte, La Réunion, Antilles Guyane, jour 1 (général)

1. Réponse c. $f={\displaystyle \frac{u}{v}}$ avec $u(x)=e^{2x}$, $u^{\prime }(x)=2e^{2x}$, $v(x)=x$, $v^{\prime }(x)=1$ : $f^{\prime }(x)$$={\displaystyle \frac{2x{e}^{2x}-e^{2x}}{x^2}}$$={\displaystyle \frac{e^{2x}(2x-1)}{x^2}}$.

2. Réponse c. $f^{\prime }(x)$ a le signe de $2x-1$ (car $e^{2x}>0$ et $x^2>0$) : négatif sur $\left]0;{\displaystyle \frac{1}{2}}\right[$, positif sur $]{\displaystyle \frac{1}{2}};+\infty [$. $f$ est décroissante puis croissante : elle admet un minimum en ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ (elle n'est pas monotone).

3. Réponse a. $f(x)={\displaystyle \frac{e^{2x}}{x}}=2{\displaystyle \frac{e^{2x}}{2x}}$ ; par croissances comparées, avec $X=2x\to +\infty$, ${\displaystyle \frac{e^X}{X}}\to +\infty$, donc $\underset{x\to +\infty }{lim}f(x)=+\infty$.

4. Réponse b. Le trinôme $2x^2-2x+1$ a pour discriminant $\Delta =4-8=-4<0$ : il est strictement positif. Sur $]0;+\infty [$, $e^{2x}>0$ et $x^3>0$, donc $f^{″}(x)>0$ : $f$ est convexe sur $]0;+\infty [$ (et sa courbe n'a pas de point d'inflexion).

Partie I

1. Arbre : depuis la racine, $D$ ($0,05$) et $\overline{D}$ ($0,95$). Après $D$ : $T$ ($0,98$) et $\overline{T}$ ($0,02$). Après $\overline{D}$ : $T$ ($0,03$) et $\overline{T}$ ($0,97$).

2. a) $p(D\cap T)$$=p(D)\times p_D(T)$$=0,05\times 0,98$$=0,049$. La probabilité que la pièce soit défectueuse et présente un test positif est $0,049$.

2. b) $D$ et $\overline{D}$ forment une partition de l'univers ; d'après la formule des probabilités totales : $p(T)$$=p(D\cap T)+p(\overline{D}\cap T)$$=0,049+0,95\times 0,03$$=0,049+0,0285$$=0,0775$. $p(T)=0,0775$.

3. $p_T(D)={\displaystyle \frac{p(D\cap T)}{p(T)}}={\displaystyle \frac{0,049}{0,0775}}\approx 0,632$. La valeur prédictive positive vaut environ $0,632<0,95$ : le test n'est pas efficace (plus d'un tiers des pièces testées positives ne sont pas défectueuses).

Partie II

1. On répète $20$ fois de façon identique et indépendante (tirage assimilé à un tirage avec remise) une épreuve de Bernoulli de succès « la pièce est défectueuse », de probabilité $0,05$ ; $X$ compte les succès. $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(20;0,05)$.

2. $p(X⩾1)$$=1-p(X$$=0)$$=1-0,{95}^{20}$$\approx 1-0,358$$=0,64$. La probabilité que l'échantillon contienne au moins une pièce défectueuse est environ $0,64$.

3. $E(X)=np=20\times 0,05=1$. En moyenne, un échantillon de $20$ pièces contient $1$ pièce défectueuse.

I - Premier modèle

En $10$ minutes, la température passe de $-19$ °C à $1,3$ °C, soit une hausse de $20,3$ °C, donc $2,03$ °C par minute. Au bout de $25$ minutes : $-19+25\times 2,03=-19+50,75=31,75$ °C. Selon ce modèle, les gâteaux seraient à $31,75$ °C, ce qui dépasse la température ambiante de $25$ °C : le modèle n'est pas pertinent (des gâteaux posés sur la terrasse ne peuvent pas devenir plus chauds que l'air ambiant).

II - Second modèle

1. $T_{n+1}$$=T_n-0,06(T_n-25)$$=T_n-0,06T_n+1,5$. $T_{n+1}=0,94T_n+1,5$.

2. $T_1=0,94\times (-19)+1,5=-16,36$ et $T_2=0,94\times (-16,36)+1,5=-13,8784$. $T_1\approx -16,4$ °C et $T_2\approx -13,9$ °C.

3. Initialisation : $T_0=-19⩽25$. Hérédité : si $T_n⩽25$, alors $T_{n+1}$$=0,94T_n+1,5⩽0,94\times 25+1,5$$=23,5+1,5$$=25$. Conclusion : pour tout entier naturel $n$, $T_n⩽25$. Ce résultat était prévisible : la température des gâteaux ne peut pas dépasser celle de l'air ambiant, $25$ °C.

4. $T_{n+1}-T_n=-0,06(T_n-25)$ et $T_n-25⩽0$, donc $T_{n+1}-T_n⩾0$. La suite $(T_n)$ est croissante.

5. $(T_n)$ est croissante et majorée par $25$ : d'après le théorème de convergence monotone, $(T_n)$ est convergente.

6. a) $U_{n+1}$$=T_{n+1}-25$$=0,94T_n+1,5-25$$=0,94T_n-23,5$$=0,94(T_n-25)$$=0,94U_n$. $(U_n)$ est géométrique de raison $0,94$ et de premier terme $U_0=T_0-25=-44$.

6. b) $U_n=-44\times 0,{94}^n$, donc $T_n=U_n+25=-44\times 0,{94}^n+25$.

6. c) Comme $0<0,94<1$, $\underset{n\to +\infty }{lim}0,{94}^n=0$, donc $\underset{n\to +\infty }{lim}{T}_n=25$ : au bout d'un temps suffisamment long, la température des gâteaux se rapproche de la température ambiante $25$ °C.

7. a) Une demi-heure : $n=30$, $T_{30}=-44\times 0,{94}^{30}+25\approx 18,1$. Les gâteaux sont alors à environ $18$ °C.

7. b) $T_n⩾10⟺-44\times 0,{94}^n⩾-15⟺0,{94}^n⩽{\displaystyle \frac{15}{44}}⟺n\ln 0,94⩽\ln {\displaystyle \frac{15}{44}}⟺n⩾{\displaystyle \frac{\ln (15/44)}{\ln 0,94}}$$\approx 17,4$ (division par $\ln 0,94<0$). Vérification : $T_{17}\approx 9,6<10$ et $T_{18}\approx 10,6⩾10$. Cécile doit déguster son gâteau entre $17$ et $18$ minutes après la sortie du congélateur.

7. c) Programme complété :

def seuil():
    n = 0
    T = -19
    while T < 10 :
        T = 0.94*T + 1.5
        n = n + 1
    return n

On part de $T_0=-19$ ; tant que la température est strictement inférieure à $10$, on calcule le terme suivant et on incrémente $n$. La fonction renvoie $18$, plus petit entier $n$ tel que $T_n⩾10$.

1. $d$ passe par $O(0;0;0)$ et a pour vecteur directeur $\overrightarrow{u}(1;1;0)$ : $x=t$, $y=t$, $z=0$, $t\in \mathbb{R}$.

2. a) $\overrightarrow{AM}(t-1;t-3;-2)$, donc $A{M}^2$$=(t-1{)}^2+(t-3{)}^2+(-2{)}^2$$=t^2-2t+1+t^2-6t+9+4$. $A{M}^2=2t^2-8t+14$.

2. b) $t\mapsto 2t^2-8t+14$ est un trinôme de coefficient dominant $2>0$ : il admet un minimum en $t=-{\displaystyle \frac{-8}{2\times 2}}=2$ (on peut aussi écrire $2t^2-8t+14=2(t-2{)}^2+6⩾6$, avec égalité si et seulement si $t=2$). La distance $AM$ est donc minimale pour $t=2$, c'est-à-dire au point $M_0(2;2;0)$, avec $A{M}_0=\sqrt{6}$.

3. $\overrightarrow{A{M}_0}(1;-1;-2)$ et $\overrightarrow{A{M}_0}·\overrightarrow{u}=1-1+0=0$. Les droites $(A{M}_0)$ et $d$ sont orthogonales ($M_0$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $d$).

4. $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}(0;0;-2)$ et $\overrightarrow{A^{\prime }{M}_0}(1;-1;0)$ sont deux vecteurs non colinéaires du plan $(A{A}^{\prime }{M}_0)$. $\overrightarrow{O{M}_0}(2;2;0)$ vérifie $\overrightarrow{O{M}_0}·\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=0$ et $\overrightarrow{O{M}_0}·\overrightarrow{A^{\prime }{M}_0}=2-2=0$ : $\overrightarrow{O{M}_0}$ est normal au plan $(A{A}^{\prime }{M}_0)$. Comme $M_0$ appartient à ce plan, $M_0$ est le projeté orthogonal de $O$ sur le plan $(A{A}^{\prime }{M}_0)$. Pour tout point $N$ du plan, $O{N}^2=O{M}_0^2+M_0{N}^2⩾O{M}_0^2$ (Pythagore, $\overrightarrow{O{M}_0}⟂\overrightarrow{M_{0}N}$). $M_0$ est le point du plan $(A{A}^{\prime }{M}_0)$ le plus proche de $O$.

5. On prend pour base le triangle $M_0{A}^{\prime }A$ et pour hauteur $O{M}_0$ (orthogonale au plan de la base d'après la question 4) : $O{M}_0=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$. Le triangle $M_0{A}^{\prime }A$ est rectangle en $A^{\prime }$ ($\overrightarrow{A^{\prime }A}·\overrightarrow{A^{\prime }{M}_0}=0$), avec $A^{\prime }A=2$ et $A^{\prime }{M}_0=\sqrt{2}$ : son aire est ${\displaystyle \frac{1}{2}}\times 2\times \sqrt{2}=\sqrt{2}$. $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\times \sqrt{2}\times 2\sqrt{2}={\displaystyle \frac{4}{3}}$.

1. $u^{\prime }(x)=2x{e}^x+x^2{e}^x$. Alors $u(x)+2x{e}^x=x^2{e}^x+2x{e}^x=u^{\prime }(x)$. $u$ est solution de $(E)$.

2. a) Si $f$ est solution de $(E)$ : $g^{\prime }(x)$$=f^{\prime }(x)-u^{\prime }(x)$$=(f(x)+2x{e}^x)-(u(x)+2x{e}^x)$$=f(x)-u(x)$$=g(x)$. $g$ est solution de $y^{\prime }=y$.

2. b) Les solutions de $y^{\prime }=y$ sont les fonctions $x\mapsto K{e}^x$, $K\in \mathbb{R}$. D'après 2.a et sa réciproque, $f$ est solution de $(E)$ si et seulement si $f-u$ est de cette forme. Les solutions de $(E)$ sont les fonctions $x\mapsto x^2{e}^x+K{e}^x=(x^2+K)e^x$, avec $K\in \mathbb{R}$.

3. a) $u^{\prime }(x)=(x^2+2x)e^x=x(x+2)e^x$. Comme $e^x>0$, $u^{\prime }(x)$ a le signe de $x(x+2)$ : positif sur $]-\infty ;-2[$, négatif sur $]-2;0[$, positif sur $]0;+\infty [$, nul en $-2$ et $0$.

3. b) $u$ est croissante sur $]-\infty ;-2]$, décroissante sur $[-2;0]$ et croissante sur $[0;+\infty [$, avec $u(-2)=4e^{-2}\approx 0,54$ (maximum local) et $u(0)=0$ (minimum local).

3. c) $u^{″}(x)$$=(2x+2)e^x+(x^2+2x)e^x$$=(x^2+4x+2)e^x$, du signe de $x^2+4x+2$, de discriminant $\Delta =16-8=8$ et de racines $x_1=-2-\sqrt{2}$ et $x_2=-2+\sqrt{2}$. Le trinôme est négatif entre ses racines, donc $u^{″}⩽0$ exactement sur $[-2-\sqrt{2};-2+\sqrt{2}]$. Le plus grand intervalle sur lequel $u$ est concave est $[-2-\sqrt{2};-2+\sqrt{2}]$.