Sujet du bac 2019 de mathématiques (série STL) — STL Bio NC 26nov2019 JCS (session de remplacement) (STL biotechnologies) (STL biotechnologies)

/decofourBaccalauréat STL biotechnologies Nouvelle Calédonie /decofive 26 novembre 2019 EXERCICE 1 6 points Une certaine quantité de pénicilline est injectée dans le sa ng d’un patient. On suppose que l’injection est instantanée et que la vitesse de son élimination est proportionnelle à la quantité restant dans le sang. On note t le temps écoulé, en minute, après injection de la pénicillin e, et f (t ) la quantité, en milligramme, de pénicilline présente dans le sang à l’instant t . La fonction f , ainsi définie, est solution de l’équation différentielle (E ) : y ′ = −0, 04y. Dans cet exercice, la quantité de pénicilline injectée est inconnue, mais on sait que le sang du patient contenait 3,03 mg de pénicilline, 40 minutes après injection. T ous les résultats seront arrondis à0, 01 près. Partie A – Solution de l’équation différentielle 1. Donner l’ensemble des solutions de l’équation différentie lle (E ) définies sur [0 ; +∞[. 2. Déterminer l’unique solution f définie sur [0 ; +∞[, de l’équation différentielle (E ) qui vérifie f (40) = 3, 03. Pour la suite de l’exercice, on prendra f (t ) = 15 e−0,04t . Partie B – Étude de la fonction f 1. Quelle est la quantité de pénicilline initialement injecté e dans le sang du patient ? 2. a. Déterminer la fonction dérivée f ′ de la fonction f . b. Étudier les variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ; +∞[. c. Déterminer lim t →+∞ f (t ). 3. Déterminer, par le calcul, la durée pendant laquelle la quan tité de pénicilline dans le sang sera stricte- ment supérieure à 0,1 mg. Partie C – Quantité moyenne de pénicilline L ’utilisation d’un logiciel de calcul formel nous donne les résultats suivants : 1 f (t ) = 15 ∗ exp(−0.04t ) − →f (t ) = 15e 1 25 t 2 Intégrale(f , 0, 30) ≈ …