Sujet du bac 2018 de mathématiques (série ES) — Amérique du Sud (ES)

A. P. M. E. P. /decofourBaccalauréat ES/L Amérique du Sud 14 novembre 2018 /decofive EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats f est la fonction définie sur [0 ; 12] par f (x) = 2xe−x . Partie A Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants : 1 Dériver(2 ∗ x ∗ exp(−x)) −2 ∗ x ∗ exp(−x) + 2 ∗ exp(−x) 2 Factoriser(−2 ∗ x ∗ exp(−x) + 2 ∗ exp(−x)) 2 ∗ (1 − x) ∗ exp(−x) 3 Dériver(2 ∗ (1 − x) ∗ exp(−x)) 2 ∗ x ∗ exp(−x) − 4 ∗ exp(−x) 4 Factoriser(2∗ x ∗ exp(−x) − 4 ∗ exp(−x)) 2 ∗ (x − 2) ∗ exp(−x) 1. Vérifier le résultat de la ligne 1 donné par le logiciel de calc ul formel. Dans la suite, on pourra utiliser les résultats donnés par le logiciel de calcul formel sans les justifier . 2. a. Dresser le tableau des variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 12] en le justifiant. b. Démontrer que l’équation f (x) = 0,5 admet deux solutions dans [0 ; 12]. Donner à l’aide de la calculatrice une valeur approchée au ce ntième de chacune de ces solutions. 3. Étudier la convexité de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 12]. Partie B Le taux d’alcoolémie d’une personne pendant les 12 heures su ivant la consommation d’une certaine quantité d’alcool est modélisé par la fonction f : • x représente le temps (exprimé en heure) écoulé depuis la cons ommation d’alcool ; • f (x) représente le taux d’alcoolémie (exprimé en g/L) de cette p ersonne. 1. a. Décrire les variations du taux d’alcoolémie de cette person ne pendant les 12 heures sui- vant la consommation d’alcool. b. À quel instant le taux d’alcoolémie de cette personne est-il maximal ? Quelle est alors sa valeur ? Arrondir au centième. 2. Le Code de la route interdit toute …