Sujet du bac 2014 de mathématiques (série ES) — Nouvelle-Calédonie (ES)

A. P. M. E. P. /decofourBaccalauréat ES Nouvelle-Calédonie /decofive 2 mars 2015 EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats On considère la fonction f définie pour tout réel x de l’intervalle [1,5 ; 6] par : f (x) = (25x − 32)e−x . On a utilisé un logiciel pour déterminer, sur l’intervalle [ 1,5 ; 6], sa fonction dérivée f ′ et sa fonction dérivée seconde f ′′. On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère du plan. On a obtenu les résultats suivants qui pourront être utilisé s sans justification dans tout l’exercice. • f ′(x) = (57 − 25x)e−x • f ′′(x) = (25x − 82)e−x 1. a. Étudier le signe de f ′(x) sur l’intervalle [1,5 ; 6]. b. En déduire le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle [1,5 ; 6] (Les valeurs seront, si nécessaire, arrondies au centième) . 2. Montrer que, sur l’intervalle [1,5 ; 6], la courbeC admet un unique point d’in- flexion dont on précisera l’abscisse. 3. Dans cette question, on s’intéresse à l’équation f (x) = 1. a. Justifier que l’équation f (x) = 1 admet une unique solution α sur l’inter- valle [4 ; 5]. b. On a écrit l’algorithme suivant permettant de déterminer un e valeur ap- prochée de la solution de l’équation f (x) = 1 sur l’intervalle [4 ; 5]. Initialisation a prend la valeur 4 b prend la valeur 5 Traitement T ant queb − a > 0, 1 faire y prend la valeur f ( a+b 2 ) Si y > 1 alors a prend la valeur a+b 2 Sinon b prend la valeur a+b 2 Fin de T ant que Sortie Afficher a+b 2 Exécuter l’algorithme précédent en complétant le tableau d onné en an- nexe. c. Donner une valeur approchée de α au dixième. EXERCICE 2 5 points Commun à tous les candidats Une …