Sujet du bac 2011 de mathématiques (série STI) — Nouvelle-Calédonie (STI génie civil) (STI génie civil)

Durée : 4 heures /decofourBaccalauréat STI mars 2011 Nouvelle-Calédonie /decofive Génie mécanique - Génie énergétique - Génie civil EXERCICE 1 5 points Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O, − →u , − →v ) . L ’unité graphique est 2 cm. On note i le nombre complexe de module 1 et d’argument π 2 . 1. Dans l’ensemble des nombres complexes, on considère l’équa tion (E) : z3 − 2 ( 1 + /radicallow 3 ) z2 + 4 ( 1 + /radicallow 3 ) z − 8 = 0. a. Vérifier que le nombre 2 est une solution de l’équation (E). b. En déduire qu’il existe deux nombres réels α et β, que l’on déterminera, tels que l’équation (E) soit équivalente à l’équation : (z − 2) ( z2 + αz + β ) = 0. c. Résoudre l’équation z2 + αz + β = 0, puis déterminer le module et un ar- gument de chacune de ses solutions. On désigne par A et B les points du plan complexe d’affixes resp ectives : a = 2ei π 6 et b = 2. On désigne par C le milieu du segment [AB], et on note c l’affixe du point C. 2. On se propose dans cette question de déterminer la valeur exacte de sin ( π 12 ) . a. Placer les points A, B, C dans le repère ( O, − →u , − →v ) et démontrer que le triangle OAB est isocèle. b. Déterminer une mesure en radians de l’angle (− − →OB ; − − →OC ) . c. Déterminer l’écriture algébrique du nombre complexe c. d. Calculer le module de c et démontrer que |c| = /radicallow 6 + /radicallow 2 2 . e. Démontrer que sin ( π 12 ) = /radicallow 6 − /radicallow 2 4 . EXERCICE 2 5 points On note f la fonction …