Sujet du bac 2011 de mathématiques (série S) — Asie (S)

/decofourBaccalauréat S Asie 21 juin 2011 /decofive EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( O ; − →ı , − → ) . 1. Étude d’une fonction f On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par : f (x) = ln x x . On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; +∞[. On note C f la courbe représentative de la fonction f dans le repère ( O ; − →ı , − → ) . La courbe C f est représentée en annexe 1 (à rendre avec la copie). a. Déterminer les limites de la fonction f en 0 et en +∞. b. Calculer la dérivée f ′ de la fonction f . c. En déduire les variations de la fonction f . 2. Étude d’une fonction g On considère la fonction g définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par : g (x) = (ln x)2 x . On note Cg la courbe représentative de la fonction g dans le repère ( O ; − →ı , − → ) . a. Déterminer la limite de g en 0, puis en +∞. Après l’avoir justifiée, on utilisera la relation : (ln x)2 x = 4 ( ln /radicallow x/radicallow x ) 2 . b. Calculer la dérivée g ′ de la fonction g . c. Dresser le tableau de variation de la fonction g . 3. a. Démontrer que les courbes C f et Cg possèdent deux points communs dont on précisera les coordonnées. b. Étudier la position relative des courbes C f et Cg . c. Tracer sur le graphique de l’annexe 1 (à rendre avec la copie) la courbe Cg . 4. On désigne par A l’aire, exprimée en unité d’aire, de la partie du plan délimitée, d’une part par les courbes C f …