Sujet du bac 2020 de mathématiques (série S) — Nouvelle-Calédonie (S)

A. P. M. E. P. /decofourBaccalauréat S – Nouvelle Calédonie /decofive 2 décembre 2020 L ’usage de tout modèle de calculatrice, avec ou sans mode examen, est autorisé. L ’usage de la calculatrice sans mémoire, type « collège », est autorisé Le sujet est composé de quatre exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indi quer clairement sur la copie. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la p récision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation des copies. Exercice 1 5 points Commun à tous les candidats 1. On considère l’équation (E ) : z3 = 4z2 − 8z + 8 ayant pour inconnue le nombre complexe z. a. Démontrer que, pour tout nombre complexe z, z3 − 4z2 + 8z − 8 = (z − 2) ( z2 − 2z + 4 ) . b. Résoudre l’équation (E ). c. Écrire les solutions de l’équation ( E ) sous forme exponentielle. On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct ( O ; − →u , − →v ) . Soit A, B, C et D les quatre points d’affixes respectives zA = 1 + i /radicallow 3 zB = 2 zC = 1 − i /radicallow 3 zD = 1. Ces quatre points sont représentés dans la figure ci-dessous . A B C O D − →u − →v Figure de l’exercice 1 2. Quelle est la nature du quadrilatère OABC ? Justifier. 3. Soit M le point d’affixe zM = 7 4 + i /radicallow 3 4 . a. Démontrer que les points A, M et B sont alignés. b. Démontrer que le triangle …