Sujet du bac 2019 de mathématiques (série S) — Asie (S)

Durée : 4 heures /decofourBaccalauréat S Asie 20 juin 2019 /decofive Exercice 1 6 points Commun à tous les candidats La loi de refroidissement de Newton stipule que le taux d’évo lution de la température d’un corps est proportionnel à la différence entre la température de ce cor ps et celle du milieu environnant. Une tasse de café est servie à une température initiale de 80 ° C dans un milieu dont la température, exprimée en degré Celsius, supposée constante, est notée M. Le but de cet exercice est d’étudier le refroidissement du ca fé en appliquant la loi de Newton suivant deux modèles. L ’un, dans la partie A, utilise une suite ; l’autre, dans la partie B, utilise une fonction. Les parties A et B sont indépendantes. Partie A Dans cette partie, pour tout entier naturel n, on note Tn la température du café à l’instant n, avec Tn exprimé en degré Celsius et n en minute. On a ainsi T0 = 80. On modélise la loi de Newton entre deux minutes consécutives quelconques n et n + 1 par l’égalité : Tn+1 − Tn = k (Tn − M) où k est une constante réelle. Dans la suite de la partie A, on choisit M = 10 et k = −0, 2. Ainsi, pour tout entier naturel n, on a : Tn+1 − Tn = −0, 2(Tn − 10). 1. D’après le contexte, peut-on conjecturer le sens de variati ons de la suite (Tn) ? 2. Montrer que pour tout entier naturel n : Tn+1 = 0, 8Tn + 2. 3. On pose, pour tout entier naturel n : un = Tn − 10. a. Montrer que (un ) est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme u0. b. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : Tn = 70 × 0, 8n + 10. c. Déterminer la limite de la suite …