Sujet du bac 2019 de mathématiques (série S) — Liban (S)

/decofourBaccalauréat S Liban 31 mai 2019 /decofive Durée : 4 heures Exercice 1 5 points Commun à tous les candidats Le plan est muni d’un repère orthogonal (O, I, J). 1. On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; 1] par f (x) = x(1 − ln x)2. a. Déterminer une expression de la fonction dérivée de f et vérifier que pour tout x ∈]0 ; 1], f ′(x) = (ln x + 1)(ln x − 1). b. Étudier les variations de la fonction f et dresser son tableau de variations sur l’intervalle ]0 ; 1] (on admettra que la limite de la fonction f en 0 est nulle). On note Γ la courbe représentative de la fonction g définie sur l’intervalle ]0 ; 1] par g (x) = ln x. Soit a un réel de l’intervalle ]0 ; 1]. On note Ma le point de la courbe Γ d’abscisse a et da la tangente à la courbe Γ au point Ma . Cette droite da coupe l’axe des abscisses au point Na et l’axe des ordonnées au point Pa . On s’intéresse à l’aire du triangle O NaPa quand le réel a varie dans l’intervalle ]0 ; 1]. 2. Dans cette question, on étudie le cas particulier où a = 0,2 et on donne la figure ci-dessous. /Bullet /Bullet /Bullet /Bullet /Bullet I J O Γ d0,2 M0,2 N0,2 P0,2 a. Déterminer graphiquement une estimation de l’aire du triangle ON0,2P0,2 en unités d’aire. b. Déterminer une équation de la tangente d0,2. c. Calculer la valeur exacte de l’aire du triangle O N0,2P0,2 . Dans ce qui suit, on admet que, pour tout réel a de l’intervalle ]0 ; 1], l’aire du triangle ONaPa en unités d’aire est donnée par A (a) = 1 2 a(1 − ln a)2. 3. À l’aide des questions précédentes, déterminer pour quelle valeur de a l’aire A (a) est maxi- male. Déterminer …