Sujet du bac 2019 de mathématiques (série S) — Antilles-Guyane (S)

/decofourBaccalauréat S Antilles-Guyane 18 juin 2019 /decofive EXERCICE 1 6 points COMMUN À TOUS LES CANDIDATS Partie A Soit a et b des nombres réels. On considère une fonction f définie sur [0 ; +∞[ par f (x) = a 1 + e−bx . La courbe C f représentant la fonction f dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous. La courbe C f passe par le point A(0 ; 0,5). La tangente à la courbe C f au point A passe par le point B(10 ; 1). 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 /Bullet B C f 1. Justifier que a = 1. On obtient alors, pour tout réel x /greaterorequalslant0, f (x) = 1 1 + e−bx . 2. On admet que la fonction f est dérivable sur [0 ; +∞[ et on note f ′ sa fonction dérivée. Vérifier que, pour tout réel x /greaterorequalslant0 f ′(x) = be−bx ( 1 + e−bx )2 . 3. En utilisant les données de l’énoncé, déterminer b. Partie B La proportion d’individus qui possèdent un certain type d’é quipement dans une population est mo- délisée par la fonction p définie sur [0 ; +∞[ par p(x) = 1 1 + e−0,2x . Le réel x représente le temps écoulé, en année, depuis le 1 er janvier 2000. Baccalauréat S A. P. M. E. P. Le nombre p(x) modélise la proportion d’individus équipés après x années. Ainsi, pour ce modèle, p(0) est la proportion d’individus équipés au 1 er janvier 2000 et p(3, 5) est la proportion d’individus équipés au milieu de l’année 2003. 1. Quelle est, pour ce modèle, la proportion d’individus équipés au 1er janvier 2010 ? On en don- nera une valeur arrondie au centième. 2. a. Déterminer le sens de variation de …