Sujet du bac 2010 de mathématiques (série STI) — Nouvelle-Calédonie (session de remplacement) (STI génie civil) (STI génie civil)

Durée : 4 heures /decofourBaccalauréat STI Nouvelle-Calédonie novembre 2010/decofive Génie mécanique - Génie énergétique - Génie civil EXERCICE 1 4 points Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O ; − →u , − →v ) . L ’unité graphique est 2 cm. On note i le nombre complexe de module 1 et d’argument π 2 . Pour tout nombre complexe z, on pose : P (z) = z3 + ( 2 /radicallow 3 − 2 ) z2 + ( 4 − 4 /radicallow 3 ) z − 8. 1. Résolution de l’équation P (z) = 0 a. Calculer P (2). b. Déterminer les deux nombres réels α et β tels que, pour tout nombre complexe z : P (z) = (z − 2) ( z2 + αz + β ) . c. Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes l’équation P (z) = 0. 2. On considère les points A, B, C, d’affixes respectives : a = 2, b = − /radicallow 3 + i, c = − /radicallow 3 − i. a. Déterminer le module et un argument des nombres complexes b et c. b. En déduire que les points A, B, et C appartiennent à un cercleC dont on précisera le centre et le rayon. c. Placer les points A, B, C dans le repère ( O ; − →u , − →v ) et tracer le cercle C . d. Démontrer que le triangle OBC est équilatéral. e. En déduire une mesure de l’angle (− − →OB , − − →OC ) . En déduire une mesure de l’angle (− − →AB , − − →AC ) . EXERCICE 2 5 points On dispose d’un échantillon d’os fossile contenant initial ement une masse de 10 grammes de car- bone 14. Le but de l’exercice est d’étudier l’évolution de ce tte masse au fil des siècles, par deux mé- thodes différentes. Partie A …