Sujet du bac 2010 de mathématiques (série S) — Antilles-Guyane (session de remplacement) (S)

A. P. M. E. P. Durée : 4 heures /decofourBaccalauréat S (obligatoire) Polynésie /decofive septembre 2010 EXERCICE 1 3 points Commun à tous les candidats Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle e st vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démont rée ne rapporte aucun point. 1. On considère la suite (tn) définie pour tout entier naturel n par : t0 = 0 et pour tout entier naturel n, tn+1 = tn + 1 (n + 1)(n + 2) . Proposition 1 : Pour tout entier naturel n, tn = n n + 1 . 2. On considère trois suites (un) , (vn) et (wn) définies sur N telles que : pour tout entier naturel n, un ⩽ wn ⩽ vn. Proposition 2 : Si les suites (un)et (vn) sont adjacentes alors la suite (wn) est conver- gente. 3. Soient f et g deux fonctions définies et continues sur l’intervalle [0 ; 1] . Proposition 3 : Si ∫ 1 0 f (x) dx = ∫ 1 0 g (x) dx alors f = g sur l’intervalle [0 ; 1]. EXERCICE 2 5 points Commun à tous les candidats Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ( O, − →u , − →v ) (unité : 1 cm). On fera une figure que l’on complétera au fur et à mesure des que stions. On considère les points A, B, S et Ω d’affixes respectives a = −2 + 4i, b = −4 + 2i, s = −5 + 5i et ω = −2 + 2i. Soit h l’homothétie de centre S et de rapport 3. On appelle C l’image du point A par h et D l’image du point B par h. 1. a. Déterminer l’écriture complexe de h. b. Démontrer que le point C a pour affixe c = 4 + 2i et que le point D a …