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Mouvement : vecteurs position, vitesse et accélération

Vecteurs position, vitesse et accélération d’un point et leurs coordonnées cartésiennes obtenues en dérivant ; mouvements rectilignes uniforme et uniformément accéléré ; mouvement circulaire, uniforme ou non, dans le repère de Frenet ; exploitation d’une vidéo ou d’une chronophotographie et vecteurs accélération tracés en Python.

À propos de cette page

Ce cours de physique-chimie de terminale spécialité décrit un mouvement en cinq parties : vecteur position et vecteur vitesse obtenu en dérivant les équations horaires ; vecteur accélération, dérivée du vecteur vitesse, et sens physique du mot accélération ; mouvements rectilignes uniforme et uniformément accéléré, avec les signes de vₓ et aₓ ; mouvement circulaire dans le repère de Frenet, avec aₜ = dv/dt et aₙ = v²/R ; exploitation d’une vidéo ou d’une chronophotographie et programme Python qui trace les vecteurs accélération.

Vecteur position et vecteur vitesse

Ce qu’il faut savoir

Repère et vecteur position. On étudie un point M (en général le centre de masse du système) dans un référentiel choisi, auquel on attache un repère $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ fixe. La position de M à la date $t$ est donnée par le vecteur position

$\vec{O M} (t) = x (t) \vec{i} + y (t) \vec{j} + z (t) \vec{k}$

Les fonctions $x (t)$ , $y (t)$ et $z (t)$ , en mètres, sont les équations horaires du mouvement. La trajectoire est l’ensemble des positions occupées par M.

Vecteur vitesse. C’est la dérivée du vecteur position par rapport au temps :

$\vec{v} (t) = \frac{d \vec{O M}}{d t}$ , soit $v_{x} = \frac{d x}{d t}$ , $v_{y} = \frac{d y}{d t}$ , $v_{z} = \frac{d z}{d t}$

On dérive chaque coordonnée séparément, car les vecteurs $\vec{i}$ , $\vec{j}$ , $\vec{k}$ ne bougent pas. La valeur de la vitesse est la norme du vecteur : $v = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2}}$ , en m·s⁻¹.

D’où vient cette définition. En première, la vitesse en $M_{i}$ a été estimée par $\frac{\vec{M_{i - 1} M_{i + 1}}}{2 τ}$ , un vecteur déplacement divisé par une durée (Mouvement : vecteur vitesse et variation de vitesse). La dérivée est la limite de ce quotient quand la durée tend vers 0 : c’est le vecteur vitesse instantanée. Il est tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement.

Dérivées utiles ( $a$ , $b$ , $c$ constants) : $(c)^{'} = 0$ ; $(a t + b)^{'} = a$ ; $(a t^{2})^{'} = 2 a t$ ; $(a t^{3})^{'} = 3 a t^{2}$ ; la dérivée d’une somme est la somme des dérivées.

Exemples

Exemple 1 — un mouvement dans le plan. Sur un bassin, une maquette de bateau a pour équations horaires $x (t) = 0, 50 t + 1, 0$ et $y (t) = 0, 060 t^{2}$ ( $x$ , $y$ en mètres, $t$ en secondes). En dérivant : $v_{x} (t) = 0, 50$ m·s⁻¹ et $v_{y} (t) = 0, 12 t$ . À $t = 5, 0$ s : $v_{y} = 0, 12 \times 5, 0 = 0, 60$ m·s⁻¹, et la valeur de la vitesse vaut $v = \sqrt{0, 50^{2} + 0, 60^{2}} = \sqrt{0, 61} \approx 0, 78$ m·s⁻¹. La maquette est alors en $x = 0, 50 \times 5, 0 + 1, 0 = 3, 5$ m et $y = 0, 060 \times 25 = 1, 5$ m.

Positions de la maquette chaque seconde de 0 à 6,0 s ; vecteur position et vecteur vitesse à $t = 5, 0$ s (échelle des vitesses : 1 m du repère pour 0,50 m·s⁻¹).

Le vecteur vitesse est tangent à la courbe : il ne pointe pas vers une position future, il donne la direction du mouvement à cet instant.

Exemple 2 — un mouvement sur un axe. Un ascenseur monte selon $z (t) = - 0, 25 t^{3} + 1, 5 t^{2}$ pour $0 \leq t \leq 4, 0$ s, l’axe $O z$ étant vertical vers le haut. Alors $v_{z} (t) = - 0, 75 t^{2} + 3, 0 t$ . À $t = 2, 0$ s : $v_{z} = - 0, 75 \times 4, 0 + 3, 0 \times 2, 0 = 3, 0$ m·s⁻¹. À $t = 4, 0$ s : $v_{z} = - 0, 75 \times 16 + 3, 0 \times 4, 0 = 0$ : l’ascenseur s’arrête, après être monté de $z (4, 0) = - 0, 25 \times 64 + 1, 5 \times 16 = 8, 0$ m.

Réflexe — je dérive chaque coordonnée de la position, puis je calcule la valeur de la vitesse avec la racine carrée de la somme des carrés.

Attention — une coordonnée comme $v_{y}$ peut être négative, la valeur $v$ jamais. Et la valeur de la vitesse n’est pas la dérivée de la distance $O M$ : dans un manège, $O M$ reste constante alors que le point se déplace.

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Le vecteur accélération

Ce qu’il faut savoir

Définition. Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps, c’est-à-dire la dérivée seconde du vecteur position :

$\vec{a} (t) = \frac{d \vec{v}}{d t} = \frac{d^{2} \vec{O M}}{d t^{2}}$ , soit $a_{x} = \frac{d v_{x}}{d t} = \frac{d^{2} x}{d t^{2}}$ , $a_{y} = \frac{d v_{y}}{d t}$ , $a_{z} = \frac{d v_{z}}{d t}$

Unité : le mètre par seconde au carré, m·s⁻² (des m·s⁻¹ gagnés ou perdus par seconde). Valeur : $a = \sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + a_{z}^{2}}$ .

Établir les coordonnées. Si l’on connaît la position, on dérive deux fois ; si l’on connaît les coordonnées de la vitesse, on dérive une fois. En première, on a étudié la variation $Δ \vec{v}$ du vecteur vitesse entre deux instants proches : la dérivée est la limite du quotient $\frac{Δ \vec{v}}{Δ t}$ quand $Δ t$ tend vers 0.

Ce que mesure l’accélération. Le vecteur accélération dit à quelle vitesse le vecteur vitesse change : en valeur, en direction, ou les deux. Dans la vie courante, « accélérer » veut dire aller plus vite ; en physique, un véhicule qui freine, ou qui tourne à vitesse de valeur constante, a aussi une accélération non nulle. Seul le mouvement rectiligne uniforme a un vecteur accélération nul.

Exemples

Exemple 1 — à partir de la position. Pour l’ascenseur de la partie 1, $v_{z} (t) = - 0, 75 t^{2} + 3, 0 t$ , donc $a_{z} (t) = - 1, 5 t + 3, 0$ . Au départ, $a_{z} (0) = 3, 0$ m·s⁻² : le vecteur accélération est vers le haut, l’ascenseur prend de la vitesse. À $t = 2, 0$ s, $a_{z} = - 1, 5 \times 2, 0 + 3, 0 = 0$ : la vitesse est à son maximum. À $t = 3, 0$ s, $a_{z} = - 1, 5 \times 3, 0 + 3, 0 = - 1, 5$ m·s⁻² : le vecteur accélération est vers le bas alors que l’ascenseur monte encore ( $v_{z} = - 0, 75 \times 9, 0 + 9, 0 = 2, 25$ m·s⁻¹) : il ralentit.

Exemple 2 — à partir de la vitesse. Pour la maquette de bateau, $v_{x} = 0, 50$ et $v_{y} = 0, 12 t$ , donc $a_{x} = 0$ et $a_{y} = 0, 12$ m·s⁻² à toute date. Le vecteur accélération est constant, parallèle à l’axe $O y$ , et pourtant la trajectoire est courbe : un vecteur accélération constant n’impose pas une trajectoire rectiligne.

Réflexe — position → je dérive deux fois ; vitesse → je dérive une fois ; je garde les unités m, m·s⁻¹, m·s⁻².

Attention — $\vec{a} = \vec{0}$ ne veut pas dire que le point est immobile (il peut aller tout droit à vitesse constante), et une vitesse nulle à un instant n’entraîne pas une accélération nulle : l’ascenseur arrêté à $t = 4, 0$ s a encore $a_{z} = - 1, 5 \times 4, 0 + 3, 0 = - 3, 0$ m·s⁻².

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Mouvements rectilignes : uniforme, uniformément accéléré

Ce qu’il faut savoir

Mouvement rectiligne. La trajectoire est une droite ; on choisit l’axe $O x$ le long de cette droite. Alors $\vec{v} = v_{x} \vec{i}$ et $\vec{a} = a_{x} \vec{i}$ : le vecteur accélération est colinéaire à la trajectoire, ou nul.

Coordonnées algébriques. $v_{x}$ et $a_{x}$ sont des nombres avec un signe, qui dépend de l’orientation de l’axe. La règle ne dépend pas de ce choix :

$v_{x}$ et $a_{x}$ de même signe : la valeur de la vitesse augmente ;
$v_{x}$ et $a_{x}$ de signes contraires : la valeur de la vitesse diminue, le mobile freine.

Mouvement rectiligne uniforme. $v_{x}$ est constante, $\vec{a} = \vec{0}$ , et $x (t) = v_{x} t + x_{0}$ .

Mouvement rectiligne uniformément accéléré. Le vecteur accélération est constant, non nul et colinéaire à la trajectoire : $a_{x}$ est une constante. En notant $v_{0 x}$ et $x_{0}$ les valeurs à $t = 0$ :

$v_{x} (t) = a_{x} t + v_{0 x}$ et $x (t) = \frac{1}{2} a_{x} t^{2} + v_{0 x} t + x_{0}$

On le vérifie en dérivant : la dérivée de $\frac{1}{2} a_{x} t^{2} + v_{0 x} t + x_{0}$ est bien $a_{x} t + v_{0 x}$ , et celle de $a_{x} t + v_{0 x}$ est $a_{x}$ . Le graphique de $v_{x} (t)$ est une droite de coefficient directeur $a_{x}$ . Si $a_{x}$ et $v_{x}$ sont de signes contraires, la valeur de la vitesse diminue régulièrement : on dit aussi « uniformément ralenti ».

Exemples

Exemple 1 — un départ arrêté. Au feu vert, une moto démarre en ligne droite avec $a_{x} = 3, 4$ m·s⁻², à partir de $x_{0} = 0$ et $v_{0 x} = 0$ . Alors $v_{x} (t) = 3, 4 t$ et $x (t) = 1, 7 t^{2}$ . Au bout de 5,0 s : $v_{x} = 3, 4 \times 5, 0 = 17$ m·s⁻¹, soit $17 \times 3, 6 = 61, 2$ km·h⁻¹, et $x = 1, 7 \times 25 = 42, 5$ m.

Exemple 2 — un freinage. Un avion touche la piste à 70 m·s⁻¹ et freine avec $a_{x} = - 2, 5$ m·s⁻² (axe orienté dans le sens du roulage). $v_{x} > 0$ et $a_{x} < 0$ : la valeur de la vitesse diminue. $v_{x} (t) = 70 - 2, 5 t$ s’annule pour $t = 70 \div 2, 5 = 28$ s. Distance parcourue : $x (28) = 70 \times 28 - 1, 25 \times 784$ , soit $1 960 - 980 = 980$ m.

Coordonnée $v_{x}$ de la vitesse de l’avion : une droite de coefficient directeur $a_{x} = \frac{- 20}{8, 0} = - 2, 5$ m·s⁻².

Réflexe — je lis les signes de $v_{x}$ et $a_{x}$ avant de conclure « accéléré » ou « ralenti » ; pour un instant d’arrêt, je résous $v_{x} (t) = 0$ , puis je calcule $x$ à cette date.

Attention — « uniformément accéléré » veut dire accélération constante, pas vitesse constante. Et $x (t)$ n’est pas une droite : en 2,5 s, la moto ne parcourt que $1, 7 \times 6, 25 \approx 10, 6$ m, le quart des 42,5 m parcourus en 5,0 s.

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Mouvement circulaire et repère de Frenet

Ce qu’il faut savoir

Repère de Frenet. Pour un point M qui décrit un cercle de centre C et de rayon $R$ , on utilise un repère attaché à M : $\vec{u_{t}}$ , vecteur unitaire tangent à la trajectoire, orienté dans le sens du mouvement ; $\vec{u_{n}}$ , vecteur unitaire normal, dirigé de M vers le centre C. Ce repère se déplace et tourne avec M.

Coordonnées à connaître.

$\vec{v} = v \vec{u_{t}}$ et $\vec{a} = \frac{d v}{d t} \vec{u_{t}} + \frac{v^{2}}{R} \vec{u_{n}}$

La coordonnée tangentielle $a_{t} = \frac{d v}{d t}$ traduit la variation de la valeur de la vitesse ; la coordonnée normale $a_{n} = \frac{v^{2}}{R}$ traduit le changement de direction. Comme $a_{n}$ est toujours positive, le vecteur accélération pointe vers l’intérieur de la trajectoire. Sa valeur : $a = \sqrt{a_{t}^{2} + a_{n}^{2}}$ .

Mouvement circulaire uniforme. La valeur $v$ est constante, donc $a_{t} = 0$ et

$\vec{a} = \frac{v^{2}}{R} \vec{u_{n}}$ , avec $v = \frac{2 π R}{T}$

( $T$ : durée d’un tour, ou période). Le vecteur accélération est dirigé vers le centre (on dit centripète) et sa valeur $\frac{v^{2}}{R}$ est constante ; mais le vecteur lui-même n’est pas constant : sa direction tourne avec M.

Mouvement circulaire non uniforme. $a_{t} \neq 0$ : $a_{t} > 0$ si le point accélère, $a_{t} < 0$ s’il ralentit. Le vecteur accélération n’est alors plus dirigé vers le centre.

Caractériser le vecteur accélération : la synthèse.

Mouvement	Trajectoire	Vecteur accélération
rectiligne	droite	colinéaire à la trajectoire (ou nul)
rectiligne uniforme	droite, $v$ constante	$\vec{a} = \vec{0}$
rectiligne uniformément accéléré	droite	constant, colinéaire à la trajectoire
circulaire	cercle de rayon $R$	$a_{t} = \frac{d v}{d t}$ et $a_{n} = \frac{v^{2}}{R}$ : orienté vers l’intérieur
circulaire uniforme	cercle, $v$ constante	dirigé vers le centre, de valeur $\frac{v^{2}}{R}$

Exemples

Exemple 1 — mouvement circulaire uniforme. Une nacelle de manège tourne régulièrement sur un cercle de rayon 6,0 m et fait un tour en 8,0 s. $v = \frac{2 π \times 6, 0}{8, 0} \approx 4, 71$ m·s⁻¹ et $a = \frac{v^{2}}{R} \approx \frac{4, 71^{2}}{6, 0} \approx 3, 70$ m·s⁻², dirigée vers l’axe du manège.

Exemple 2 — mouvement circulaire ralenti. Un kart aborde un virage circulaire de rayon 25 m ; à un instant, sa vitesse vaut 12 m·s⁻¹ et il freine : $\frac{d v}{d t} = - 3, 0$ m·s⁻². Donc $a_{t} = - 3, 0$ m·s⁻² et $a_{n} = \frac{12^{2}}{25} = \frac{144}{25} = 5, 76$ m·s⁻² ; $a = \sqrt{3, 0^{2} + 5, 76^{2}} \approx 6, 49$ m·s⁻². Le vecteur pointe vers l’intérieur du virage et vers l’arrière.

Repère de Frenet en M et vecteur accélération du kart qui freine dans le virage : $a_{t} = - 3, 0$ m·s⁻² (vers l’arrière) et $a_{n} = 5, 76$ m·s⁻² (vers le centre).

Réflexe — $R$ en mètres et $v$ en m·s⁻¹ avant de calculer $\frac{v^{2}}{R}$ ; pour un tour régulier, $v = \frac{2 π R}{T}$ .

Attention — « vitesse constante » dans un virage ne veut pas dire « accélération nulle » : seule la valeur est constante, la direction change, et $a_{n} = \frac{v^{2}}{R}$ n’est pas nulle.

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Vidéo, chronophotographie et Python

Ce qu’il faut savoir

Le relevé. Sur une vidéo (pointage avec un logiciel) ou une chronophotographie, on relève les coordonnées $(x_{i}; y_{i})$ des positions $M_{i}$ prises toutes les $τ$ , après avoir placé l’origine, les axes et l’échelle.

Vitesse approchée en $M_{i}$ : on encadre la position, avec une durée $2 τ$ :

$v_{x, i} \approx \frac{x_{i + 1} - x_{i - 1}}{2 τ}$ et $v_{y, i} \approx \frac{y_{i + 1} - y_{i - 1}}{2 τ}$

Accélération approchée en $M_{i}$ : même idée, appliquée aux vitesses, qui sont elles aussi séparées de $2 τ$ :

$a_{x, i} \approx \frac{v_{x, i + 1} - v_{x, i - 1}}{2 τ}$ et $a_{y, i} \approx \frac{v_{y, i + 1} - v_{y, i - 1}}{2 τ}$

Il faut donc les positions $M_{i - 2}$ à $M_{i + 2}$ : pas d’accélération aux deux premières ni aux deux dernières positions.

Modéliser puis dériver. Un tableur, un logiciel de pointage ou Python ajuste aux points une fonction, par exemple $x (t) = A t^{2} + B t + C$ . On dérive ce modèle : $v_{x} = 2 A t + B$ et $a_{x} = 2 A$ .

Représenter les vecteurs accélération avec Python. Le programme calcule les vitesses, puis les accélérations, et trace une flèche par position avec plt.quiver :

import matplotlib.pyplot as plt
tau = 0.10                            # durée entre deux images (s)
x = [...]                             # abscisses relevées (m)
y = [...]                             # ordonnées relevées (m)
vx, vy = [], []
for i in range(1, len(x) - 1):        # vx[k] : vitesse en M(k+1)
    vx.append((x[i+1] - x[i-1]) / (2*tau))
    vy.append((y[i+1] - y[i-1]) / (2*tau))
ax, ay = [], []
for k in range(1, len(vx) - 1):       # ax[j] : accélération en M(j+2)
    ax.append((vx[k+1] - vx[k-1]) / (2*tau))
    ay.append((vy[k+1] - vy[k-1]) / (2*tau))
plt.plot(x, y, "o")
plt.quiver(x[2:-2], y[2:-2], ax, ay, color="red",
           angles="xy", scale_units="xy", scale=20)
plt.axis("equal")
plt.show()

Exemples

Exemple 1 — un chariot sur un rail. Un chariot descend un rail incliné ; ses positions sont relevées toutes les $τ = 0, 10$ s :

Position	$M_{0}$	$M_{1}$	$M_{2}$	$M_{3}$	$M_{4}$	$M_{5}$
$t$ (s)	0	0,10	0,20	0,30	0,40	0,50
$x$ (cm)	0	3,4	7,6	12,6	18,4	25,0

$v_{1} \approx \frac{0, 076 - 0}{0, 20} = 0, 38$ m·s⁻¹ et $v_{3} \approx \frac{0, 184 - 0, 076}{0, 20} = 0, 54$ m·s⁻¹, d’où $a_{2} \approx \frac{0, 54 - 0, 38}{0, 20} = 0, 80$ m·s⁻². Le logiciel modélise les points par $x (t) = 0, 40 t^{2} + 0, 30 t$ : $a_{x} = 2 \times 0, 40 = 0, 80$ m·s⁻², constante. Le mouvement est rectiligne uniformément accéléré. Le modèle donne aussi $v_{x} = 0, 80 t + 0, 30$ , soit 0,38 m·s⁻¹ à 0,10 s et 0,54 m·s⁻¹ à 0,30 s : exactement les vitesses estimées. Quand la position varie comme $t^{2}$ , l’estimation sur $2 τ$ donne la vitesse exacte à la date du milieu.

Exemple 2 — ce que trace le programme. Pour un point qui tourne régulièrement, les vecteurs accélération obtenus pointent tous vers le centre et ont la même longueur : c’est la signature du mouvement circulaire uniforme.

Vecteurs accélération tracés par le programme pour un mouvement circulaire uniforme : tous dirigés vers le centre et de même longueur ; aucun aux deux premières et aux deux dernières positions.

Réflexe — pour la vitesse je divise par $2 τ$ , pour l’accélération aussi : les deux vitesses utilisées sont séparées de $2 τ$ .

Attention — diviser par $τ$ au lieu de $2 τ$ donne une accélération deux fois trop grande ; et les distances relevées en centimètres se convertissent en mètres avant le calcul.

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Pour aller plus loin

Chapitre suivant : ce qui produit l’accélération. La deuxième loi de Newton relie le vecteur accélération du centre de masse à la somme des forces, $\sum \vec{F} = m \vec{a}$ , dans un référentiel galiléen. On remonte alors de $\vec{a}$ à $\vec{v}$ puis à $\vec{O M}$ , en cherchant des primitives et en utilisant les conditions initiales : Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme, puis Mouvement dans un champ électrique uniforme.

Mouvement circulaire uniforme des satellites. Un satellite sur une orbite circulaire a une accélération dirigée vers le centre de la Terre, de valeur $\frac{v^{2}}{R}$ ; c’est le point de départ de l’étude des orbites et des lois de Kepler : Satellites et planètes : mouvement circulaire et lois de Kepler.

À retenir

$\vec{v} = \frac{d \vec{O M}}{d t}$ : $v_{x} = \frac{d x}{d t}$ , $v_{y} = \frac{d y}{d t}$ , $v = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}}$ ; le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire, dans le sens du mouvement.
$\vec{a} = \frac{d \vec{v}}{d t}$ : $a_{x} = \frac{d v_{x}}{d t} = \frac{d^{2} x}{d t^{2}}$ , en m·s⁻² ; il est nul seulement pour un mouvement rectiligne uniforme.
Mouvement rectiligne : $\vec{a}$ colinéaire à la trajectoire ; $v_{x}$ et $a_{x}$ de même signe, la vitesse augmente, de signes contraires, elle diminue. Uniformément accéléré : $v_{x} = a_{x} t + v_{0 x}$ et $x = \frac{1}{2} a_{x} t^{2} + v_{0 x} t + x_{0}$ .
Mouvement circulaire, repère de Frenet : $\vec{a} = \frac{d v}{d t} \vec{u_{t}} + \frac{v^{2}}{R} \vec{u_{n}}$ ; uniforme : $\vec{a}$ dirigé vers le centre, de valeur $\frac{v^{2}}{R}$ , avec $v = \frac{2 π R}{T}$ .
Sur un relevé : $v_{x, i} \approx \frac{x_{i + 1} - x_{i - 1}}{2 τ}$ puis $a_{x, i} \approx \frac{v_{x, i + 1} - v_{x, i - 1}}{2 τ}$ ; ou bien on modélise $x (t)$ et on dérive le modèle.

Questions fréquentes

Comment obtenir le vecteur vitesse à partir des équations horaires ?

On dérive chaque coordonnée du vecteur position par rapport au temps : vₓ = dx/dt, v_y = dy/dt, v_z = dz/dt. La valeur de la vitesse est ensuite la racine carrée de la somme des carrés des coordonnées, en m·s⁻¹. Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement.

Qu’est-ce que le vecteur accélération en terminale ?

C’est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps, donc la dérivée seconde du vecteur position : aₓ = dvₓ/dt = d²x/dt². Il s’exprime en m·s⁻². Il est non nul dès que le vecteur vitesse change, en valeur ou en direction : un véhicule qui freine ou qui tourne à vitesse constante a une accélération.

Comment reconnaître un mouvement rectiligne accéléré ou ralenti ?

Le vecteur accélération est colinéaire à la trajectoire. Si vₓ et aₓ ont le même signe, la valeur de la vitesse augmente ; s’ils sont de signes contraires, elle diminue. Pour un mouvement uniformément accéléré, aₓ est constante, vₓ(t) = aₓt + v₀ₓ et x(t) = ½aₓt² + v₀ₓt + x₀.

Que vaut l’accélération dans un mouvement circulaire uniforme ?

Dans le repère de Frenet, a = (dv/dt) uₜ + (v²/R) uₙ. Si la vitesse a une valeur constante, dv/dt = 0 : l’accélération est dirigée vers le centre du cercle et vaut v²/R, avec v = 2πR/T. Elle n’est pas nulle, car la direction du vecteur vitesse change sans cesse.

Comment calculer une accélération sur une chronophotographie ?

On calcule d’abord les vitesses en encadrant chaque position : vₓ,ᵢ ≈ (xᵢ₊₁ − xᵢ₋₁)/(2τ). On recommence avec les vitesses : aₓ,ᵢ ≈ (vₓ,ᵢ₊₁ − vₓ,ᵢ₋₁)/(2τ). En Python, une boucle calcule ces valeurs et plt.quiver trace les vecteurs accélération.

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