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Spe-physique-chimie Terminale

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Mouvement : vecteurs position, vitesse et accélération

Vecteurs position, vitesse et accélération d’un point et leurs coordonnées cartésiennes obtenues en dérivant ; mouvements rectilignes uniforme et uniformément accéléré ; mouvement circulaire, uniforme ou non, dans le repère de Frenet ; exploitation d’une vidéo ou d’une chronophotographie et vecteurs accélération tracés en Python.

À propos de cette page

Un devoir surveillé d’une heure trente noté sur 20, en cinq exercices de 4 points : équations horaires d’un robot d’entrepôt, freinage d’urgence d’un bus sur la neige, centrifugeuse d’entraînement des pilotes, chronophotographie d’un chariot freiné avec une ligne de Python, quatre affirmations à examiner. Sujet et corrigé détaillé avec barème.

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Devoir surveillé · ★★ et ★★★ · Durée 90 min · Noté sur 20

90:00

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Devoir surveillé – Mouvement : vecteurs position, vitesse et accélération

Durée : 90 min – Calculatrice autorisée – Sur 20 points · Spe-physique-chimie Terminale

Nom : Date : Note : / 20

Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.

Exercice 1 – Un robot d’entrepôt ★★★

(4 pts)

Dans un entrepôt, un robot se déplace sur un sol horizontal. Dans un repère $(O; \vec{i}, \vec{j})$ lié au sol, ses équations horaires sont $x (t) = 0, 050 t^{2}$ et $y (t) = 1, 2 t - 0, 10 t^{2}$ pour $0 \leq t \leq 8, 0$ s ( $x$ , $y$ en mètres, $t$ en secondes).

a)Établir les coordonnées du vecteur vitesse, puis celles du vecteur accélération ; montrer que ce dernier est constant et calculer sa valeur.
b)Calculer la valeur de la vitesse à $t = 8, 0$ s.
c)Un élève affirme : « le vecteur accélération est constant, donc le robot se déplace en ligne droite. » Réfuter cette affirmation en comparant la direction du vecteur vitesse à $t = 0$ et à $t = 8, 0$ s.
d)Vérifier que le vecteur vitesse est parallèle à l’axe $O x$ à $t = 6, 0$ s. Un élève en déduit que la vitesse y est minimale. Montrer que $v^{2} = 0, 050 t^{2} - 0, 48 t + 1, 44$ , puis déterminer la date et la valeur de la vitesse minimale ; conclure.

Exercice 2 – Freinage d’urgence d’un bus ★★★

(4 pts)

Un bus roule en ligne droite à 50,4 km·h⁻¹ sur une route enneigée. Le conducteur aperçoit un obstacle situé à 60 m ; pendant son temps de réaction de 1,0 s, la vitesse ne change pas, puis le bus freine ; sur la neige, son accélération est constante : $a_{x} = - 2, 0$ m·s⁻². L’axe $O x$ est orienté dans le sens du mouvement ; on prend $t = 0$ et $x = 0$ au début du freinage.

a)Convertir la vitesse en m·s⁻¹ et calculer la distance parcourue pendant le temps de réaction ; écrire $v_{x} (t)$ et $x (t)$ pendant le freinage et justifier que le mouvement est ralenti.
b)Calculer la durée du freinage, la distance de freinage, puis la distance d’arrêt totale. Le bus s’arrête-t-il avant l’obstacle ?
c)Déterminer la date à laquelle le bus atteint l’obstacle, puis la valeur de sa vitesse à cet instant, en km·h⁻¹.
d)Quelle vitesse maximale, en km·h⁻¹, le bus aurait-il dû respecter pour s’arrêter juste devant l’obstacle (même temps de réaction, même freinage) ? On pourra montrer que la distance de freinage vaut $\frac{v_{0}^{2}}{4, 0}$ ( $v_{0}$ en m·s⁻¹).

Exercice 3 – Une centrifugeuse d’entraînement ★★

(4 pts)

Pour habituer les pilotes de chasse aux fortes accélérations, une centrifugeuse fait tourner une cabine au bout d’un bras : le centre de la cabine décrit un cercle de rayon $R = 8, 0$ m. Donnée : $g = 9, 81$ m·s⁻².

a)Donner l’expression du vecteur accélération dans le repère de Frenet et la simplifier pour une rotation régulière. L’accélération de la cabine vaut alors $6 g$ : calculer sa vitesse.
b)En déduire la durée d’un tour et le nombre de tours par minute.
c)Un élève affirme : « avec un bras deux fois plus court, il faudrait tourner deux fois plus vite pour garder $6 g$ . » Calculer le nombre de tours par minute nécessaire avec $R = 4, 0$ m et conclure.
d)Au démarrage, la valeur de la vitesse augmente avec $\frac{d v}{d t} = 1, 5$ m·s⁻². Calculer la valeur de l’accélération quand $v = 6, 0$ m·s⁻¹ et dire si le vecteur accélération est alors dirigé vers le centre.

Exercice 4 – Chronophotographie d’un chariot freiné ★★

(4 pts)

Un chariot lancé sur un banc rectiligne est freiné par un dispositif magnétique. Ses positions sont relevées toutes les $τ = 0, 10$ s :

Position	$M_{0}$	$M_{1}$	$M_{2}$	$M_{3}$	$M_{4}$	$M_{5}$
$x$ (cm)	0	9,5	18,0	25,5	32,0	37,5

a)Calculer les valeurs approchées des vitesses $v_{1}$ , $v_{2}$ , $v_{3}$ et $v_{4}$ .
b)Calculer $a_{2}$ et $a_{3}$ , puis caractériser le mouvement.
c)Un logiciel modélise les points par $x (t) = - 0, 50 t^{2} + 1, 0 t$ ( $x$ en m, $t$ en s). Montrer que ce modèle est cohérent avec les résultats précédents.
d)Compléter la ligne du programme Python qui calcule les accélérations, ax.append((vx[k+1] - vx[k-1]) / ...), puis déterminer la date à laquelle le chariot s’arrêterait si le freinage se poursuivait ainsi.

Exercice 5 – Quatre affirmations à examiner ★★★

(4 pts)

Pour chaque affirmation, dire si elle est exacte ou fausse, et justifier avec une relation du cours et un exemple chiffré.

a)« Une voiture qui roule à 108 km·h⁻¹ constants a une accélération nulle. »
b)« La valeur de la vitesse d’un point est la dérivée par rapport au temps de sa distance $O M$ à l’origine. »
c)« Un mobile dont la vitesse est nulle à un instant a une accélération nulle à cet instant. »
d)« En ligne droite, un mobile dont la coordonnée $a_{x}$ est négative ralentit forcément. »

Bon courage !

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Corrigé et barème – Mouvement : vecteurs position, vitesse et accélération

Durée : 90 min – Calculatrice autorisée – Sur 20 points · Spe-physique-chimie Terminale

Exercice 1 – Un robot d’entrepôt ★★★

(4 pts)

a) $v_{x} (t) = 0, 10 t$ et $v_{y} (t) = 1, 2 - 0, 20 t$ (0,5 pt) ; $a_{x} = 0, 10$ m·s⁻² et $a_{y} = - 0, 20$ m·s⁻² ne dépendent pas de $t$ : le vecteur est constant, $a = \sqrt{0, 10^{2} + 0, 20^{2}} = \sqrt{0, 050} \approx$ 0,22 m·s⁻² (0,5 pt). (1)
b) $v_{x} = 0, 80$ m·s⁻¹ et $v_{y} = 1, 2 - 1, 6 = - 0, 40$ m·s⁻¹ : coordonnée négative, le robot revient vers l’axe $O x$ (0,5 pt) ; $v = \sqrt{0, 80^{2} + (- 0, 40)^{2}} = \sqrt{0, 80} \approx$ 0,89 m·s⁻¹, positive (0,5 pt). (1)
c)À $t = 0$ , $\vec{v}$ a pour coordonnées $(0; 1, 2)$ : il est parallèle à $O y$ ; à 8,0 s, $(0, 80; - 0, 40)$ : il ne l’est plus (0,5 pt). Le vecteur vitesse, tangent à la trajectoire, a changé de direction : la trajectoire est courbe. Un vecteur accélération constant ne donne une droite que s’il est colinéaire à la vitesse initiale, ce qui n’est pas le cas ici (0,5 pt). (1)
d) $v_{y} (6, 0) = 0$ et $v = v_{x} = 0, 60$ m·s⁻¹ ; $v^{2} = (0, 10 t)^{2} + (1, 2 - 0, 20 t)^{2} = 0, 050 t^{2} - 0, 48 t + 1, 44$ (0,5 pt). Sa dérivée $0, 10 t - 0, 48$ s’annule à $t = 4, 8$ s : $v^{2} = 0, 288$ et $v \approx$ 0,54 m·s⁻¹, moins que 0,60 : l’élève a tort. À 4,8 s, $a_{x} v_{x} + a_{y} v_{y} = 0, 10 \times 0, 48 - 0, 20 \times 0, 24 = 0$ : $\vec{a}$ est perpendiculaire à $\vec{v}$ (0,5 pt). (1)

Le point clé — Une coordonnée négative se met au carré ; un vecteur accélération constant n’oblige pas la trajectoire à être droite ; la vitesse est minimale quand $\vec{a}$ est perpendiculaire à $\vec{v}$ .

Exercice 2 – Freinage d’urgence d’un bus ★★★

(4 pts)

a) $50, 4 \div 3, 6 =$ 14 m·s⁻¹ et $14 \times 1, 0 =$ 14 m pendant la réaction (0,5 pt) ; $v_{x} (t) = - 2, 0 t + 14$ et $x (t) = - 1, 0 t^{2} + 14 t$ ; $v_{x} > 0$ et $a_{x} < 0$ : signes contraires, la valeur de la vitesse diminue (0,5 pt). (1)
b) $v_{x} = 0$ pour $t = 14 \div 2, 0 =$ 7,0 s ; $x (7, 0) = - 49 + 98 =$ 49 m (0,5 pt) ; distance d’arrêt $14 + 49 =$ 63 m, plus que 60 m : le bus ne s’arrête pas à temps (0,5 pt). (1)
c)L’obstacle est à $60 - 14 = 46$ m du début du freinage : $- t^{2} + 14 t = 46$ , soit $t^{2} - 14 t + 46 = 0$ , $Δ = 12$ , $t = 7, 0 \pm \sqrt{3}$ . La racine 8,73 s dépasse 7,0 s (le bus serait déjà arrêté) : $t \approx 5, 27$ s (0,5 pt) ; $v_{x} = 14 - 2, 0 \times 5, 27 \approx 3, 46$ m·s⁻¹, soit 12,5 km·h⁻¹ (0,5 pt). (1)
d)Le freinage dure $\frac{v_{0}}{2, 0}$ et $x = - {(\frac{v_{0}}{2, 0})}^{2} + v_{0} \times \frac{v_{0}}{2, 0} = \frac{v_{0}^{2}}{4, 0}$ (0,5 pt) ; $v_{0} \times 1, 0 + \frac{v_{0}^{2}}{4, 0} = 60$ , soit $v_{0}^{2} + 4, 0 v_{0} - 240 = 0$ : racine positive $v_{0} = \frac{- 4, 0 + \sqrt{976}}{2} \approx 13, 6$ m·s⁻¹, soit 49,0 km·h⁻¹ : 1,4 km·h⁻¹ de moins suffisait (0,5 pt). (1)

Le point clé — Signes contraires de vₓ et aₓ : le mobile ralentit ; une équation du second degré a deux racines, on garde celle qui a un sens physique.

Exercice 3 – Une centrifugeuse d’entraînement ★★

(4 pts)

a) $\vec{a} = \frac{d v}{d t} \vec{u_{t}} + \frac{v^{2}}{R} \vec{u_{n}}$ ; rotation régulière : $\vec{a} = \frac{v^{2}}{R} \vec{u_{n}}$ , vers le centre (0,5 pt) ; $a = 6 \times 9, 81 = 58, 86$ m·s⁻², $v = \sqrt{a R} = \sqrt{58, 86 \times 8, 0} \approx$ 21,7 m·s⁻¹ (0,5 pt). (1)
b) $T = \frac{2 π R}{v} \approx \frac{2 π \times 8, 0}{21, 7} \approx$ 2,32 s (0,5 pt) ; $60 \div 2, 32 \approx$ 25,9 tours par minute (0,5 pt). (1)
c) $a = \frac{v^{2}}{R} = \frac{4 π^{2} R}{T^{2}}$ , donc $T = 2 π \sqrt{\frac{R}{a}} = 2 π \sqrt{\frac{4, 0}{58, 86}} \approx 1, 64$ s, soit 36,6 tours par minute (0,5 pt). C’est $\sqrt{2} \approx 1, 41$ fois plus, pas 2 fois : l’élève a tort ; à 51,8 tours par minute avec $R = 4, 0$ m, l’accélération atteindrait $12 g$ (0,5 pt). (1)
d) $a_{t} = 1, 5$ m·s⁻², $a_{n} = \frac{6, 0^{2}}{8, 0} = 4, 5$ m·s⁻², $a = \sqrt{1, 5^{2} + 4, 5^{2}} = \sqrt{22, 5} \approx$ 4,74 m·s⁻² (0,5 pt) ; $a_{t} \neq 0$ : le vecteur n’est pas dirigé vers le centre, il penche vers l’avant (0,5 pt). (1)

Le point clé — En virage, aₙ = v²/R existe même à vitesse constante ; à période fixée, a = 4π²R/T² : proportionnelle à R, pas à R².

Exercice 4 – Chronophotographie d’un chariot freiné ★★

(4 pts)

a)Sur $2 τ = 0, 20$ s : $v_{1} = \frac{0, 180}{0, 20} = 0, 90$ m·s⁻¹ et $v_{2} = \frac{0, 255 - 0, 095}{0, 20} = 0, 80$ m·s⁻¹ (0,5 pt) ; $v_{3} = \frac{0, 320 - 0, 180}{0, 20} = 0, 70$ m·s⁻¹ et $v_{4} = \frac{0, 375 - 0, 255}{0, 20} = 0, 60$ m·s⁻¹ (0,5 pt). (1)
b) $a_{2} = \frac{0, 70 - 0, 90}{0, 20} = - 1, 0$ m·s⁻² et $a_{3} = \frac{0, 60 - 0, 80}{0, 20} = - 1, 0$ m·s⁻² (0,5 pt) ; accélération constante, colinéaire à la trajectoire et de signe contraire à $v_{x}$ : mouvement rectiligne uniformément accéléré, la vitesse diminuant (0,5 pt). (1)
c) $v_{x} (t) = - 1, 0 t + 1, 0$ , donc $v_{x} (0, 10) = 0, 90$ m·s⁻¹, comme $v_{1}$ (0,5 pt) ; $a_{x} = - 1, 0$ m·s⁻², comme $a_{2}$ et $a_{3}$ (0,5 pt). (1)
d)/ (2*tau) : les deux vitesses sont séparées de $2 τ$ (0,5 pt) ; $v_{x} = 0$ pour $t = 1, 0$ s (0,5 pt). (1)

Le point clé — Vitesses sur 2τ, puis accélérations sur 2τ : on perd deux positions à chaque bout du relevé.

Exercice 5 – Quatre affirmations à examiner ★★★

(4 pts)

a)Fausse en général (0,5 pt) : dans un virage de rayon 360 m, $v = 108 \div 3, 6 = 30$ m·s⁻¹ et $a = \frac{v^{2}}{R} = \frac{900}{360} = 2, 5$ m·s⁻² ; elle n’est exacte qu’en ligne droite (0,5 pt). (1)
b)Fausse (0,5 pt) : un point d’une roue de rayon 0,30 m qui tourne régulièrement à 1,5 m·s⁻¹ autour de son axe O reste à $O M = 0, 30$ m ; la dérivée de $O M$ est nulle, alors que $v = 1, 5$ m·s⁻¹. La valeur de la vitesse est la norme de la dérivée du vecteur $\vec{O M}$ : $v = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}}$ (0,5 pt). (1)
c)Fausse (0,5 pt) : avec $x (t) = 2, 0 t^{2} - 8, 0 t$ , $v_{x} = 4, 0 t - 8, 0$ s’annule à $t = 2, 0$ s, mais $a_{x} = 4, 0$ m·s⁻² à toute date : le mobile s’arrête un instant puis repart en sens inverse (0,5 pt). (1)
d)Fausse (0,5 pt) : tout dépend du signe de $v_{x}$ . Avec $v_{x} = - 4, 0$ m·s⁻¹ et $a_{x} = - 1, 0$ m·s⁻², les signes sont les mêmes : la vitesse augmente (0,5 pt). (1)

Le point clé — Accélération nulle seulement si le vecteur vitesse ne change ni de valeur ni de direction ; un arrêt d’un instant ne l’annule pas.

Ce contrôle de spe-physique-chimie Terminale en bref

Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Mouvement : vecteurs position, vitesse et accélération » : 5 exercices, 90 minutes, noté sur 20. Le sujet et le corrigé sont téléchargeables en PDF, prêts à imprimer, pour travailler comme en classe.

Exercice 1 — Un robot d’entrepôt ★★★/ 4 pts
Exercice 2 — Freinage d’urgence d’un bus ★★★/ 4 pts
Exercice 3 — Une centrifugeuse d’entraînement ★★/ 4 pts
Exercice 4 — Chronophotographie d’un chariot freiné ★★/ 4 pts
Exercice 5 — Quatre affirmations à examiner ★★★/ 4 pts

Pour préparer ce contrôle

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Questions fréquentes sur ce sujet

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