Mouvement : vecteurs position, vitesse et accélération

Sur un banc à coussin d’air incliné, un mobile se déplace le long de l’axe $Ox$ selon $x(t)=0,40t^2-1,2t+1,0$ ($x$ en mètres, $t$ en secondes).

1. $v_x(t)=$ $\times t-1,2$
   La dérivée de $0,40t^2$ est $2\times 0,40t=0,80t$, celle de $-1,2t$ est $-1,2$, celle de 1,0 est nulle : $v_x(t)=$ 0,80 $t-1,2$.
2. Valeur de la vitesse à $t=0,75$ s : m·s⁻¹
   $v_x(0,75)=0,80\times 0,75-1,2=-0,60$ m·s⁻¹ : la coordonnée est négative, le mobile va dans le sens opposé à l’axe. La valeur de la vitesse, elle, n’est jamais négative : $v=|v_x|=$ 0,60 m·s⁻¹.
3. Entre $t=0$ et l’arrêt, $a_x$ est positive : la valeur de la vitesse
   $a_x=0,80$ m·s⁻² est positive, mais $v_x<0$ avant l’arrêt ($v_x(0)=-1,2$ m·s⁻¹) : signes contraires, la valeur de la vitesse diminue jusqu’à l’arrêt. Une accélération positive ne veut pas dire « va plus vite » : on compare toujours les signes de $v_x$ et de $a_x$.
4. Date à laquelle le mobile s’arrête un instant : s
   $0,80t-1,2=0$ donne $t=1,2÷0,80=$ 1,5 s.
5. Position à cette date : $x=$ m
   $x(1,5)=0,40\times 2,25-1,2\times 1,5+1,0=0,90-1,8+1,0=$ 0,10 m ; ensuite $v_x>0$ : le mobile repart dans le sens de l’axe.

Poussée par le vent, une montgolfière s’élève. Dans un repère lié au sol, $Ox$ horizontal dans le sens du vent et $Oz$ vertical vers le haut, ses équations horaires sont $x(t)=3,0t$ et $z(t)=0,020t^2+0,40t$ ($x$, $z$ en mètres, $t$ en secondes).

1. $v_z(t)=0,040t+$
   On dérive $z(t)$ : $v_z(t)=0,040t+$ 0,40 ; et $v_x=3,0$ m·s⁻¹, constante.
2. Valeur de la vitesse à $t=10$ s : m·s⁻¹
   $v_z(10)=0,040\times 10+0,40=0,80$ m·s⁻¹ et $v_x=3,0$ m·s⁻¹ ; $v=\sqrt{3,0^2+0,{80}^2}=\sqrt{9,64}\approx$ 3,10 m·s⁻¹.
3. Angle entre le vecteur vitesse et l’horizontale à $t=10$ s : °
   Le vecteur vitesse a pour coordonnées $(3,0;0,80)$ : $\tan \alpha ={\displaystyle \frac{0,80}{3,0}}$, d’où $\alpha \approx$ 14,9°.
4. Date à laquelle le vecteur vitesse fait un angle de 45° avec l’horizontale : s
   À 45°, $\tan \alpha ={\displaystyle \frac{v_z}{v_x}}=1$, donc $v_z=v_x=3,0$ m·s⁻¹ : $0,040t+0,40=3,0$ donne $t={\displaystyle \frac{2,6}{0,040}}=$ 65 s.
5. Le vecteur accélération de la montgolfière est constant. Pourtant, au départ, le vecteur vitesse fait avec l’horizontale un angle de °
   $a_x={\displaystyle \frac{d{v}_x}{dt}}=0$ et $a_z={\displaystyle \frac{d{v}_z}{dt}}=0,040$ m·s⁻², constantes. À $t=0$, $\tan \alpha ={\displaystyle \frac{0,40}{3,0}}$, d’où $\alpha \approx$ 7,6°, puis 14,9° à 10 s et 45° à 65 s : le vecteur vitesse tourne, la trajectoire est courbe. Une accélération constante ne donne une droite que si elle est colinéaire à la vitesse.

Un point M du bord d’un plateau tournant a pour coordonnées $x(t)=0,50\cos (4,0t)$ et $y(t)=0,50\sin (4,0t)$ ($x$, $y$ en mètres, $t$ en secondes, angles en radians). On admet que la dérivée de $\cos (4,0t)$ est $-4,0\sin (4,0t)$ et que celle de $\sin (4,0t)$ est $4,0\cos (4,0t)$.

1. Distance $OM$, à toute date : m
   $O{M}^2=x^2+y^2=0,25({\cos }^2+{\sin }^2)=0,25$, donc $OM=$ 0,50 m : la trajectoire est un cercle de centre O.
2. $v_y$ à $t=0$ : m·s⁻¹
   $v_x=-2,0\sin (4,0t)$ et $v_y=2,0\cos (4,0t)$ ; à $t=0$ : $v_x=0$ et $v_y=$ 2,0 m·s⁻¹.
3. Valeur de la vitesse, à toute date : m·s⁻¹
   $v=\sqrt{4,0{\sin }^2(4,0t)+4,0{\cos }^2(4,0t)}=\sqrt{4,0}=$ 2,0 m·s⁻¹ : le mouvement est circulaire uniforme.
4. Dérivée par rapport au temps de la distance $OM$ : m·s⁻¹
   $OM=0,50$ m à toute date : sa dérivée est 0, alors que le point se déplace à 2,0 m·s⁻¹. La valeur de la vitesse n’est pas la dérivée de la distance $OM$ : c’est la norme de la dérivée du vecteur $\overrightarrow{OM}$.
5. Produit scalaire $\overrightarrow{OM}·\overrightarrow{v}$, à toute date :
   $x{v}_x+y{v}_y=-1,0\cos \sin +1,0\sin \cos =$ 0 : le vecteur vitesse est perpendiculaire au rayon, donc tangent au cercle.
6. En dérivant $v_x$ et $v_y$ : $\overrightarrow{a}=$ $\times \overrightarrow{OM}$
   $a_x=-2,0\times 4,0\cos (4,0t)=-8,0\cos (4,0t)=-16x$ et $a_y=-8,0\sin (4,0t)=-16y$ : $\overrightarrow{a}=$ −16 $\overrightarrow{OM}$. Le vecteur accélération est opposé au vecteur position : dirigé de M vers le centre O, de valeur $16\times 0,50=8,0$ m·s⁻², égale à ${\displaystyle \frac{v^2}{R}}={\displaystyle \frac{2,0^2}{0,50}}$.

Pendant la phase de propulsion, une fusée de modélisme monte verticalement selon $z(t)=15t^2$ pour $0\le t\le 1,2$ s (axe $Oz$ vertical vers le haut, $z$ en mètres, $t$ en secondes).

1. $v_z(t)=$ $\times t$
   $v_z={\displaystyle \frac{dz}{dt}}=2\times 15t=$ 30 $t$.
2. $a_z=$ m·s⁻²
   $a_z={\displaystyle \frac{d{v}_z}{dt}}=$ 30 m·s⁻², constante pendant la propulsion.
3. Vitesse à la fin de la propulsion : m·s⁻¹
   $v_z(1,2)=30\times 1,2=$ 36 m·s⁻¹.
4. Altitude à la fin de la propulsion : m
   $z(1,2)=15\times 1,44=$ 21,6 m.
5. Un élève calcule ${\displaystyle \frac{z(1,2)}{1,2}}$ pour obtenir la vitesse à la fin de la propulsion. Il trouve m·s⁻¹
   ${\displaystyle \frac{21,6}{1,2}}=$ 18 m·s⁻¹ : c’est la vitesse moyenne pendant la propulsion, la moitié des 36 m·s⁻¹ atteints à la fin. La vitesse à une date se lit sur la dérivée $v_z(t)$, pas sur le quotient position ÷ durée.

Un aéroglisseur de modélisme glisse sur un lac. Dans un repère horizontal lié à la rive, les coordonnées de sa vitesse sont $v_x(t)=0,60t$ et $v_y(t)=3,0-0,30t^2$ (en m·s⁻¹, $t$ en secondes).

1. $a_x=$ m·s⁻²
   $a_x={\displaystyle \frac{d{v}_x}{dt}}=$ 0,60 m·s⁻².
2. $a_y$ à $t=2,0$ s : m·s⁻²
   $a_y=-0,60t$, soit $-0,60\times 2,0=$ −1,2 m·s⁻².
3. Valeur de l’accélération à $t=2,0$ s : m·s⁻²
   $a=\sqrt{0,{60}^2+1,2^2}=\sqrt{1,80}\approx$ 1,34 m·s⁻².
4. Date à laquelle $v_y$ s’annule : s
   $0,30t^2=3,0$ donne $t^2=10$, soit $t\approx$ 3,16 s : à cet instant, le vecteur vitesse est parallèle à $Ox$, mais l’accélération, elle, n’est pas nulle.

Dans un atelier, le chariot d’un pont roulant se déplace sur un rail droit selon $x(t)=2,0t^3-9,0t^2+12t$ ($x$ en mètres, $t$ en secondes).

1. $v_x(t)=6,0t^2-18t+$
   On dérive terme à terme : $v_x(t)=6,0t^2-18t+$ 12.
2. Le chariot s’arrête un instant à $t=1,0$ s et à $t=$ s
   $v_x(t)=6,0(t-1,0)(t-2,0)$ s’annule à 1,0 s et à 2,0 s.
3. $a_x$ à $t=1,0$ s : m·s⁻²
   $a_x(t)=12t-18$, donc $a_x(1,0)=12-18=$ −6,0 m·s⁻² : le chariot est arrêté, mais son accélération n’est pas nulle.
4. Date à laquelle $a_x$ s’annule : s
   $12t-18=0$ donne $t=$ 1,5 s.
5. À cette date, $v_x$ atteint sa valeur la plus basse : m·s⁻¹
   $a_x$ est la dérivée de $v_x$ : elle s’annule là où $v_x$ est minimale. $v_x(1,5)=13,5-27+12=$ −1,5 m·s⁻¹.
6. Distance réellement parcourue par le chariot entre $t=0$ et $t=2,5$ s : m
   $x(0)=0$, $x(1,0)=2,0-9,0+12=5,0$ m, $x(2,0)=16-36+24=4,0$ m et $x(2,5)=31,25-56,25+30=5,0$ m. Le chariot avance de 5,0 m, recule de 1,0 m, puis avance de nouveau de 1,0 m : il parcourt $5,0+1,0+1,0=$ 7,0 m, alors que $x(2,5)-x(0)$ ne vaut que 5,0 m. Quand $v_x$ change de signe, on découpe le trajet aux dates d’arrêt.

Deux mobiles se déplacent chacun sur un axe. Leurs équations horaires ($x$ en mètres, $t$ en secondes) sont : mobile A, $x_A(t)=5,0t+2,0$ ; mobile B, $x_B(t)=-0,80t^2+6,0t$.

1. Accélération de A : $a_x=$ m·s⁻²
   $v_x=5,0$ m·s⁻¹, constante, donc $a_x=$ 0.
2. Le mouvement de A est rectiligne
   Vitesse constante et trajectoire droite : mouvement rectiligne uniforme.
3. Accélération de B : $a_x=$ m·s⁻²
   $v_x=-1,6t+6,0$, donc $a_x=$ −1,6 m·s⁻², constante : mouvement rectiligne uniformément accéléré.
4. Au départ, $v_x=6,0$ m·s⁻¹ pour B : la valeur de sa vitesse
   $v_x>0$ et $a_x<0$ : signes contraires, la valeur de la vitesse diminue.
5. B s’arrête à $t=$ s
   $-1,6t+6,0=0$ donne $t=6,0÷1,6=$ 3,75 s.
6. À $t=5,0$ s, la valeur de la vitesse de B
   $v_x(5,0)=-1,6\times 5,0+6,0=-2,0$ m·s⁻¹ : après l’arrêt, B repart en sens inverse. $v_x<0$ et $a_x<0$ : même signe, la valeur de la vitesse augmente, alors que $a_x$ est négative.

Une voiture électrique passe de l’arrêt à 100 km·h⁻¹ en 4,0 s, en ligne droite. On suppose son accélération constante.

1. 100 km·h⁻¹ = m·s⁻¹
   $100÷3,6\approx$ 27,8 m·s⁻¹.
2. $a_x=$ m·s⁻²
   $v_x=a_{x}t$ avec $v_{0x}=0$ : $a_x={\displaystyle \frac{27,8}{4,0}}\approx$ 6,94 m·s⁻².
3. Distance parcourue pendant ces 4,0 s : m
   $x={\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_x{t}^2\approx 0,5\times 6,94\times 16\approx$ 55,6 m.
4. Durée pour parcourir la moitié de cette distance : s
   ${\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_x{t}^2=27,8$ m : $t^2={\displaystyle \frac{2\times 27,8}{6,94}}\approx 8,0$, soit $t\approx$ 2,83 s, et non 2,0 s : la distance varie comme $t^2$. À 2,0 s, la voiture n’a parcouru que $3,47\times 2,0^2\approx 13,9$ m, le quart de la distance.

Une rame de tramway roulant à 54 km·h⁻¹ freine avec une accélération constante et s’arrête en 75 m. L’axe $Ox$ est orienté dans le sens du mouvement, avec $x_0=0$ au début du freinage ; on note $t_a$ la durée du freinage.

1. Vitesse initiale : $v_{0x}=$ m·s⁻¹
   $54÷3,6=$ 15 m·s⁻¹.
2. Durée du freinage $t_a$ : s
   $v_x(t_a)=0$ donne $a_x{t}_a=-15$. Alors $x(t_a)={\displaystyle \frac{1}{2}}(a_x{t}_a)t_a+15t_a=-7,5t_a+15t_a=7,5t_a=75$, d’où $t_a=$ 10 s.
3. $a_x=$ m·s⁻²
   $a_x={\displaystyle \frac{-15}{10}}=$ −1,5 m·s⁻², de signe contraire à $v_x$ : la rame ralentit.
4. Position où la vitesse est réduite de moitié : m
   $v_x=7,5$ m·s⁻¹ à $t=5,0$ s ; $x(5,0)=15\times 5,0-0,75\times 25=75-18,75=$ 56,25 m : la moitié de la vitesse est perdue sur les trois quarts de la distance.

Le disque d’un disque dur tourne régulièrement à 7 200 tours par minute. On étudie un point du disque situé à 4,0 cm de l’axe.

1. Durée d’un tour : ms
   $T={\displaystyle \frac{60}{7200}}\approx 8,33\times {10}^{-3}$ s, soit 8,33 ms.
2. Valeur de la vitesse du point : m·s⁻¹
   $v={\displaystyle \frac{2\pi R}{T}}=2\pi \times 0,040\times 120\approx$ 30,2 m·s⁻¹ (120 tours par seconde).
3. Valeur de l’accélération : × 10⁴ m·s⁻²
   $a={\displaystyle \frac{v^2}{R}}\approx {\displaystyle \frac{30,2^2}{0,040}}\approx$ 2,27 × 10⁴ m·s⁻², vers le centre : mouvement circulaire uniforme.
4. Valeur de l’accélération d’un point du même disque situé à 2,0 cm de l’axe : × 10⁴ m·s⁻²
   La durée d’un tour est la même pour tous les points du disque, mais la vitesse est deux fois plus faible : $v=2\pi \times 0,020\times 120\approx 15,1$ m·s⁻¹ et $a={\displaystyle \frac{v^2}{R}}\approx {\displaystyle \frac{15,1^2}{0,020}}\approx$ 1,14 × 10⁴ m·s⁻². Deux fois moins, et non quatre fois moins : $R$ est aussi divisé par 2 ($a={\displaystyle \frac{4{\pi }^{2}R}{T^2}}$ est proportionnelle à $R$). Dans les deux cas, le vecteur accélération est dirigé vers l’axe.

Une voiture parcourt un rond-point circulaire de rayon 20 m à la vitesse de valeur constante 36 km·h⁻¹.

1. Vitesse : m·s⁻¹
   $36÷3,6=$ 10 m·s⁻¹.
2. $a_t=$ m·s⁻²
   La valeur de la vitesse est constante : $a_t={\displaystyle \frac{dv}{dt}}=$ 0.
3. $a_n=$ m·s⁻²
   $a_n={\displaystyle \frac{v^2}{R}}={\displaystyle \frac{100}{20}}=$ 5,0 m·s⁻² : l’accélération n’est pas nulle.
4. Vitesse maximale pour que $a_n$ ne dépasse pas 3,2 m·s⁻² : km·h⁻¹
   $v^2=3,2\times 20=64$, soit $v=8,0$ m·s⁻¹ et $8,0\times 3,6=$ 28,8 km·h⁻¹.

Au démarrage d’un rotor d’hélicoptère, l’extrémité d’une pale décrit un cercle de rayon 5,0 m ; la valeur de sa vitesse augmente selon $v(t)=4,0t$ ($v$ en m·s⁻¹, $t$ en secondes).

1. $a_t=$ m·s⁻²
   $a_t={\displaystyle \frac{dv}{dt}}=$ 4,0 m·s⁻², constante.
2. À $t=2,5$ s, $a_n=$ m·s⁻²
   $v=4,0\times 2,5=10$ m·s⁻¹ et $a_n={\displaystyle \frac{{10}^2}{5,0}}=$ 20 m·s⁻².
3. À $t=2,5$ s, valeur de l’accélération : m·s⁻²
   $a=\sqrt{4,0^2+{20}^2}=\sqrt{416}\approx$ 20,4 m·s⁻².
4. Angle entre $\overrightarrow{a}$ et $\overrightarrow{u_n}$ à cette date : °
   $\tan \beta ={\displaystyle \frac{a_t}{a_n}}={\displaystyle \frac{4,0}{20}}$, d’où $\beta \approx$ 11,3° : l’accélération penche vers l’avant, puisque la pale accélère.
5. Date à laquelle $a_t$ et $a_n$ sont égales : s
   ${\displaystyle \frac{(4,0t{)}^2}{5,0}}=4,0$ donne $t^2=1,25$, soit $t\approx$ 1,12 s. Avant, l’accélération est surtout tangentielle ; après, surtout normale.

Un wagonnet de jouet descend une pente rectiligne ; ses positions sont relevées toutes les $\tau =50$ ms.

1. Les distances entre positions successives augmentent de cm à chaque intervalle
   Elles valent 3,0 ; 4,0 ; 5,0 ; 6,0 cm : elles augmentent de 1,0 cm à chaque fois, signe d’une accélération constante.
2. $v_1\approx$ m·s⁻¹
   $v_1\approx {\displaystyle \frac{0,070-0}{0,10}}=$ 0,70 m·s⁻¹.
3. $v_3\approx$ m·s⁻¹
   $v_3\approx {\displaystyle \frac{0,180-0,070}{0,10}}=$ 1,10 m·s⁻¹.
4. $a_2\approx$ m·s⁻²
   $a_2\approx {\displaystyle \frac{1,10-0,70}{0,10}}=$ 4,0 m·s⁻².

Un élève a pointé 10 positions $M_0$ à $M_9$, prises toutes les $\tau =0,040$ s, et utilise le programme Python du cours (listes x, y, vx, vy, ax, ay).

1. Nombre de valeurs dans la liste vx :
   Une vitesse pour chaque position qui a deux voisines : $M_1$ à $M_8$, soit 8 valeurs.
2. Nombre de vecteurs accélération tracés :
   Il faut deux vitesses voisines : $M_2$ à $M_7$, soit 6 vecteurs.
3. Première position où une accélération est tracée : $M$
   La première accélération utilise les vitesses en $M_1$ et $M_3$ : elle est tracée en $M_{\mathbf{\text{2}}}$.
4. Dans (x[i+1] - x[i-1]) / (2*tau), la durée 2*tau vaut s
   $2\times 0,040=$ 0,080 s : la durée qui sépare $M_{i-1}$ de $M_{i+1}$.
5. Avec / tau au lieu de / (2*tau) dans les deux boucles, les accélérations sont multipliées par
   Les vitesses sont deux fois trop grandes, puis leurs différences sont encore divisées par une durée deux fois trop petite : facteur $2\times 2=$ 4.

Une chronophotographie montre un point qui tourne régulièrement sur un cercle de rayon $R=0,20$ m. Deux positions successives, prises toutes les $\tau =0,10$ s, sont séparées par un angle de 30° vu du centre.

1. Durée d’un tour : s
   $360÷30=12$ intervalles par tour : $T=12\times 0,10=$ 1,2 s.
2. Longueur de la corde $M_{i-1}{M}_{i+1}$ : m
   Vu du centre, l’angle vaut 60° : le triangle formé par le centre, $M_{i-1}$ et $M_{i+1}$ est équilatéral, la corde vaut $R=$ 0,20 m.
3. Vitesse estimée ${\displaystyle \frac{M_{i-1}{M}_{i+1}}{2\tau }}$ : m·s⁻¹
   ${\displaystyle \frac{0,20}{0,20}}=$ 1,0 m·s⁻¹.
4. Les vitesses estimées en $M_{i-1}$ et $M_{i+1}$ ont cette valeur et font entre elles un angle de 60° : $\Vert \Delta \overrightarrow{v}\Vert =$ m·s⁻¹
   Les deux vecteurs et leur différence forment un triangle équilatéral : $\Vert \Delta \overrightarrow{v}\Vert =$ 1,0 m·s⁻¹.
5. Accélération estimée ${\displaystyle \frac{\Vert \Delta \overrightarrow{v}\Vert }{2\tau }}$ : m·s⁻²
   ${\displaystyle \frac{1,0}{0,20}}=$ 5,0 m·s⁻², dirigée vers le centre.
6. Accélération exacte ${\displaystyle \frac{v^2}{R}}$, avec $v={\displaystyle \frac{2\pi R}{T}}$ : m·s⁻²
   $v={\displaystyle \frac{2\pi \times 0,20}{1,2}}\approx 1,047$ m·s⁻¹ et $a={\displaystyle \frac{v^2}{R}}\approx$ 5,48 m·s⁻². L’estimation est trop faible d’environ 9 % : un angle de 30° entre deux images est trop grand pour une bonne précision.