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Mouvement : vecteurs position, vitesse et accélération

Vecteurs position, vitesse et accélération d’un point et leurs coordonnées cartésiennes obtenues en dérivant ; mouvements rectilignes uniforme et uniformément accéléré ; mouvement circulaire, uniforme ou non, dans le repère de Frenet ; exploitation d’une vidéo ou d’une chronophotographie et vecteurs accélération tracés en Python.

À propos de cette page

Cinq problèmes corrigés pas à pas : le trajet d’une rame de métro entre deux stations, l’essorage d’un lave-linge, une bille filmée dans une gouttière puis modélisée, un patineur qui ralentit avant un virage, et le démarrage d’une voiture enregistré par l’accéléromètre d’un smartphone.

5 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je fixe le cadre : point étudié, référentiel, axe ou repère, et orientation ; pour un cercle, le repère de Frenet.
Je découpe le mouvement en phases : pour chacune, trajectoire droite ou circulaire, accélération nulle, constante ou variable.
J’écris les relations de la phase : dérivées des équations horaires, $v_{x} = a_{x} t + v_{0 x}$ et $x = \frac{1}{2} a_{x} t^{2} + v_{0 x} t + x_{0}$ , ou $a_{t} = \frac{d v}{d t}$ et $a_{n} = \frac{v^{2}}{R}$ .
Je convertis puis je calcule : km·h⁻¹ en m·s⁻¹, cm en m, ms en s ; la fin d’une phase donne les conditions initiales de la suivante.
Je contrôle : signes de $v_{x}$ et $a_{x}$ cohérents avec un mouvement accéléré ou ralenti, ordre de grandeur réaliste.

Problème 1 · Le métro entre deux stations★★★Facile

Une rame de métro part d’une station à l’arrêt. Phase 1 : accélération constante

a_{x} = 1, 2

m·s⁻² jusqu’à 18 m·s⁻¹. Phase 2 : vitesse constante de 18 m·s⁻¹ pendant 30 s. Phase 3 : freinage avec une accélération constante

a_{x} = - 1, 5

m·s⁻² jusqu’à l’arrêt à la station suivante. La voie est rectiligne et l’axe

O x

orienté dans le sens du mouvement.

1. Durée de la phase 1 : s
$1, 2 t = 18$ donne $t = 18 \div 1, 2 =$ 15 s.
2. Distance parcourue pendant la phase 1 : m
$x = \frac{1}{2} \times 1, 2 \times 15^{2} = 0, 6 \times 225 =$ 135 m.
3. Accélération pendant la phase 2 : $a_{x} =$ m·s⁻²
Mouvement rectiligne uniforme : $a_{x} =$ 0.
4. Distance parcourue pendant la phase 2 : m
$18 \times 30 =$ 540 m.
5. Durée de la phase 3 : s
$18 - 1, 5 t = 0$ donne $t = 18 \div 1, 5 =$ 12 s ( $v_{x} > 0$ et $a_{x} < 0$ : la rame ralentit).
6. Distance parcourue pendant la phase 3 : m
En repartant de $t = 0$ au début du freinage : $x = 18 \times 12 - 0, 75 \times 144 = 216 - 108 =$ 108 m.
7. Distance entre les deux stations : m
$135 + 540 + 108 =$ 783 m.
8. Vitesse moyenne sur le trajet : m·s⁻¹
Durée totale $15 + 30 + 12 = 57$ s ; $v_{moy} = \frac{783}{57} \approx$ 13,7 m·s⁻¹, soit environ 49 km·h⁻¹.

Problème 2 · L’essorage d’un lave-linge★★★Moyen

Pendant l’essorage, le tambour d’un lave-linge, de rayon 23 cm, tourne à 1 200 tours par minute. On étudie une chaussette plaquée contre la paroi du tambour. Donnée :

g = 9, 81

m·s⁻².

1. Durée d’un tour : s
1 200 tours par minute, soit 20 tours par seconde : $T = 60 \div 1 200 =$ 0,050 s.
2. Vitesse de la chaussette : m·s⁻¹
$v = \frac{2 π \times 0, 23}{0, 050} = 9, 2 π \approx$ 28,9 m·s⁻¹, plus de 100 km·h⁻¹.
3. Accélération de la chaussette : × 10³ m·s⁻²
Mouvement circulaire uniforme : $a = \frac{v^{2}}{R} = \frac{(9, 2 π)^{2}}{0, 23} = 368 π^{2} \approx$ 3,63 × 10³ m·s⁻², vers l’axe du tambour.
4. Cette accélération vaut environ fois $g$
$\frac{3 632}{9, 81} \approx$ 370.
5. Au démarrage de l’essorage, la vitesse passe régulièrement de 0 à sa valeur finale en 20 s : $a_{t} =$ m·s⁻²
$a_{t} = \frac{d v}{d t} = \frac{28, 9}{20} \approx$ 1,45 m·s⁻².
6. À $t = 10$ s, la vitesse vaut la moitié de sa valeur finale : $a_{n} =$ m·s⁻²
$v = 4, 6 π \approx 14, 5$ m·s⁻¹ et $a_{n} = \frac{(4, 6 π)^{2}}{0, 23} = 92 π^{2} \approx$ 908 m·s⁻².
7. À cet instant, $a_{t}$ est négligeable devant $a_{n}$ : le vecteur accélération est presque dirigé vers le du tambour
$a_{n}$ est environ 600 fois plus grande que $a_{t}$ : le vecteur accélération est pratiquement dirigé vers le centre.

Problème 3 · Une bille filmée dans une gouttière★★★Moyen

On filme une bille qui descend une gouttière rectiligne inclinée, lancée vers le bas. Un logiciel de pointage relève sa position toutes les

τ = 0, 040

s, puis modélise les points par

x (t) = 0, 75 t^{2} + 0, 12 t

(

x

en mètres,

t

en secondes, axe

O x

le long de la gouttière, vers le bas). Extrait du relevé :

$t$ (s)	0,36	0,40	0,44
$x$ (cm)	14,04	16,80	19,80

1. D’après le modèle, $v_{x} (t) =$ $\times t + 0, 12$
On dérive le modèle : $v_{x} (t) =$ 1,5 $t + 0, 12$ .
2. $a_{x} =$ m·s⁻²
$a_{x} = \frac{d v_{x}}{d t} =$ 1,5 m·s⁻², constante : mouvement rectiligne uniformément accéléré.
3. D’après le modèle, vitesse à $t = 0, 50$ s : m·s⁻¹
$v_{x} (0, 50) = 1, 5 \times 0, 50 + 0, 12 =$ 0,87 m·s⁻¹. Le terme constant 0,12 m·s⁻¹ est $v_{x} (0)$ : la vitesse avec laquelle la bille a été lancée.
4. Vitesse à $t = 0, 40$ s estimée sur le relevé : m·s⁻¹
On encadre la date avec les positions à 0,36 s et 0,44 s : $\frac{0, 1980 - 0, 1404}{0, 080} = \frac{0, 0576}{0, 080} =$ 0,72 m·s⁻¹.
5. Écart entre cette estimation et la vitesse donnée par le modèle à la même date : m·s⁻¹
Modèle : $v_{x} (0, 40) = 1, 5 \times 0, 40 + 0, 12 = 0, 72$ m·s⁻¹, écart 0 : pour une position qui varie comme $t^{2}$ , l’estimation sur $2 τ$ donne exactement la vitesse à la date du milieu.
6. Le programme Python du cours, appliqué à 15 positions, trace vecteurs accélération
Pas d’accélération aux deux premières ni aux deux dernières positions : $15 - 4 =$ 11.
7. Ces vecteurs ont tous la même longueur, sont parallèles à la gouttière et orientés vers le de la pente
$a_{x} = 1, 5$ m·s⁻² est constante et positive, l’axe étant orienté vers le bas de la pente : même sens que la vitesse, la bille accélère.

Problème 4 · Un patineur dans le virage★★★Difficile

Dans un modèle simplifié, un patineur de vitesse arrive par une ligne droite, parcourue à la vitesse constante de 13 m·s⁻¹, sur un virage en demi-cercle de rayon 25 m.

1. Accélération dans la ligne droite : m·s⁻²
Mouvement rectiligne uniforme : $\vec{a} = \vec{0}$ , valeur 0.
2. Accélération dans le virage, s’il garde 13 m·s⁻¹ : m·s⁻²
$a = \frac{v^{2}}{R} = \frac{169}{25} =$ 6,76 m·s⁻², vers le centre : l’accélération passe brusquement de 0 à cette valeur à l’entrée du virage.
3. Durée du virage à 13 m·s⁻¹ : s
Longueur du demi-cercle : $π \times 25 \approx 78, 5$ m ; durée $\frac{78, 5}{13} \approx$ 6,04 s.
4. Sur une glace abîmée, son entraîneur lui demande de ne pas dépasser 4,0 m·s⁻² dans le virage. Vitesse maximale dans le virage : m·s⁻¹
$v^{2} = 4, 0 \times 25 = 100$ , soit $v =$ 10 m·s⁻¹.
5. Il passe de 13 à 10 m·s⁻¹ sur les 34,5 derniers mètres de la ligne droite, avec une accélération constante. Durée de ce ralentissement : s
Avec $x_{0} = 0$ : $a_{x} t = 10 - 13 = - 3, 0$ , et $x = \frac{1}{2} (a_{x} t) t + 13 t = - 1, 5 t + 13 t = 11, 5 t = 34, 5$ , d’où $t =$ 3,0 s.
6. Accélération pendant ce ralentissement : $a_{x} =$ m·s⁻²
$a_{x} = \frac{- 3, 0}{3, 0} =$ −1,0 m·s⁻², de sens opposé à la vitesse.

Problème 5 · L’accéléromètre d’un smartphone★★★Difficile

Un smartphone fixé dans une voiture affiche l’accélération du véhicule dans le plan horizontal. La voiture démarre en ligne droite :

a_{x} = 2, 5

m·s⁻² pendant 4,0 s, puis

a_{x} = 1, 0

m·s⁻² pendant 6,0 s, puis

a_{x} = 0

. L’axe

O x

est orienté dans le sens du mouvement ; à

t = 0

x_{0} = 0

v_{0 x} = 0

1. Vitesse à $t = 4, 0$ s : m·s⁻¹
$v_{x} = 2, 5 \times 4, 0 =$ 10 m·s⁻¹.
2. Distance parcourue pendant les 4,0 premières secondes : m
$x = \frac{1}{2} \times 2, 5 \times 16 =$ 20 m.
3. Vitesse à $t = 10$ s : km·h⁻¹
Seconde phase, en repartant de 0 : $v_{x} = 1, 0 t + 10$ , soit $1, 0 \times 6, 0 + 10 = 16$ m·s⁻¹, et $16 \times 3, 6 =$ 57,6 km·h⁻¹.
4. Distance parcourue entre 4,0 s et 10 s : m
$x = \frac{1}{2} \times 1, 0 \times 36 + 10 \times 6, 0 = 18 + 60 =$ 78 m.
5. Ensuite, la voiture garde sa vitesse et prend un virage circulaire ; le smartphone affiche 3,0 m·s⁻². Rayon du virage : m
Vitesse de valeur constante : $a = \frac{v^{2}}{R}$ , donc $R = \frac{16^{2}}{3, 0} = \frac{256}{3, 0} \approx$ 85,3 m.
6. Pour un second virage de même rayon, le conducteur divise sa vitesse par 2 : l’accélération affichée est divisée par
$a = \frac{v^{2}}{R}$ varie comme le carré de la vitesse : divisée par $2^{2} =$ 4, soit 0,75 m·s⁻².

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