À propos de cette page
Ce cours de spécialité physique-chimie en première sur « Cinématique : description du mouvement » suit le programme officiel de spécialité physique-chimie de première. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Référentiel et repère, Trajectoire d'un point, Vecteur position et vecteur déplacement, Vitesse moyenne et vitesse instantanée. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première à réussir en spécialité physique-chimie.
Au programme
1 · Référentiel et repère
2 · Trajectoire d'un point
3 · Vecteur position et vecteur déplacement
4 · Vitesse moyenne et vitesse instantanée
5 · Vecteur vitesse instantanée
6 · Vecteur accélération
7 · Types de mouvements
8 · Enregistrement du mouvement — chronophotographie
1Référentiel et repère
Pour décrire le mouvement d'un objet, il faut choisir un référentiel : c'est un objet de référence (solide indéformable) par rapport auquel on observe le mouvement.
Définition. Un référentiel est constitué d'un repère d'espace (souvent cartésien : origine O et axes $Ox$, $Oy$, $Oz$) et d'un repère de temps (horloge). Il permet de repérer la position d'un point à chaque instant.
Le mouvement d'un objet est relatif : sa description dépend du référentiel choisi.
| Référentiel | Objet de référence | Usage courant |
|---|
| Terrestre | Terre (sol) | Mouvements quotidiens, chutes libres |
| Géocentrique | Centre de la Terre, axes fixes par rapport aux étoiles | Satellites, Lune |
| Héliocentrique | Centre du Soleil, axes fixes par rapport aux étoiles lointaines | Planètes du système solaire |
Attention ! Un objet peut être en mouvement dans un référentiel et immobile dans un autre. Il faut toujours préciser le référentiel utilisé.
2Trajectoire d'un point
Lors de son mouvement, un point matériel M décrit une courbe dans l'espace. L'ensemble des positions successives de M constitue sa trajectoire.
Définition. La trajectoire d'un point M est l'ensemble des positions successives de M dans un référentiel donné. Elle dépend du référentiel choisi.
- Trajectoire rectiligne : droite (ex. chute verticale).
- Trajectoire circulaire : cercle (ex. roue qui tourne).
- Trajectoire curviligne : courbe quelconque (ex. projectile).
Exemple. Le centre d'une roue de vélo décrit une trajectoire rectiligne dans le référentiel terrestre, mais un point du bord de la roue décrit une cycloïde.
Caption : les trois grandes catégories de trajectoires rencontrées en cinématique.
3Vecteur position et vecteur déplacement
On repère la position d'un point M à l'aide du vecteur position $\overrightarrow{OM}$, où O est l'origine du repère.
Vecteur position. $\overrightarrow{OM}(t) = x(t)\,\vec{i} + y(t)\,\vec{j} + z(t)\,\vec{k}$, où $x(t)$, $y(t)$, $z(t)$ sont les coordonnées (ou abscisses algébriques) de M à l'instant $t$.
Lorsque M passe de la position $M_1$ (à $t_1$) à $M_2$ (à $t_2$), le vecteur déplacement est :
$$\overrightarrow{M_1 M_2} = \overrightarrow{OM_2} - \overrightarrow{OM_1}$$
Astuce. Les coordonnées de M en fonction du temps s'appellent les équations horaires (ou équations du mouvement) : $x = x(t)$, $y = y(t)$. Elles décrivent complètement le mouvement.
4Vitesse moyenne et vitesse instantanée
La vitesse moyenne d'un point sur un intervalle $[t_1 ; t_2]$ est :
$$v_{\text{moy}} = \frac{d}{\Delta t} = \frac{\text{distance parcourue}}{t_2 - t_1}$$
Attention ! La vitesse moyenne est un scalaire positif. Elle ne donne aucune information sur la direction du mouvement. Ne pas confondre avec la norme du vecteur vitesse moyen.
La vitesse instantanée $v$ à l'instant $t$ est la limite du taux de variation de la position quand $\Delta t \to 0$ :
$$v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{|\overrightarrow{M(t)M(t+\Delta t)}|}{\Delta t} = \left|\frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}\right|$$
Exemple. Un objet parcourt 120 m en 8 s. Sa vitesse moyenne est $v = \frac{120}{8} = 15 \text{ m/s} = 54 \text{ km/h}$.
En pratique (chronophotographie), on approche la vitesse instantanée en $M_i$ par :
$$v_i \approx \frac{|\overrightarrow{M_{i-1}M_{i+1}}|}{2T}$$
où $T$ est l'intervalle de temps entre deux positions consécutives.
Caption : exemple d'une courbe x(t) linéaire pour un mouvement rectiligne uniforme de vitesse 15 m/s.
5Vecteur vitesse instantanée
Le vecteur vitesse instantanée est la dérivée du vecteur position par rapport au temps :
$$\vec{v}(t) = \frac{d\overrightarrow{OM}}{dt} = \dot{x}(t)\,\vec{i} + \dot{y}(t)\,\vec{j}$$
Propriétés du vecteur vitesse $\vec{v}$.- Direction : tangente à la trajectoire en M.
- Sens : sens du mouvement.
- Norme : $v = \|\vec{v}\| = \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2}$ (en m/s).
En chronophotographie (positions $M_{i-1}$, $M_i$, $M_{i+1}$ séparées de $T$) :
$$\vec{v}(M_i) \approx \frac{\overrightarrow{M_{i-1}M_{i+1}}}{2T}$$
Astuce. Pour représenter $\vec{v}$ sur un schéma : tracez la tangente à la trajectoire en M, puis fléchez dans le sens du mouvement avec une longueur proportionnelle à la norme.
Caption : courbe v(t) pour un mouvement rectiligne uniformément accéléré — la pente donne l'accélération.
6Vecteur accélération
Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps :
$$\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = \ddot{x}(t)\,\vec{i} + \ddot{y}(t)\,\vec{j}$$
Propriétés du vecteur accélération $\vec{a}$.- Si $\vec{a} = \vec{0}$ : mouvement rectiligne uniforme (MRU).
- Si $\vec{a}$ est constant et non nul, colinéaire à $\vec{v}$ : mouvement rectiligne uniformément varié (MRUV).
- Si $\vec{a}$ est perpendiculaire à $\vec{v}$ : mouvement circulaire uniforme.
En chronophotographie :
$$\vec{a}(M_i) \approx \frac{\vec{v}_{i+1} - \vec{v}_{i-1}}{2T} = \frac{\overrightarrow{M_{i-1}M_{i+1}} - 2\overrightarrow{M_{i-2}M_{i}}}{...} \approx \frac{\overrightarrow{M_{i-1}M_{i+1}} + \overrightarrow{M_{i+1}M_i}}{T^2}$$
La formule utilisable au lycée est :
$$\vec{a}(M_i) \approx \frac{\overrightarrow{M_{i-1}M_{i+1}}}{T^2} - \frac{2\overrightarrow{OM_i}}{T^2} = \frac{\overrightarrow{M_{i-1}M_{i+1}} - 2\overrightarrow{OM_i}}{T^2}$$
Attention ! L'accélération peut être non nulle même si la vitesse reste constante en norme (cas d'un mouvement circulaire). Ce qui change alors, c'est la direction du vecteur vitesse.
7Types de mouvements
On classifie les mouvements selon la trajectoire et l'évolution de la vitesse :
| Type | Trajectoire | $v$ | $\vec{a}$ |
|---|
| MRU | Rectiligne | Constante | $\vec{0}$ |
| MRUA (accéléré) | Rectiligne | Croissante | Constant, même sens que $\vec{v}$ |
| MRUD (décéléré) | Rectiligne | Décroissante | Constant, sens opposé à $\vec{v}$ |
| Circulaire uniforme | Circulaire | Constante | Centripète (vers centre), $\neq \vec{0}$ |
| Curviligne quelconque | Quelconque | Variable | Variable |
Équations horaires du MRUV (cas unidimensionnel, axe $Ox$) :
$$v(t) = v_0 + a\,t \qquad x(t) = x_0 + v_0\,t + \frac{1}{2}a\,t^2$$
Exemple — Chute libre. Un objet lâché sans vitesse initiale (référentiel terrestre, axe vers le bas) : $a = g \approx 9{,}8 \text{ m/s}^2$, $v(t) = g\,t$, $z(t) = \frac{1}{2}g\,t^2$.
8Enregistrement du mouvement — chronophotographie
La chronophotographie (ou stroboscopie) permet d'enregistrer les positions successives d'un mobile à intervalles de temps égaux $T$. Elle donne accès expérimentalement aux grandeurs cinématiques.
Méthode — Exploitation d'une chronophotographie.- Identifier l'échelle : mesurer $d$ (en cm) entre deux points connus et calculer le coefficient d'échelle (m/cm).
- Mesurer les distances $d_i = |M_{i-1}M_{i+1}|$ sur le document.
- Calculer $v_i \approx \frac{d_i}{2T}$ (vitesse en $M_i$).
- Comparer les $v_i$ pour qualifier le mouvement : si $v_i$ = cste → MRU ; si $v_i$ croît → accéléré ; si $v_i$ décroît → décéléré.
Attention ! $T$ est la durée entre deux positions consécutives, pas entre $M_{i-1}$ et $M_{i+1}$ (qui est $2T$).
Exemple. Sur une chronophotographie prise à $f = 25 \text{ Hz}$ (fréquence), $T = \frac{1}{f} = 0{,}04 \text{ s}$. Si $|M_0 M_2| = 6{,}0 \text{ cm}$ à l'échelle 1:10 (soit 60 cm = 0,60 m), alors $v_1 \approx \frac{0{,}60}{2 \times 0{,}04} = 7{,}5 \text{ m/s}$.
★À retenir
En bref :
• Le référentiel est l'objet de référence + repère d'espace + horloge. Le mouvement est relatif.
• La trajectoire est l'ensemble des positions successives d'un point dans un référentiel donné.
• Le vecteur vitesse $\vec{v}$ est tangent à la trajectoire, orienté dans le sens du mouvement ; $v = \|\vec{v}\|$ en m/s.
• En chronophotographie : $\vec{v}(M_i) \approx \frac{\overrightarrow{M_{i-1}M_{i+1}}}{2T}$.
• Le vecteur accélération $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}$ : nul en MRU, constant en MRUV.
• MRUV : $v(t) = v_0 + at$ et $x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2$.