Lycée · 1ʳᵉ · Spécialité Physique-Chimie
Cinématique : description du mouvement
Référentiels, trajectoires, vitesse et vecteur vitesse — programme de Spécialité Physique-Chimie 1re
À propos de cette page
Référentiel et repère
Pour décrire le mouvement d'un objet, il faut choisir un référentiel : c'est un objet de référence (solide indéformable) par rapport auquel on observe le mouvement.
Le mouvement d'un objet est relatif : sa description dépend du référentiel choisi.
| Référentiel | Objet de référence | Usage courant |
|---|---|---|
| Terrestre | Terre (sol) | Mouvements quotidiens, chutes libres |
| Géocentrique | Centre de la Terre, axes fixes par rapport aux étoiles | Satellites, Lune |
| Héliocentrique | Centre du Soleil, axes fixes par rapport aux étoiles lointaines | Planètes du système solaire |
Trajectoire d'un point
Lors de son mouvement, un point matériel M décrit une courbe dans l'espace. L'ensemble des positions successives de M constitue sa trajectoire.
- Trajectoire rectiligne : droite (ex. chute verticale).
- Trajectoire circulaire : cercle (ex. roue qui tourne).
- Trajectoire curviligne : courbe quelconque (ex. projectile).
Caption : les trois grandes catégories de trajectoires rencontrées en cinématique.
Vecteur position et vecteur déplacement
On repère la position d'un point M à l'aide du vecteur position $\overrightarrow{OM}$, où O est l'origine du repère.
Lorsque M passe de la position $M_1$ (à $t_1$) à $M_2$ (à $t_2$), le vecteur déplacement est :
$$\overrightarrow{M_1 M_2} = \overrightarrow{OM_2} - \overrightarrow{OM_1}$$
Vitesse moyenne et vitesse instantanée
La vitesse moyenne d'un point sur un intervalle $[t_1 ; t_2]$ est :
$$v_{\text{moy}} = \frac{d}{\Delta t} = \frac{\text{distance parcourue}}{t_2 - t_1}$$
La vitesse instantanée $v$ à l'instant $t$ est la limite du taux de variation de la position quand $\Delta t \to 0$ :
$$v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{|\overrightarrow{M(t)M(t+\Delta t)}|}{\Delta t} = \left|\frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}\right|$$
En pratique (chronophotographie), on approche la vitesse instantanée en $M_i$ par :
$$v_i \approx \frac{|\overrightarrow{M_{i-1}M_{i+1}}|}{2T}$$
où $T$ est l'intervalle de temps entre deux positions consécutives.
Caption : exemple d'une courbe x(t) linéaire pour un mouvement rectiligne uniforme de vitesse 15 m/s.
Vecteur vitesse instantanée
Le vecteur vitesse instantanée est la dérivée du vecteur position par rapport au temps :
$$\vec{v}(t) = \frac{d\overrightarrow{OM}}{dt} = \dot{x}(t)\,\vec{i} + \dot{y}(t)\,\vec{j}$$
- Direction : tangente à la trajectoire en M.
- Sens : sens du mouvement.
- Norme : $v = \|\vec{v}\| = \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2}$ (en m/s).
En chronophotographie (positions $M_{i-1}$, $M_i$, $M_{i+1}$ séparées de $T$) :
$$\vec{v}(M_i) \approx \frac{\overrightarrow{M_{i-1}M_{i+1}}}{2T}$$
Caption : courbe v(t) pour un mouvement rectiligne uniformément accéléré — la pente donne l'accélération.
Vecteur accélération
Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps :
$$\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = \ddot{x}(t)\,\vec{i} + \ddot{y}(t)\,\vec{j}$$
- Si $\vec{a} = \vec{0}$ : mouvement rectiligne uniforme (MRU).
- Si $\vec{a}$ est constant et non nul, colinéaire à $\vec{v}$ : mouvement rectiligne uniformément varié (MRUV).
- Si $\vec{a}$ est perpendiculaire à $\vec{v}$ : mouvement circulaire uniforme.
En chronophotographie :
$$\vec{a}(M_i) \approx \frac{\vec{v}_{i+1} - \vec{v}_{i-1}}{2T} = \frac{\overrightarrow{M_{i-1}M_{i+1}} - 2\overrightarrow{M_{i-2}M_{i}}}{...} \approx \frac{\overrightarrow{M_{i-1}M_{i+1}} + \overrightarrow{M_{i+1}M_i}}{T^2}$$
La formule utilisable au lycée est :
$$\vec{a}(M_i) \approx \frac{\overrightarrow{M_{i-1}M_{i+1}}}{T^2} - \frac{2\overrightarrow{OM_i}}{T^2} = \frac{\overrightarrow{M_{i-1}M_{i+1}} - 2\overrightarrow{OM_i}}{T^2}$$
Types de mouvements
On classifie les mouvements selon la trajectoire et l'évolution de la vitesse :
| Type | Trajectoire | $v$ | $\vec{a}$ |
|---|---|---|---|
| MRU | Rectiligne | Constante | $\vec{0}$ |
| MRUA (accéléré) | Rectiligne | Croissante | Constant, même sens que $\vec{v}$ |
| MRUD (décéléré) | Rectiligne | Décroissante | Constant, sens opposé à $\vec{v}$ |
| Circulaire uniforme | Circulaire | Constante | Centripète (vers centre), $\neq \vec{0}$ |
| Curviligne quelconque | Quelconque | Variable | Variable |
Équations horaires du MRUV (cas unidimensionnel, axe $Ox$) :
$$v(t) = v_0 + a\,t \qquad x(t) = x_0 + v_0\,t + \frac{1}{2}a\,t^2$$
Enregistrement du mouvement — chronophotographie
La chronophotographie (ou stroboscopie) permet d'enregistrer les positions successives d'un mobile à intervalles de temps égaux $T$. Elle donne accès expérimentalement aux grandeurs cinématiques.
- Identifier l'échelle : mesurer $d$ (en cm) entre deux points connus et calculer le coefficient d'échelle (m/cm).
- Mesurer les distances $d_i = |M_{i-1}M_{i+1}|$ sur le document.
- Calculer $v_i \approx \frac{d_i}{2T}$ (vitesse en $M_i$).
- Comparer les $v_i$ pour qualifier le mouvement : si $v_i$ = cste → MRU ; si $v_i$ croît → accéléré ; si $v_i$ décroît → décéléré.
- Le référentiel est l'objet de référence + repère d'espace + horloge. Le mouvement est relatif.
- La trajectoire est l'ensemble des positions successives d'un point dans un référentiel donné.
- Le vecteur vitesse $\vec{v}$ est tangent à la trajectoire, orienté dans le sens du mouvement ; $v = \|\vec{v}\|$ en m/s.
- En chronophotographie : $\vec{v}(M_i) \approx \frac{\overrightarrow{M_{i-1}M_{i+1}}}{2T}$.
- Le vecteur accélération $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}$ : nul en MRU, constant en MRUV.
- MRUV : $v(t) = v_0 + at$ et $x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2$.
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