Mouvement : vecteur vitesse et variation de vitesse

Système et point matériel. Le système est l’objet, ou l’ensemble d’objets, dont on étudie le mouvement. On le modélise par un point matériel M, en général son centre : on renonce alors à décrire sa rotation sur lui-même et ses déformations.

Référentiel. C’est un solide de référence, auquel on associe une horloge pour dater les positions. Trois référentiels reviennent sans cesse :

Repère et vecteur position. Dans le référentiel, on choisit un repère $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$. La position de M à la date $t$ est donnée par le vecteur position $\overrightarrow{OM}(t)$, de coordonnées $(x(t);y(t))$ en mètres, et de norme $OM=\sqrt{x^2+y^2}$. Entre deux dates, le point se déplace du vecteur déplacement $\overrightarrow{M_1{M}_2}$, de coordonnées $(x_2-x_1;y_2-y_1)$.

Trajectoire et relativité du mouvement. La trajectoire est l’ensemble des positions occupées successivement par M dans un référentiel donné : rectiligne, circulaire ou curviligne. Le mouvement, la trajectoire et la vitesse dépendent du référentiel choisi.

Changer de référentiel. Si un référentiel R′ est en translation par rapport à R (tous ses points ont le même vecteur vitesse ${\overrightarrow{v}}_{R\prime /R}$), les vecteurs vitesse d’un point M s’additionnent : ${\overrightarrow{v}}_{M/R}={\overrightarrow{v}}_{M/R\prime }+{\overrightarrow{v}}_{R\prime /R}$. En seconde, sur un axe, on additionnait des vitesses algébriques ; en vecteurs, on additionne les flèches ou les coordonnées.

Vitesse moyenne. $v_{\text{moy}}={\displaystyle \frac{d}{\Delta t}}$, où $d$ est la distance parcourue sur la trajectoire (en m) pendant la durée $\Delta t$ (en s). Unité du Système international : le mètre par seconde, m·s⁻¹. Comme 1 km·h⁻¹ = ${\displaystyle \frac{1000\text{ m}}{3600\text{ s}}}$, on a 1 m·s⁻¹ = 3,6 km·h⁻¹ : on multiplie par 3,6 pour passer des m·s⁻¹ aux km·h⁻¹, on divise par 3,6 dans l’autre sens. Avant tout calcul, les distances se mettent en mètres et les durées en secondes.

Distance parcourue et déplacement. La distance parcourue est toujours supérieure ou égale à la longueur $M_1{M}_2$ du vecteur déplacement ; elle lui est égale seulement pour un trajet en ligne droite, sans demi-tour.

Vitesse instantanée. C’est la vitesse moyenne calculée sur une durée très courte encadrant la date étudiée. Sur une chronophotographie dont les positions $M_0,M_1,M_2,\dots$ sont prises toutes les $\tau$ secondes, on prend les deux positions qui encadrent $M_i$ :

$v_i\approx {\displaystyle \frac{M_{i-1}{M}_{i+1}}{2\tau }}$

En seconde, on utilisait ${\displaystyle \frac{M_i{M}_{i+1}}{\tau }}$ : ce calcul plus simple donne plutôt la vitesse au milieu de l’intervalle, entre $t_i$ et $t_{i+1}$ ; l’intervalle centré sur $M_i$ est meilleur. Sur un document à l’échelle, chaque distance mesurée est d’abord ramenée à la distance réelle.

Vecteur vitesse. La valeur de la vitesse ne suffit pas : deux mobiles peuvent aller à la même allure dans des directions différentes. Sur une chronophotographie :

${\overrightarrow{v}}_i\approx {\displaystyle \frac{\overrightarrow{M_{i-1}{M}_{i+1}}}{2\tau }}$

Ses caractéristiques : origine le point $M_i$ ; direction la tangente à la trajectoire en $M_i$ (parallèle à la corde $M_{i-1}{M}_{i+1}$) ; sens celui du mouvement ; norme la valeur $v_i$ de la vitesse, en m·s⁻¹.

Coordonnées. Dans un repère, avec $\Delta t=2\tau$ :

$v_x={\displaystyle \frac{x_{i+1}-x_{i-1}}{\Delta t}}$ ; $v_y={\displaystyle \frac{y_{i+1}-y_{i-1}}{\Delta t}}$ ; $v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$

Le signe de chaque coordonnée donne le sens du déplacement sur l’axe : $v_y<0$ avec un axe vertical orienté vers le haut signifie que le mobile descend.

Tracé à l’échelle. On choisit une échelle des vitesses, par exemple 1 cm pour 0,5 m·s⁻¹, distincte de l’échelle des longueurs et écrite à côté du schéma. Longueur de la flèche = valeur de la vitesse ÷ valeur représentée par 1 cm : une vitesse de 3,0 m·s⁻¹ est alors une flèche de 6,0 cm.

Définition. Entre deux dates voisines $t$ et $t\prime$, le vecteur variation de vitesse est

$\Delta \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}(t\prime )-\overrightarrow{v}(t)$

C’est une différence de vecteurs, « arrivée moins départ ». Sur une chronophotographie, on le représente en général au point intermédiaire : par exemple $\Delta {\overrightarrow{v}}_3={\overrightarrow{v}}_4-{\overrightarrow{v}}_2$, tracé en $M_3$, pour une durée $2\tau$.

Construction graphique. On trace $\overrightarrow{v}(t)$ et $\overrightarrow{v}(t\prime )$ à la même échelle, à partir d’un même point ; $\Delta \overrightarrow{v}$ va de la pointe de $\overrightarrow{v}(t)$ à la pointe de $\overrightarrow{v}(t\prime )$. C’est la même chose que mettre bout à bout $\overrightarrow{v}(t\prime )$ et $-\overrightarrow{v}(t)$ : soustraire un vecteur, c’est ajouter son opposé.

Coordonnées. $\Delta \overrightarrow{v}$ a pour coordonnées $(v_x^{\prime }-v_x;v_y^{\prime }-v_y)$, et pour norme $\Vert \Delta \overrightarrow{v}\Vert =\sqrt{\Delta v_x^2+\Delta v_y^2}$, en m·s⁻¹. On la convertit en longueur de flèche avec l’échelle des vitesses.

Norme de $\Delta \overrightarrow{v}$ et variation de la valeur. La norme $\Vert \Delta \overrightarrow{v}\Vert$ est toujours positive ; la variation de la valeur, $v\prime -v$, peut être négative, nulle ou positive, et n’est en général pas égale à $\Vert \Delta \overrightarrow{v}\Vert$.

Avec Python. À partir des listes de coordonnées x et y relevées toutes les tau secondes, on calcule les vecteurs vitesse puis leurs différences, et on trace les flèches avec plt.quiver :

for i in range(1, len(x) - 1):      # positions qui ont deux voisines
    vx.append((x[i+1] - x[i-1]) / (2*tau))
    vy.append((y[i+1] - y[i-1]) / (2*tau))
for j in range(1, len(vx) - 1):     # vx[j] est la vitesse en M(j+1)
    dvx.append(vx[j+1] - vx[j-1])   # Δv en M(j+1), sur 2*tau
    dvy.append(vy[j+1] - vy[j-1])
plt.quiver(x[2:-2], y[2:-2], dvx, dvy,
           angles="xy", scale_units="xy", scale=10)

Comme dans la définition, chaque $\Delta \overrightarrow{v}$ est la différence des deux vecteurs vitesse qui encadrent une position, séparés de $2\tau$, et il est tracé en cette position.

Ce que dit $\Delta \overrightarrow{v}$. En comparant les vecteurs vitesse à des dates voisines, on reconnaît la nature du mouvement :

Le seul mouvement à $\Delta \overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$. Un vecteur est constant si sa direction, son sens et sa norme le sont : seul le mouvement rectiligne uniforme (ou l’immobilité) a un vecteur vitesse constant. Sur une trajectoire courbe, $\Delta \overrightarrow{v}$ n’est jamais nul, même à vitesse de valeur constante.

Trajectoire courbe. $\Delta \overrightarrow{v}$ est toujours dirigé vers l’intérieur de la courbe. Il est perpendiculaire à la trajectoire si la valeur de la vitesse est constante, incliné vers l’avant si elle augmente, vers l’arrière si elle diminue.

Mouvement circulaire uniforme. Le point décrit un cercle de rayon $R$ à vitesse de valeur constante ; la durée d’un tour est la période $T$, et

$v={\displaystyle \frac{2\pi R}{T}}$

Entre deux positions voisines $M_1$ et $M_2$, $\Delta \overrightarrow{v}$, reporté au point M situé à mi-chemin, est dirigé vers le centre.

Un lancer. Pour une balle lancée, les frottements de l’air étant négligeables, on constate sur les chronophotographies que $\Delta \overrightarrow{v}$ est vertical, dirigé vers le bas, et le même sur des durées égales ; les deux exemples de la partie 4 donnent bien un $\Delta \overrightarrow{v}$ vertical, vers le bas.