Mouvement dans un champ électrique uniforme

Le condensateur plan. Déjà rencontré en première comme exemple de champ uniforme, un condensateur plan est formé de deux armatures planes et parallèles, distantes de $d$, entre lesquelles on applique une tension $U=V_A-V_B$. Entre les armatures, loin des bords, le champ électrique est uniforme : même direction, perpendiculaire aux armatures ; même sens, de l’armature au potentiel le plus élevé vers l’autre ; même valeur en tout point (Interactions fondamentales et notion de champ) :

$E={\displaystyle \frac{U}{d}}$

avec $U$ en volts (V), $d$ en mètres (m) et $E$ en volts par mètre (V·m⁻¹), unité égale au newton par coulomb (N·C⁻¹).

Influence des grandeurs. L’expression $E={\displaystyle \frac{U}{d}}$ est en général donnée dans les sujets : il faut savoir l’exploiter et discuter de l’influence de $U$ et de $d$. À distance fixée, $E$ est proportionnel à la tension : doubler $U$ double $E$. À tension fixée, $E$ est inversement proportionnel à la distance : diviser la distance par deux double $E$. Dans ce modèle, $E$ ne dépend ni de la surface des armatures, ni de la particule que l’on place entre elles. Inverser les branchements inverse le sens de $\overrightarrow{E}$, pas sa valeur.

Force électrique. Une particule de charge $q$ placée dans ce champ subit la force

$\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{E}$

constante, de valeur $F=|q|E$ (en newtons, avec $q$ en coulombs). Si $q>0$ (proton, ion positif), $\overrightarrow{F}$ a le sens de $\overrightarrow{E}$ : la particule est poussée vers l’armature négative. Si $q<0$ (électron, ion négatif), $\overrightarrow{F}$ est de sens opposé : la particule est attirée vers l’armature positive. Charge élémentaire : $e=1,60\times {10}^{-19}$ C.

Le poids : négligeable ou non ? On compare toujours les deux forces avant de négliger l’une d’elles. Pour un électron, un proton ou un ion, la force électrique est des milliards de fois plus grande que le poids : on néglige le poids. Pour une gouttelette ou une petite bille électrisée, les deux forces peuvent être du même ordre : on garde le poids. C’est le cas de la gouttelette d’huile immobile de l’expérience de Millikan, étudiée en première.

La démarche. Système : la particule, de masse $m$ et de charge $q$. Référentiel : le laboratoire, supposé galiléen. Bilan des forces : la force électrique $q\overrightarrow{E}$ seule, le poids étant négligé (comparaison faite). On applique la deuxième loi de Newton (Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme) :

$m\overrightarrow{a}=q\overrightarrow{E}$,   donc   $\overrightarrow{a}={\displaystyle \frac{q\overrightarrow{E}}{m}}$

Un vecteur accélération constant. Le champ étant uniforme, $\overrightarrow{a}$ garde la même direction (celle de $\overrightarrow{E}$), le même sens (celui de $\overrightarrow{E}$ si $q>0$, l’opposé si $q<0$) et la même valeur $a={\displaystyle \frac{|q|E}{m}}$ pendant toute la traversée. Le mouvement est uniformément varié. L’accélération dépend de la charge massique ${\displaystyle \frac{|q|}{m}}$ : dans un même champ, une particule légère est beaucoup plus accélérée qu’une particule lourde de même charge.

Un mouvement plan. On choisit un repère : $Oy$ parallèle à $\overrightarrow{E}$, $Ox$ perpendiculaire à $\overrightarrow{E}$ dans le plan qui contient $\overrightarrow{E}$ et la vitesse initiale ${\overrightarrow{v}}_0$, $Oz$ perpendiculaire à ce plan. Alors $a_z=0$ et $v_{0z}=0$, donc $v_z(t)=0$ et $z(t)=z_0=0$ à toute date : la particule reste dans le plan $(xOy)$ qui contient ${\overrightarrow{v}}_0$ et $\overrightarrow{E}$.

Des équations horaires par primitives. Comme $\overrightarrow{a}$ est constant, on cherche une primitive de chaque coordonnée, puis une seconde, en fixant les constantes par les conditions initiales :

$v_x(t)=a_{x}t+v_{0x}$   et   $x(t)={\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_x{t}^2+v_{0x}t+x_0$

et de même sur $Oy$. Les deux cas utiles sont étudiés ensuite : vitesse initiale parallèle au champ (partie 3), perpendiculaire au champ (partie 6).

Vitesse initiale parallèle au champ. L’accélération et la vitesse initiale ont la même direction : la trajectoire est une droite. On oriente l’axe $Ox$ selon ${\overrightarrow{v}}_0$ (ou selon le mouvement si la particule part du repos), origine au point de départ ; $a_x=\pm {\displaystyle \frac{|q|E}{m}}$, signe $+$ si la force est dans le sens de l’axe :

$v_x(t)=a_{x}t+v_0$

$x(t)={\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_x{t}^2+v_{0}t$

Accélérer. Si $\overrightarrow{F}$ est dans le sens du mouvement, le mouvement est rectiligne uniformément accéléré. Particule partie du repos, qui traverse la distance $d$ entre les armatures : $d={\displaystyle \frac{1}{2}}a{t}^2$, d’où la durée $t=\sqrt{{\displaystyle \frac{2d}{a}}}$ et la vitesse d’arrivée $v=at$. En éliminant le temps entre $v_x(t)$ et $x(t)$, on obtient aussi $v_x^2-v_0^2=2a_{x}x$, utile quand la durée n’est pas demandée.

Freiner. Si $\overrightarrow{F}$ est opposée au mouvement, le mouvement est rectiligne uniformément décéléré ($a_x<0$ avec $v_0>0$). La vitesse s’annule à la date $t_1={\displaystyle \frac{v_0}{|a_x|}}$, après la distance $\ell ={\displaystyle \frac{v_0^2}{2|a_x|}}$ (obtenue en reportant $t_1$ dans $x(t)$). Ensuite, l’accélération restant la même, la particule rebrousse chemin et repart en sens inverse en accélérant : elle repasse par son point d’entrée avec une vitesse de même valeur $v_0$. Si la distance $d$ disponible est inférieure à $\ell$, la particule traverse la zone sans s’arrêter.

Travail de la force électrique. En première, on a calculé le travail d’une force constante par un produit scalaire (Travail et puissance d’une force). Dans un champ uniforme, $q\overrightarrow{E}·\overrightarrow{AB}$ s’écrit avec la tension $U_{AB}=V_A-V_B$ entre le départ et l’arrivée :

$W_{AB}(\overrightarrow{F})=q{U}_{AB}$

Ce travail ne dépend que de la charge et de la tension entre les points de départ et d’arrivée : ni du chemin suivi (la force électrique est conservative), ni de la masse de la particule.

Théorème de l’énergie cinétique. Le poids étant négligé, seule la force électrique travaille :

${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_B^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_A^2=q{U}_{AB}$

C’est l’outil le plus rapide pour une vitesse, quand la question ne porte ni sur une durée ni sur une position. Pour une particule partie du repos et accélérée sous la tension $U$ (avec $qU>0$) : $v=\sqrt{{\displaystyle \frac{2|q|U}{m}}}$. La vitesse varie comme la racine carrée de la tension : quadrupler $U$ double $v$.

L’électronvolt. C’est l’énergie gagnée par une charge élémentaire accélérée sous une tension de 1 V : 1 eV $=1,60\times {10}^{-19}$ J, déjà rencontré pour l’énergie des photons (Lumière : images, couleurs et photons). On utilise aussi le keV (${10}^3$ eV) et le MeV (${10}^6$ eV). Une particule de charge $ze$, partie du repos et accélérée sous $U$ volts, gagne $zU$ électronvolts : le résultat se lit sans calcul. Pour passer en joules, on multiplie par $1,60\times {10}^{-19}$.

Limite du modèle. Ces calculs utilisent la mécanique de Newton, valable seulement si la vitesse reste petite devant celle de la lumière, $c=3,00\times {10}^8$ m·s⁻¹. Si la formule $v=\sqrt{{\displaystyle \frac{2|q|U}{m}}}$ donne une vitesse proche de $c$ (ou plus grande), le modèle n’est plus valable ; l’énergie gagnée, $|q|U$, reste juste.

Accélérer sous une seule tension. Dans un canon à électrons, les électrons émis par une cathode chauffée sont accélérés par la tension $U$ entre la cathode et une anode percée d’un trou : ils en sortent avec l’énergie $eU$. Pour aller beaucoup plus loin, il faudrait des tensions continues énormes, impossibles à maintenir sans étincelles entre les électrodes.

Le principe de l’accélérateur linéaire. On aligne une série de tubes métalliques creux, les tubes de glissement, reliés alternativement aux deux bornes d’une source de tension alternative de période $T$.

— Dans un tube, le champ électrique est nul : la particule, sur laquelle aucune force ne s’exerce (poids négligé), a un mouvement rectiligne uniforme.
— Dans chaque intervalle entre deux tubes règne un champ électrique ; la particule y est accélérée et gagne l’énergie $|q|U$, où $U$ est la tension entre les deux tubes au moment du passage.
— Pendant que la particule traverse un tube, la tension s’inverse : au passage suivant, le champ est de nouveau dans le bon sens. Avec une tension continue, la particule serait accélérée dans un intervalle et freinée dans le suivant.

Énergie après $n$ intervalles (tension $U$ au passage de chaque intervalle) :

$E_c=E_{c0}+n|q|U$

Longueur des tubes. La particule doit rester une demi-période dans chaque tube : un tube parcouru à la vitesse $v$ a pour longueur $L=v\times {\displaystyle \frac{T}{2}}$. La vitesse augmentant d’un tube au suivant, les tubes sont de plus en plus longs. Pour une particule partie du repos, $v$ est proportionnelle à $\sqrt{n}$ : le 4ᵉ tube est deux fois plus long que le 1ᵉʳ, le 9ᵉ trois fois plus long.

Un peu d’histoire. En 1927, à Aix-la-Chapelle, Rolf Widerøe accélère des ions jusqu’à 50 keV en ne disposant que de 25 kV, grâce à un seul tube de glissement entre deux intervalles (thèse publiée en 1928). Les accélérateurs linéaires servent aujourd’hui d’injecteurs aux grands accélérateurs de recherche et, en médecine, à produire les faisceaux de radiothérapie.

En Python. Le programme suivant calcule, intervalle après intervalle, l’énergie, la vitesse et la longueur du tube suivant pour des protons :

from math import sqrt
q, m = 1.60e-19, 1.67e-27   # proton
U, f = 20e3, 10e6    # tension (V), fréquence (Hz)
Ec = 0                      # départ au repos
for n in range(1, 6):       # cinq intervalles
    Ec = Ec + q * U          # gain à chaque intervalle
    v = sqrt(2 * Ec / m)
    L = v / (2 * f)          # tube suivant : T/2
    print(n, Ec / 1.60e-16, "keV", v, L)

Démonstration (à savoir refaire). Une particule de charge $q$ et de masse $m$ entre en O, au milieu de deux armatures de longueur $L$, avec une vitesse ${\overrightarrow{v}}_0$ perpendiculaire au champ. Repère : $Ox$ selon ${\overrightarrow{v}}_0$, $Oy$ parallèle à $\overrightarrow{E}$, orienté dans le sens de la force électrique. Système {particule}, référentiel du laboratoire supposé galiléen, poids négligé. La deuxième loi de Newton donne $m\overrightarrow{a}=q\overrightarrow{E}$ ; en projection :

$a_x=0$   et   $a_y={\displaystyle \frac{|q|E}{m}}$

Avec $\overrightarrow{v}(0)=v_0\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{OM}(0)=\overrightarrow{0}$, deux primitives successives donnent

$v_x=v_0$ ;   $v_y={\displaystyle \frac{|q|E}{m}}t$

$x=v_{0}t$ ;   $y={\displaystyle \frac{|q|E}{2m}}{t}^2$

Le mouvement selon $Ox$ est uniforme, celui selon $Oy$ uniformément accéléré. En éliminant le temps, $t={\displaystyle \frac{x}{v_0}}$ :

$y={\displaystyle \frac{|q|E}{2m{v}_0^2}}{x}^2$

Entre les armatures, la trajectoire est un arc de parabole qui s’incurve dans le sens de la force.

À la sortie des armatures ($x=L$), à la date $t_s={\displaystyle \frac{L}{v_0}}$ : déviation $y_s={\displaystyle \frac{|q|E{L}^2}{2m{v}_0^2}}$, et le vecteur vitesse fait avec $Ox$ l’angle $\alpha$ tel que $\tan \alpha ={\displaystyle \frac{v_y}{v_x}}={\displaystyle \frac{|q|EL}{m{v}_0^2}}$. La particule ne touche pas une armature si $y_s<{\displaystyle \frac{d}{2}}$ (entrée au milieu).

Après les armatures, le champ est nul : le mouvement est rectiligne uniforme, selon la direction de sortie. Sur un écran placé à la distance $D$ de la sortie, le point d’impact est à la hauteur $Y=y_s+D\tan \alpha$. Comme $\tan \alpha ={\displaystyle \frac{2y_s}{L}}$, la droite de sortie prolongée coupe l’axe $Ox$ au milieu des armatures : $Y=({\displaystyle \frac{L}{2}}+D)\tan \alpha$.

Électron dévié vers l’armature positive. Zone des armatures à l’échelle ($L=3,0$ cm, $d=2,0$ cm) ; la distance $D$ jusqu’à l’écran n’est pas à l’échelle.