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Lycée · Terminale · Spécialité Physique-Chimie

Mouvement dans un champ électrique

Trajectoire et dynamique d'une charge dans un champ électrique uniforme — programme Terminale Spécialité

À propos de cette page
Ce cours de spécialité physique-chimie en terminale sur « Mouvement dans un champ électrique » suit le programme officiel de spécialité physique-chimie de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Rappels : force électrique et champ électrique, Champ électrique uniforme entre les armatures d'un condensateur, Équation du mouvement : application de la deuxième loi de Newton, Équations horaires du mouvement. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en spécialité physique-chimie.
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Rappels : force électrique et champ électrique

Une particule de charge $q$ (en coulombs, C) placée dans un champ électrique $\vec{E}$ (en V/m ou N/C) subit une force électrique (ou force de Coulomb) :

Force électrique. $$\vec{F} = q\vec{E}$$

Si $q > 0$ (proton, ion positif) : $\vec{F}$ est dans le sens de $\vec{E}$.
Si $q < 0$ (électron, ion négatif) : $\vec{F}$ est dans le sens opposé à $\vec{E}$.

Unités clés. $[q] = \text{C}$, $[E] = \text{V/m} = \text{N/C}$, $[F] = \text{N}$, $[m] = \text{kg}$.

On rappelle que le champ électrique est lié à la tension $U$ entre deux plaques séparées d'une distance $d$ par :

$$E = \frac{U}{d}$$
Attention ! La charge de l'électron est $e = 1{,}6 \times 10^{-19}$ C (valeur positive). La charge de l'électron vaut $q_e = -e = -1{,}6 \times 10^{-19}$ C.
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Champ électrique uniforme entre les armatures d'un condensateur

Un condensateur plan est formé de deux plaques métalliques parallèles séparées d'une distance $d$, soumises à une tension $U$. Entre les armatures, le champ électrique est uniforme (même valeur en tout point) et perpendiculaire aux plaques.

Champ entre les armatures. $$E = \frac{U}{d}$$

Le champ $\vec{E}$ est dirigé de l'armature positive vers l'armature négative.

Exemple. Deux plaques distantes de $d = 5{,}0$ cm avec $U = 500$ V :
$E = \frac{500}{0{,}050} = 10^4$ V/m

Le champ étant uniforme, la force $\vec{F} = q\vec{E}$ est constante en direction, sens et norme. On retrouve ainsi la même situation qu'en champ de pesanteur uniforme.

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Équation du mouvement : application de la deuxième loi de Newton

On étudie le mouvement d'une particule de masse $m$ et de charge $q$ dans un champ électrique uniforme $\vec{E}$. On choisit un repère cartésien $(O, \vec{i}, \vec{j})$.

Bilan des forces :

  • Force électrique : $\vec{F_e} = q\vec{E}$
  • Poids : $\vec{P} = m\vec{g}$
En pratique, pour des particules légères (électrons, ions) dans un champ intense, le poids est souvent négligeable devant la force électrique.

Deuxième loi de Newton (poids négligé). $$m\vec{a} = q\vec{E}$$ $$\vec{a} = \frac{q}{m}\vec{E}$$

L'accélération est constante : le mouvement est uniformément accéléré dans la direction du champ.

Hypothèse simplificatrice. On néglige le poids si $|q|E \gg mg$, ce qui est le cas pour un électron ($m_e = 9{,}1 \times 10^{-31}$ kg) sous quelques dizaines de volts.
Attention au signe de $q$ ! Pour un électron ($q = -e$), $\vec{a}$ est orienté contre $\vec{E}$.
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Équations horaires du mouvement

On place l'origine en $O$ au point d'entrée de la particule dans le champ. Le champ $\vec{E}$ est selon $\vec{j}$ (vertical), la particule est lancée selon $\vec{i}$ (horizontal) avec la vitesse initiale $v_0$.

Équations horaires. L'accélération $\vec{a} = a_y \vec{j}$ avec $a_y = \frac{qE}{m}$.

Selon $x$ (pas de force) : $$x(t) = v_0 t$$Selon $y$ (force constante) : $$y(t) = \frac{1}{2} a_y t^2$$Composantes de la vitesse : $$v_x(t) = v_0 \quad \text{(constante)}$$ $$v_y(t) = a_y t$$
AxeForceMouvement
$x$NulleRectiligne uniforme
$y$$qE$ constanteUniformément accéléré
Exemple chiffré. Électron ($q = -1{,}6 \times 10^{-19}$ C, $m = 9{,}1 \times 10^{-31}$ kg) entrant avec $v_0 = 10^7$ m/s dans un champ $E = 5000$ V/m dirigé vers le haut :
$a_y = \frac{-1{,}6 \times 10^{-19} \times 5000}{9{,}1 \times 10^{-31}} \approx -8{,}8 \times 10^{14}$ m/s² (vers le bas)
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Étude de la trajectoire : la parabole électrique

Pour obtenir l'équation de la trajectoire, on élimine le paramètre $t$ entre les équations horaires.

De $x = v_0 t$, on tire $t = \frac{x}{v_0}$. En substituant dans $y(t)$ :

Équation de la trajectoire. $$y = \frac{a_y}{2v_0^2} x^2$$

C'est une parabole d'axe $Oy$, analogue à la trajectoire d'un projectile en champ de pesanteur.

Analogie.
• Champ gravitationnel : $\vec{g}$ constant → parabole balistique
• Champ électrique uniforme : $\vec{a} = \frac{q\vec{E}}{m}$ constant → parabole électrique
Les deux situations sont formellement identiques.
Calcul de la déviation. Une particule traverse un condensateur de longueur $L$. Elle sort au bout d'un temps $t_L = \frac{L}{v_0}$. La déviation selon $y$ à la sortie est :
$$y_L = \frac{a_y L^2}{2 v_0^2} = \frac{qEL^2}{2mv_0^2}$$
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Déviation d'un faisceau de particules chargées

Le principe de déviation par un champ électrique est utilisé dans de nombreux dispositifs : oscilloscope cathodique, spectromètre de masse, accélérateurs de particules.

Angle de déviation : à la sortie du condensateur, la particule a des vitesses $v_x = v_0$ et $v_y = a_y t_L = \frac{a_y L}{v_0}$. L'angle $\theta$ avec l'axe horizontal est :

Angle de sortie. $$\tan \theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{a_y L}{v_0^2} = \frac{qEL}{mv_0^2}$$

La déviation sur un écran placé à la distance $D$ de la sortie du condensateur vaut :

$$y_{\text{écran}} = y_L + D \tan \theta = \frac{qEL^2}{2mv_0^2} + \frac{qELD}{mv_0^2}$$
Oscillo cathodique. Dans un oscilloscope, deux paires de plaques (déviation $x$ et déviation $y$) permettent de positionner le spot électronique sur l'écran en faisant varier les tensions appliquées.
Piège. L'angle $\theta$ est l'angle à la sortie du condensateur, pas l'angle total sur l'écran. Il faut distinguer $y_L$ (déviation dans le condensateur) et la déviation supplémentaire $D\tan\theta$ après la sortie.
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Énergie et mouvement dans un champ électrique

La force électrique est une force conservative. Le travail effectué par $\vec{F_e} = q\vec{E}$ lors du déplacement d'une charge entre deux points $A$ et $B$ est :

Travail de la force électrique. $$W_{A \to B}(\vec{F_e}) = q(V_A - V_B) = qU_{AB}$$

où $V_A$ et $V_B$ sont les potentiels électriques en $A$ et $B$, et $U_{AB} = V_A - V_B$ est la tension entre $A$ et $B$.

Le théorème de l'énergie cinétique (TEC) s'applique directement :

TEC dans un champ électrique. $$\Delta E_c = E_{c,B} - E_{c,A} = W_{A \to B}(\vec{F_e}) = qU_{AB}$$$$\frac{1}{2}mv_B^2 - \frac{1}{2}mv_A^2 = qU_{AB}$$
Accélération d'un proton. Un proton ($q = +e = 1{,}6 \times 10^{-19}$ C, $m = 1{,}67 \times 10^{-27}$ kg) est accéléré depuis le repos par une tension $U = 1000$ V :
$v = \sqrt{\frac{2eU}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 1{,}6\times10^{-19} \times 1000}{1{,}67\times10^{-27}}} \approx 4{,}4 \times 10^5$ m/s
Électron-volt. L'électron-volt (eV) est l'énergie acquise par un électron accéléré par 1 V : $1 \text{ eV} = 1{,}6 \times 10^{-19}$ J.
En bref
  • Force électrique sur une charge : $\vec{F} = q\vec{E}$ (N/C = V/m).
  • Entre les armatures d'un condensateur plan : champ uniforme $E = U/d$.
  • Poids souvent négligeable pour les particules légères ; l'accélération $\vec{a} = q\vec{E}/m$ est constante.
  • Mouvement : uniforme selon $x$ (axe parallèle à $v_0$), uniformément accéléré selon $y$ (axe du champ).
  • Équation de trajectoire : $y = \frac{a_y}{2v_0^2} x^2$ — parabole.
  • Déviation à la sortie : $y_L = \frac{qEL^2}{2mv_0^2}$ ; angle : $\tan\theta = \frac{qEL}{mv_0^2}$.
  • Énergie : $\Delta E_c = qU_{AB}$ (TEC avec la force électrique).
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