Satellites et planètes : mouvement circulaire et lois de Kepler

Rappel de première. La loi de la gravitation universelle et la notion de champ ont été vues en première (Interactions fondamentales et notion de champ). On les utilise ici pour étudier le mouvement des satellites et des planètes.

Force exercée par un astre. Un astre de masse $M$ à répartition sphérique de masse agit, à l’extérieur, comme un point matériel placé en son centre O. Sur un corps de masse $m$ situé à la distance $r$ de O, il exerce une force attractive, dirigée vers O, de valeur

$F=G{\displaystyle \frac{mM}{r^2}}$   avec   $G=6,67\times {10}^{-11}$ m³·kg⁻¹·s⁻²

Champ de gravitation. En tout point situé à la distance $r$ de son centre, l’astre crée un champ $\overrightarrow{\mathcal{G}}$ dirigé vers ce centre, de valeur $\mathcal{G}=G{\displaystyle \frac{M}{r^2}}$ (en N·kg⁻¹), et un corps de masse $m$ placé en ce point subit la force $\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{\mathcal{G}}$. Le champ ne dépend que de l’astre et de la distance $r$, jamais du corps qui le subit. Il décroît comme ${\displaystyle \frac{1}{r^2}}$ : à l’échelle d’une orbite, il n’est pas uniforme ; on ne le traite comme uniforme que près du sol, sur un domaine petit devant le rayon de l’astre. Si plusieurs astres agissent, on additionne leurs champs (ou leurs forces), comme des vecteurs.

Distance au centre. Pour un corps à l’altitude $h$ au-dessus d’un astre de rayon $R$ : $r=R+h$, en mètres dans les formules. Pour la Terre : $M_T=5,97\times {10}^{24}$ kg, $R_T=6380$ km et $G{M}_T=3,98\times {10}^{14}$ m³·s⁻², produit qui revient dans presque tous les calculs d’orbite.

Référentiel d’étude. On choisit le référentiel lié au centre de l’astre attracteur, dont les axes pointent vers des étoiles lointaines : référentiel géocentrique pour la Lune ou un satellite artificiel de la Terre, héliocentrique pour une planète, une comète ou une sonde interplanétaire, et de même « jovicentrique » pour un satellite de Jupiter. On le suppose galiléen pendant la durée de l’étude.

Deuxième loi de Newton. Un corps soumis à la seule attraction de l’astre vérifie, dans ce référentiel, $m\overrightarrow{a}=m\overrightarrow{\mathcal{G}}$ (deuxième loi de Newton), donc $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathcal{G}}$ : son accélération est dirigée vers le centre de l’astre, de valeur $G{\displaystyle \frac{M}{r^2}}$, et ne dépend pas de sa masse.

Le modèle. Système : un satellite (ou une planète) de masse $m$, assimilé à son centre de masse, soumis à la seule attraction d’un astre de masse $M$ ; référentiel lié au centre de l’astre, supposé galiléen ; orbite supposée circulaire, de rayon $r$.

Démonstration (exigible). La force est dirigée vers le centre O : $\overrightarrow{F}=G{\displaystyle \frac{mM}{r^2}}{\overrightarrow{u}}_n$, où ${\overrightarrow{u}}_n$ est le vecteur unitaire du repère de Frenet dirigé vers O. La deuxième loi de Newton donne $\overrightarrow{a}=G{\displaystyle \frac{M}{r^2}}{\overrightarrow{u}}_n$. Or, dans le repère de Frenet (Mouvement : vecteurs position, vitesse et accélération), $\overrightarrow{a}={\displaystyle \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}}{\overrightarrow{u}}_t+{\displaystyle \frac{v^2}{r}}{\overrightarrow{u}}_n$. Par identification des coordonnées :

${\displaystyle \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}}=0$   et   ${\displaystyle \frac{v^2}{r}}=G{\displaystyle \frac{M}{r^2}}$

La valeur de la vitesse est constante : le mouvement circulaire est uniforme. Et la seconde égalité donne

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{GM}{r}}}$

Les deux vecteurs. Le vecteur vitesse est tangent à l’orbite, donc perpendiculaire au rayon, dans le sens du mouvement, de valeur $\sqrt{{\displaystyle \frac{GM}{r}}}$. Le vecteur accélération est centripète (dirigé vers le centre de l’astre), de valeur ${\displaystyle \frac{v^2}{r}}=G{\displaystyle \frac{M}{r^2}}$. La masse $m$ du satellite n’intervient pas, et plus l’orbite est haute, plus le satellite est lent.

Impesanteur. Dans un satellite, tout ce qu’il contient a la même accélération $\overrightarrow{\mathcal{G}}$ que lui : les objets ne s’appuient plus les uns sur les autres et semblent flotter. Le champ n’est pas nul pour autant : à 400 km d’altitude, il vaut encore près de 90 % de sa valeur au sol.

Période de révolution. C’est la durée $T$ d’un tour complet de l’orbite. Le mouvement étant uniforme, le satellite parcourt la circonférence $2\pi r$ à la vitesse $v$ :

$T={\displaystyle \frac{2\pi r}{v}}=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{r^3}{GM}}}$

Établir la troisième loi de Kepler (exigible). En élevant au carré : $T^2={\displaystyle \frac{4{\pi }^2{r}^2}{v^2}}={\displaystyle \frac{4{\pi }^2{r}^2}{GM/r}}={\displaystyle \frac{4{\pi }^2{r}^3}{GM}}$, donc

${\displaystyle \frac{T^2}{r^3}}={\displaystyle \frac{4{\pi }^2}{GM}}$

Ce rapport a la même valeur pour tous les corps en orbite autour du même astre : il ne dépend que de la masse $M$ de cet astre. C’est la troisième loi de Kepler, dans le cas d’une orbite circulaire.

Quatre usages. Calculer $T$ à partir de $r$ ; calculer le rayon à partir de la période, $r={\left({\displaystyle \frac{GM{T}^2}{4{\pi }^2}}\right)}^{1/3}$ ; « peser » l’astre central, $M={\displaystyle \frac{4{\pi }^2{r}^3}{G{T}^2}}$ ; comparer deux corps qui tournent autour du même astre, ${\displaystyle \frac{T_1^2}{r_1^3}}={\displaystyle \frac{T_2^2}{r_2^3}}$, soit $T_2=T_1{\left({\displaystyle \frac{r_2}{r_1}}\right)}^{3/2}$, où les unités se simplifient.

Méthode. 1. Je convertis en unités SI : $r$ en mètres, $T$ en secondes (1 jour = 86 400 s). 2. J’écris la formule littérale, puis j’isole l’inconnue. 3. Je calcule et je vérifie l’ordre de grandeur (une orbite basse dure environ 1 h 30).

Définition. Un satellite géostationnaire reste en permanence à la verticale du même point de l’équateur : pour un observateur terrestre, il paraît immobile dans le ciel. Une antenne fixe peut donc le viser en permanence (télévision, télécommunications, météorologie).

Trois conditions.

• l’orbite est circulaire : le satellite doit tourner à vitesse angulaire constante, comme la Terre, alors que sur une ellipse sa vitesse varierait (loi des aires, cas 5) ;
• elle est contenue dans le plan de l’équateur : la seule force est dirigée vers le centre de la Terre, donc le plan de l’orbite passe par ce centre ; or un point du sol décrit un cercle centré sur l’axe des pôles ; les deux cercles ne peuvent coïncider que dans le plan de l’équateur ;
• elle est parcourue dans le sens de rotation de la Terre (d’ouest en est), avec une période égale à la période de rotation de la Terre dans le référentiel géocentrique : le jour sidéral, $T=86164$ s (23 h 56 min 4 s).

Pourquoi pas 24 h ? Le jour solaire de 24 h ramène le Soleil au même endroit du ciel. Pendant ce temps, la Terre a avancé d’environ 1° sur son orbite autour du Soleil, et elle doit tourner d’un peu plus d’un tour sur elle-même. Un tour exact, par rapport aux étoiles lointaines, dure 86 164 s.

Un rayon imposé. La période étant fixée, la troisième loi de Kepler impose le rayon : $r={\left({\displaystyle \frac{G{M}_T{T}^2}{4{\pi }^2}}\right)}^{1/3}$. Tous les satellites géostationnaires sont sur le même cercle.

Vu du sol. Un satellite équatorial de période $T$ qui tourne d’ouest en est repasse au-dessus du même point de l’équateur au bout d’une durée $S$ telle que ${\displaystyle \frac{1}{S}}={\displaystyle \frac{1}{T}}-{\displaystyle \frac{1}{T_{\text{sid}}}}$ ; d’est en ouest, ${\displaystyle \frac{1}{S}}={\displaystyle \frac{1}{T}}+{\displaystyle \frac{1}{T_{\text{sid}}}}$. Il est immobile dans le ciel seulement si $T=T_{\text{sid}}$ dans le sens de rotation de la Terre.

Le cadre. Au début du XVIIe siècle, Johannes Kepler énonce trois lois à partir des observations des planètes. Elles valent pour tout corps en orbite autour d’un astre de masse très supérieure à la sienne (planète autour du Soleil, satellite autour d’une planète), dans le référentiel lié à cet astre.

Première loi — loi des orbites. Dans le référentiel héliocentrique, chaque planète décrit une ellipse dont le centre du Soleil occupe l’un des deux foyers. Le grand axe mesure $2a$ ; $a$ est le demi-grand axe. Le point le plus proche du Soleil est le périhélie, le plus éloigné l’aphélie (autour de la Terre : périgée et apogée ; autour d’un astre quelconque : péricentre et apocentre). Les deux sommets du grand axe donnent $r_p+r_a=2a$. Le cercle est une ellipse particulière, dont les deux foyers sont confondus au centre : alors $a=r$.

Deuxième loi — loi des aires. Le segment qui joint le Soleil à la planète balaie des aires égales pendant des durées égales. Près du Soleil, le segment est court : pour balayer la même aire, la planète doit parcourir un arc plus long. Elle va donc plus vite au périhélie qu’à l’aphélie, et le mouvement elliptique n’est pas uniforme. Pendant une courte durée $\Delta t$, l’aire balayée est presque celle d’un triangle ; aux deux sommets du grand axe, où la vitesse est perpendiculaire au rayon, ce triangle a pour hauteur $r$ et pour base $v\Delta t$, donc pour aire ${\displaystyle \frac{1}{2}}rv\Delta t$. L’égalité des aires donne $r_p{v}_p=r_a{v}_a$.

Troisième loi — loi des périodes. Pour tous les corps qui tournent autour du même astre, ${\displaystyle \frac{T^2}{a^3}}$ a la même valeur, égale à ${\displaystyle \frac{4{\pi }^2}{GM}}$ (établi au cas 3 pour un cercle, où $a=r$). Pour le système solaire, avec $T$ en années et $a$ en unités astronomiques (1 ua $=1,496\times {10}^{11}$ m, distance moyenne Terre-Soleil), ${\displaystyle \frac{T^2}{a^3}}=1$, donc $T=a^{3/2}$.

La capacité numérique du programme. On exploite, avec un langage de programmation, des données astronomiques (planètes, lunes) ou satellitaires (satellites artificiels) pour tester les deuxième et troisième lois de Kepler.

Tester la troisième loi. On calcule ${\displaystyle \frac{T^2}{a^3}}$ pour chaque corps, ou l’on trace $T^2$ en fonction de $a^3$. Si les rapports sont égaux, aux arrondis près, et si les points sont alignés sur une droite passant par l’origine, la loi est vérifiée. Le coefficient directeur $k$ de cette droite vaut ${\displaystyle \frac{4{\pi }^2}{GM}}$ : il donne la masse de l’astre central, $M={\displaystyle \frac{4{\pi }^2}{Gk}}$, à condition d’avoir pris $a$ en mètres et $T$ en secondes.

# Troisième loi de Kepler : planètes
import matplotlib.pyplot as plt
nom = ["Mercure", "Vénus", "Terre", "Jupiter"]
a = [0.387, 0.723, 1.000, 5.203]   # en ua
T = [0.241, 0.615, 1.000, 11.86]   # en années
for i in range(len(a)):
    k = T[i]**2 / a[i]**3
    print(nom[i], round(k, 3))
X = [x**3 for x in a]
Y = [t**2 for t in T]
plt.plot(X, Y, "o")
plt.xlabel("a³ (ua³)")
plt.ylabel("T² (an²)")
plt.show()

Tester la deuxième loi. On dispose de positions successives $(x_i;y_i)$ relevées à intervalles de temps égaux, l’astre central étant à l’origine. Pendant un intervalle court, l’aire balayée est presque celle du triangle formé par l’origine et deux positions successives : $A={\displaystyle \frac{1}{2}}|x_i{y}_{i+1}-x_{i+1}{y}_i|$. Si ces aires sont égales, la loi des aires est vérifiée ; la distance entre deux positions, divisée par la durée, donne une valeur approchée de la vitesse.

# Deuxième loi : aire balayée entre deux relevés
# (x, y) : positions, Soleil à l’origine
for i in range(len(x) - 1):
    A = 0.5 * abs(x[i]*y[i+1] - x[i+1]*y[i])
    print(i, round(A, 4))

Syntaxe utile. La puissance s’écrit ** (et non ^) ; $a^{3/2}$ s’écrit a**1.5 ou a**(3/2), avec les parenthèses ; le séparateur décimal est le point.