À propos de cette page
Ce cours de spécialité physique-chimie en terminale sur « Mouvement dans un champ gravitationnel » suit le programme officiel de spécialité physique-chimie de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Gravitation universelle et champ gravitationnel, Mouvement des satellites : orbite circulaire, Lois de Kepler, Énergie mécanique dans un champ gravitationnel. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en spécialité physique-chimie.
Au programme
1 · Gravitation universelle et champ gravitationnel
2 · Mouvement des satellites : orbite circulaire
3 · Lois de Kepler
4 · Énergie mécanique dans un champ gravitationnel
5 · Vitesse de libération et vitesse de première cosmique
6 · Chute libre et trajectoire parabolique
7 · Applications : satellites artificiels et sondes spatiales
1Gravitation universelle et champ gravitationnel
La loi de gravitation universelle de Newton (1687) établit que deux corps ponctuels de masses $M$ et $m$, séparés d'une distance $r$, s'attirent avec une force :
Loi de Newton. $$\vec{F}_{M \to m} = -G\frac{Mm}{r^2}\hat{r}$$ où $G = 6{,}674 \times 10^{-11}\,\text{N·m}^2\text{·kg}^{-2}$ est la constante de gravitation universelle, et $\hat{r}$ est le vecteur unitaire de $M$ vers $m$. La force est attractive, centrale, et suit une loi en $1/r^2$.
On définit le champ gravitationnel $\vec{g}(M)$ créé par un corps de masse $M$ en un point situé à la distance $r$ :
Champ gravitationnel. $$\vec{g} = -G\frac{M}{r^2}\hat{r}$$ La force exercée sur un objet de masse $m$ placé en ce point est alors $\vec{F} = m\vec{g}$.
À la surface terrestre ($r = R_T \approx 6{,}37 \times 10^6\,\text{m}$, $M_T \approx 5{,}97 \times 10^{24}\,\text{kg}$), on obtient $g \approx 9{,}81\,\text{m·s}^{-2}$.
Astuce. Le champ gravitationnel est le rapport $\vec{g} = \vec{F}/m$ : c'est une propriété du point de l'espace, indépendante de $m$. On parle de champ car $\vec{g}$ est défini en tout point.
2Mouvement des satellites : orbite circulaire
Un satellite de masse $m$ en orbite circulaire de rayon $r$ autour d'un astre de masse $M$ est soumis uniquement à la force de gravitation (on néglige les frottements). La deuxième loi de Newton appliquée à ce mouvement circulaire donne :
Vitesse orbitale circulaire. $$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$$ La période de révolution est : $$T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}$$
Démonstration : En orbite circulaire, la force gravitationnelle fournit la force centripète :
$$G\frac{Mm}{r^2} = m\frac{v^2}{r} \Rightarrow v^2 = \frac{GM}{r}$$
Exemple. Pour la Station Spatiale Internationale (ISS) à $r = R_T + 400\,\text{km} \approx 6{,}77 \times 10^6\,\text{m}$ :
$v = \sqrt{\frac{6{,}674 \times 10^{-11} \times 5{,}97 \times 10^{24}}{6{,}77 \times 10^6}} \approx 7{,}67\,\text{km·s}^{-1}$
Période : $T \approx 92\,\text{min}$.
Attention ! $r$ est la distance au centre de l'astre, pas à sa surface. Ne pas confondre altitude $h$ et rayon orbital $r = R + h$.
| Grandeur | Formule | Unité SI |
|---|
| Vitesse orbitale | $v = \sqrt{GM/r}$ | m·s⁻¹ |
| Période | $T = 2\pi\sqrt{r^3/(GM)}$ | s |
| Accélération centripète | $a = GM/r^2 = g(r)$ | m·s⁻² |
3Lois de Kepler
Johannes Kepler (1571–1630) a énoncé trois lois empiriques décrivant le mouvement des planètes, que Newton a ensuite justifiées par la loi de gravitation universelle.
1re loi de Kepler (loi des orbites). Les planètes décrivent des ellipses dont le Soleil occupe l'un des foyers. (Le cercle est un cas particulier d'ellipse.)
2e loi de Kepler (loi des aires). Le segment reliant le Soleil à une planète balaie des aires égales en des durées égales. La planète est plus rapide au périhélie (plus proche du Soleil) et plus lente à l'aphélie (plus éloignée).
3e loi de Kepler (loi des périodes). Pour toutes les planètes d'un même système : $$\frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{GM}$$ où $a$ est le demi-grand axe de l'ellipse et $M$ la masse de l'astre central. Cette constante est la même pour tous les objets en orbite autour du même astre.
Exemple — Vérification pour la Terre et Mars.
Terre : $T_T = 1\,\text{an}$, $a_T = 1\,\text{UA}$ → $T_T^2/a_T^3 = 1\,\text{an}^2\text{·UA}^{-3}$
Mars : $T_M = 1{,}88\,\text{an}$, $a_M = 1{,}524\,\text{UA}$ → $T_M^2/a_M^3 = 1{,}88^2/1{,}524^3 \approx 0{,}999 \approx 1\,\text{an}^2\text{·UA}^{-3}$ ✓
Astuce. La 3e loi permet de calculer la masse de l'astre central si on connaît $T$ et $a$ : $M = \frac{4\pi^2 a^3}{GT^2}$. C'est ainsi qu'on a pu « peser » le Soleil !
4Énergie mécanique dans un champ gravitationnel
Dans un champ gravitationnel, l'énergie potentielle de gravitation d'un objet de masse $m$ à la distance $r$ du centre d'un astre de masse $M$ est :
Énergie potentielle de gravitation. $$E_p = -G\frac{Mm}{r}$$ Convention : $E_p \to 0$ quand $r \to +\infty$. L'énergie est négative (puits de potentiel).
L'énergie cinétique du satellite est $E_c = \frac{1}{2}mv^2$. L'énergie mécanique totale est :
Énergie mécanique. $$E_m = E_c + E_p = \frac{1}{2}mv^2 - G\frac{Mm}{r}$$
Pour une orbite circulaire, on montre que :
Énergie mécanique en orbite circulaire. $$E_m = -\frac{GMm}{2r} = \frac{E_p}{2} = -E_c$$
| Type d'orbite | $E_m$ | Trajectoire |
|---|
| Liée | $E_m < 0$ | Ellipse (ou cercle) |
| Parabolique | $E_m = 0$ | Parabole (escape) |
| Hyperbolique | $E_m > 0$ | Hyperbole (éjection) |
Attention ! Quand un satellite monte en altitude (transfert vers une orbite plus haute), son énergie cinétique diminue mais son énergie potentielle augmente davantage → on lui fournit de l'énergie ($E_m$ augmente).
5Vitesse de libération et vitesse de première cosmique
Deux vitesses caractéristiques sont fondamentales pour les missions spatiales :
Vitesse de première cosmique (orbite circulaire rasante). C'est la vitesse minimale pour mettre un objet en orbite circulaire à la surface d'un astre ($r = R$) : $$v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}} = \sqrt{gR}$$ Pour la Terre : $v_1 \approx 7{,}9\,\text{km·s}^{-1}$.
Vitesse de libération (deuxième vitesse cosmique). C'est la vitesse minimale pour qu'un objet lancé depuis la surface puisse s'échapper indéfiniment du champ gravitationnel ($E_m = 0$) : $$v_L = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = v_1\sqrt{2}$$ Pour la Terre : $v_L \approx 11{,}2\,\text{km·s}^{-1}$.
Exemple. Pour la Lune ($M_L = 7{,}34 \times 10^{22}\,\text{kg}$, $R_L = 1{,}74 \times 10^6\,\text{m}$) :
$v_L = \sqrt{\frac{2 \times 6{,}674 \times 10^{-11} \times 7{,}34 \times 10^{22}}{1{,}74 \times 10^6}} \approx 2{,}4\,\text{km·s}^{-1}$
C'est pourquoi la Lune a très peu d'atmosphère : les molécules de gaz s'échappent facilement.
Astuce. La vitesse de libération est $\sqrt{2}$ fois la vitesse de première cosmique : $v_L = \sqrt{2}\,v_1$. À retenir !
6Chute libre et trajectoire parabolique
Près de la surface terrestre, si on néglige les frottements et si $h \ll R_T$, le champ gravitationnel est uniforme : $\vec{g} = -g\vec{j}$ avec $g = 9{,}81\,\text{m·s}^{-2}$. Un objet soumis uniquement à la pesanteur est en chute libre.
En projetant la 2e loi de Newton sur les axes $Ox$ (horizontal) et $Oy$ (vertical) :
Équations du mouvement (chute libre). $$x(t) = x_0 + v_{x0}\,t \qquad y(t) = y_0 + v_{y0}\,t - \frac{1}{2}g\,t^2$$ Le mouvement horizontal est rectiligne uniforme, le mouvement vertical est uniformément accéléré.
En éliminant le paramètre $t$, on obtient l'équation de la trajectoire :
Trajectoire (équation cartésienne). $$y = y_0 + \frac{v_{y0}}{v_{x0}}(x - x_0) - \frac{g}{2v_{x0}^2}(x - x_0)^2$$ C'est une parabole d'axe vertical.
Exemple. Un projectile lancé horizontalement depuis $h = 20\,\text{m}$ avec $v_0 = 15\,\text{m·s}^{-1}$ :
Durée de chute : $t = \sqrt{2h/g} = \sqrt{2 \times 20/9{,}81} \approx 2{,}02\,\text{s}$
Portée : $x = v_0 t \approx 15 \times 2{,}02 \approx 30{,}3\,\text{m}$
Attention ! La chute libre n'est valable que si les frottements de l'air sont négligeables. Pour un satellite, c'est le cas ; mais pour un objet dense lancé à grande vitesse dans l'atmosphère, il faut tenir compte des frottements.
7Applications : satellites artificiels et sondes spatiales
Les satellites artificiels ont des applications multiples : télécommunications, météorologie, navigation GPS, observation de la Terre. Leur orbite est choisie selon leur mission.
Satellite géostationnaire. Un satellite géostationnaire a une période $T = 24\,\text{h}$ (égale à la rotation de la Terre) et orbite dans le plan équatorial. Son altitude est fixe ($h \approx 36\,000\,\text{km}$). Il paraît immobile depuis le sol.
Calcul du rayon géostationnaire :
$$r_{GEO} = \left(\frac{GM_T T^2}{4\pi^2}\right)^{1/3} \approx 4{,}22 \times 10^7\,\text{m}$$
soit une altitude $h = r_{GEO} - R_T \approx 35\,800\,\text{km}$.
Transfert de Hohmann. Pour passer d'une orbite circulaire basse à une orbite haute, on utilise le transfert de Hohmann : une demi-ellipse tangente aux deux orbites. Deux impulsions successives suffisent, ce qui minimise la consommation de carburant.
Les sondes spatiales (Voyager, New Horizons…) utilisent des assistances gravitationnelles (effet de fronde) pour acquérir de l'énergie cinétique au passage près d'une planète, sans consommer de carburant.
★À retenir
En bref :
• Force de gravitation : $F = G\frac{Mm}{r^2}$ (attractive, en $1/r^2$)
• Champ gravitationnel : $\vec{g} = -G\frac{M}{r^2}\hat{r}$
• Orbite circulaire : $v = \sqrt{GM/r}$, $T = 2\pi\sqrt{r^3/(GM)}$
• 3e loi de Kepler : $T^2/a^3 = 4\pi^2/(GM)$ = constante
• Énergie méca. circulaire : $E_m = -GMm/(2r) < 0$
• Vitesse de libération : $v_L = \sqrt{2GM/R} \approx 11{,}2\,\text{km/s}$ (Terre)
• Chute libre : trajectoire parabolique si $v_{x0} \neq 0$