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Formulaire : sommes de variables aléatoires

Linéarité de l’espérance, variance d’une transformation affine, variance d’une somme de variables indépendantes, somme et moyenne d’un échantillon de taille n, espérance et variance de la loi binomiale par décomposition.

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Sommes de variables aléatoires

Fiche tableaux : les formules à connaître

(Spécialité maths Terminale)

Espérance : toujours linéaire

Variable	Espérance	Hypothèse
$X + Y$	$E (X) + E (Y)$	aucune
$a X + b$	$a E (X) + b$	aucune
$a X + b Y + c$	$a E (X) + b E (Y) + c$	aucune
$X_{1} + \dots + X_{n}$	$E (X_{1}) + \dots + E (X_{n})$	aucune

Exemple : si $E (X) = 2, 5$ , alors $E (4 X - 1) = 4 \times 2, 5 - 1 = 9$ .

Variance et écart type de aX + b

Formule	À retenir
$V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2}$	formule de König-Huygens
$V (a X + b) = a^{2} V (X)$	coefficient au carré
$σ (a X + b) = \| a \| σ (X)$	valeur absolue
$V (X + b) = V (X)$	la constante disparaît

Exemple : si $σ (X) = 0, 7$ , alors $σ (- 10 X + 3) = 10 \times 0, 7 = 7$ .

Somme de variables indépendantes

Variable	Variance (si $X$ et $Y$ indépendantes)
$X + Y$	$V (X) + V (Y)$
$X - Y$	$V (X) + V (Y)$
$a X + b Y + c$	$a^{2} V (X) + b^{2} V (Y)$
$X_{1} + \dots + X_{n}$	$V (X_{1}) + \dots + V (X_{n})$

Écart type : $σ (X + Y) = \sqrt{V (X) + V (Y)}$ . Exemple : $V (X) = 10$ et $V (Y) = 6$ donnent $V (X - Y) = 16$ et $σ (X - Y) = 4$ .

Échantillon de taille n

	Espérance	Variance	Écart type
Somme $S_{n}$	$n μ$	$n σ^{2}$	$σ \sqrt{n}$
Moyenne $M_{n}$	$μ$	$\frac{σ^{2}}{n}$	$\frac{σ}{\sqrt{n}}$

Ici $E (X) = μ$ et $V (X) = σ^{2}$ . Exemple : $σ = 9$ et $n = 81$ donnent $σ (S_{81}) = 81$ et $σ (M_{81}) = 1$ .

Bernoulli et loi binomiale

Loi	Espérance	Variance
Bernoulli de paramètre $p$	$p$	$p (1 - p)$
$S_{n}$ de loi $ℬ (n; p)$	$n p$	$n p (1 - p)$
Fréquence $F = \frac{S_{n}}{n}$	$p$	$\frac{p (1 - p)}{n}$

Écart type : racine carrée de la variance, par exemple $σ (S_{n}) = \sqrt{n p (1 - p)}$ .

Exemple : pour $ℬ (100; 0, 1)$ , $E = 10$ , $V = 9$ , $σ = 3$ , et la fréquence a pour écart type $0, 03$ .

Ce qui exige l’indépendance

Résultat	Indépendance à citer ?
$E (X + Y) = E (X) + E (Y)$	non
$V (a X + b) = a^{2} V (X)$	non (une seule variable)
$V (X + Y) = V (X) + V (Y)$	oui
$V (S_{n}) = n σ^{2}$ , $V (M_{n}) = \frac{σ^{2}}{n}$	oui (échantillon)
$X + Y$ de loi $ℬ (n + m; p)$	oui, et même $p$

Contre-exemple : avec $Y = X$ , $V (X + Y) = V (2 X) = 4 V (X)$ , et non $2 V (X)$ .

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À propos de cette page

La fiche de révision des sommes de variables aléatoires en tableaux : linéarité de l’espérance, variance et écart type de aX + b, variance d’une somme de variables indépendantes, somme et moyenne d’un échantillon de taille n, Bernoulli, loi binomiale et fréquence, et ce qui exige l’indépendance. Chaque tableau est suivi d’un exemple court ; la fiche se télécharge en PDF.

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