Comment calculer l'espérance d'une somme de variables aléatoires ?

L'espérance est linéaire : pour deux variables aléatoires X et Y définies sur le même univers, E(X + Y) = E(X) + E(Y), et E(aX + b) = aE(X) + b. Cette formule est toujours vraie, que les variables soient indépendantes ou non.

Quand a-t-on V(X + Y) = V(X) + V(Y) ?

Seulement lorsque X et Y sont indépendantes. Dans ce cas la variance de la somme est la somme des variances, et l'écart type vaut la racine carrée de cette somme. Sans indépendance, la formule est fausse : par exemple V(X + X) = V(2X) = 4V(X), et non 2V(X).

Qu'est-ce qu'un échantillon de taille n d'une variable aléatoire ?

C'est une liste X1, X2, …, Xn de n variables aléatoires indépendantes qui suivent toutes la même loi que X. Si X a pour espérance μ et pour écart type σ, la somme Sn a pour espérance nμ et pour écart type σ√n ; la moyenne Mn = Sn/n a pour espérance μ et pour écart type σ/√n.

Quel est le lien entre somme de variables aléatoires et loi binomiale ?

Une variable qui suit la loi binomiale B(n ; p) est la somme de n variables de Bernoulli indépendantes de même paramètre p. C'est ainsi que l'on démontre E(X) = np et V(X) = np(1 − p) : on additionne les espérances p et les variances p(1 − p) de chaque variable de Bernoulli.

Pourquoi l'écart type de la moyenne diminue-t-il quand n augmente ?

Parce que V(Mn) = V(X)/n : la variance de la moyenne d'un échantillon est divisée par la taille n, donc l'écart type est divisé par √n. Pour diviser l'écart type de la moyenne par 2, il faut multiplier la taille de l'échantillon par 4. C'est le principe qui prépare la loi des grands nombres.

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Sommes de variables aléatoires

Espérance et variance d'une somme, échantillon de variables indépendantes, application à la loi binomiale (programme de Terminale spécialité maths)

À propos de cette page

Ce cours de spécialité mathématiques en terminale sur « Sommes de variables aléatoires » suit le programme officiel de spécialité mathématiques de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : L'essentiel : espérance et variance d'une somme, Variables aléatoires indépendantes, Échantillon de taille n : somme et moyenne, Application : la loi binomiale comme somme de Bernoulli. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en spécialité mathématiques.

L'essentiel : espérance et variance d'une somme

Linéarité de l'espérance. Soit

X

Y

deux variables aléatoires définies sur un même univers fini, et

a

b

deux réels. Alors :

E (X + Y) = E (X) + E (Y) et E (a X + b) = a E (X) + b .

Ces formules sont toujours vraies, sans aucune hypothèse d'indépendance.

Variance d'une transformation affine. Pour tous réels

a

b

V (a X + b) = a^{2} V (X) et σ (a X + b) = | a | σ (X) .

Ajouter une constante ne change pas la dispersion ; multiplier par

a

multiplie la variance par

a^{2}

Exemple.

X

vérifie

E (X) = 1, 2

V (X) = 0, 5

. Alors

E (4 X + 3) = 4 \times 1, 2 + 3 = 7, 8

V (4 X + 3) = 4^{2} \times 0, 5 = 8

, donc

σ (4 X + 3) = \sqrt{8} \approx 2, 83

Variance d'une somme (variables indépendantes). Si

X

Y

sont indépendantes :

V (X + Y) = V (X) + V (Y) .

Plus généralement, si

X_{1}, \dots, X_{n}

sont indépendantes deux à deux :

V (X_{1} + \dots + X_{n}) = V (X_{1}) + \dots + V (X_{n})

Exemple.

X

Y

indépendantes avec

E (X) = 3

V (X) = 2

E (Y) = 5

V (Y) = 4

. Alors

E (X + Y) = 8

V (X + Y) = 6

, d'où

σ (X + Y) = \sqrt{6} \approx 2, 45

. Remarquer que

σ (X + Y) \neq σ (X) + σ (Y)

: les écarts types ne s'ajoutent pas, seules les variances s'ajoutent.

Variables aléatoires indépendantes

Définition. Deux variables aléatoires

X

Y

sont indépendantes si, pour toute valeur

x

prise par

X

et toute valeur

y

prise par

Y

P (X = x et Y = y) = P (X = x) \times P (Y = y) .

Intuitivement : connaître la valeur de

X

ne renseigne pas sur celle de

Y

En pratique. On ne vérifie presque jamais la définition. L'indépendance est donnée par la situation : deux lancers successifs d'un dé, deux tirages avec remise, deux pièces fabriquées par des machines distinctes, deux clients qui ne se connaissent pas. Elle doit être citée explicitement dans la rédaction avant d'additionner des variances.

Exemple : somme de deux dés. On lance deux dés équilibrés à six faces ;

X_{1}

X_{2}

sont les résultats, indépendants. Pour un dé :

E (X_{1}) = 3, 5

V (X_{1}) = \frac{35}{12}

. La somme

S = X_{1} + X_{2}

vérifie donc

E (S) = 7

et, par indépendance,

V (S) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6} \approx 5, 83

, soit

σ (S) \approx 2, 42

Sans indépendance, la formule des variances tombe. Avec

Y = X

, la somme

X + Y

vaut

2 X

V (2 X) = 4 V (X)

, alors que

V (X) + V (Y) = 2 V (X)

. Avec

Y = - X

, la somme est nulle et sa variance est

0

, pas

2 V (X)

Échantillon de taille n : somme et moyenne

Définition. Un échantillon de taille $n$ de la loi de

X

est une liste

(X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n})

n

variables aléatoires indépendantes et de même loi que

X

. On note

S_{n} = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}

la somme et

M_{n} = \frac{S_{n}}{n}

la moyenne de l'échantillon.

Propriété. Si

E (X) = μ

V (X) = σ^{2}

, alors :

	Espérance	Variance	Écart type
Somme $S_{n}$	$n μ$	$n σ^{2}$	$σ \sqrt{n}$
Moyenne $M_{n}$	$μ$	$\frac{σ^{2}}{n}$	$\frac{σ}{\sqrt{n}}$

Démonstration exigible. Par linéarité,

E (S_{n}) = E (X_{1}) + \dots + E (X_{n}) = n μ

. Les

X_{i}

étant indépendantes,

V (S_{n}) = V (X_{1}) + \dots + V (X_{n}) = n σ^{2}

. Puis

M_{n} = \frac{1}{n} S_{n}

, donc

E (M_{n}) = \frac{1}{n} \times n μ = μ

V (M_{n}) = \frac{1}{n^{2}} \times n σ^{2} = \frac{σ^{2}}{n}

. Les écarts types s'obtiennent par racine carrée.

Exemple. Un dé tétraédrique équilibré donne

X \in {1; 2; 3; 4}

avec

μ = 2, 5

σ^{2} = \frac{1 + 4 + 9 + 16}{4} - 2, 5^{2} = 1, 25

. Pour

n = 40

lancers :

E (S_{40}) = 100

V (S_{40}) = 50

σ (S_{40}) \approx 7, 07

; et

E (M_{40}) = 2, 5

V (M_{40}) = \frac{1, 25}{40} = 0, 03125

σ (M_{40}) \approx 0, 177

Lecture. Quand

n

grandit, la somme se disperse de plus en plus (en

\sqrt{n}

) mais la moyenne se concentre autour de

μ

(en

1 / \sqrt{n}

). Diviser

σ (M_{n})

par 2 exige de multiplier

n

par 4 ; le diviser par 10 exige de multiplier

n

par 100.

Application : la loi binomiale comme somme de Bernoulli

Rappel. Une variable de Bernoulli de paramètre

p

prend la valeur

1

avec probabilité

p

0

avec probabilité

1 - p

. On a

E (X) = p

V (X) = p (1 - p)

Propriété. Si

X_{1}, \dots, X_{n}

est un échantillon de taille

n

de la loi de Bernoulli de paramètre

p

, alors

S_{n} = X_{1} + \dots + X_{n}

suit la loi binomiale

B (n; p)

: elle compte le nombre de succès dans

n

épreuves indépendantes de probabilité

p

Démonstration exigible : espérance et variance de la loi binomiale.

E (X_{i}) = 1 \times p + 0 \times (1 - p) = p

E (X_{i}^{2}) = 1^{2} \times p + 0 = p

, donc

V (X_{i}) = p - p^{2} = p (1 - p)

. Par linéarité,

E (S_{n}) = n p

. Par indépendance des

X_{i}

V (S_{n}) = n p (1 - p)

, d'où

σ (S_{n}) = \sqrt{n p (1 - p)}

Exemple. Un tir au but est réussi avec probabilité

0, 3

. Sur

50

tirs indépendants, le nombre de réussites

S

suit

B (50; 0, 3)

E (S) = 15

V (S) = 50 \times 0, 3 \times 0, 7 = 10, 5

σ (S) \approx 3, 24

. La fréquence de réussite

F = \frac{S}{50}

a pour espérance

0, 3

et pour écart type

\frac{3, 24}{50} \approx 0, 065

Deux binomiales ne s'additionnent pas toujours. Si

X ~ B (n; p)

Y ~ B (m; p)

sont indépendantes avec le même $p$ , alors

X + Y ~ B (n + m; p)

. Si les paramètres

p

diffèrent, ou si l'on calcule

X - Y

, la somme n'est plus binomiale, même si l'espérance et la variance se calculent toujours.

Méthodes

Méthode 1 — Calculer l'espérance et la variance d'une combinaison $a X + b Y + c$

Écrire l'espérance par linéarité : $E (a X + b Y + c) = a E (X) + b E (Y) + c$ (aucune hypothèse nécessaire).
Pour la variance, justifier l'indépendance de $X$ et $Y$ à partir de l'énoncé.
Appliquer $V (a X + b Y + c) = a^{2} V (X) + b^{2} V (Y)$ : la constante disparaît, les coefficients sont élevés au carré (y compris s'ils sont négatifs).
Conclure par $σ = \sqrt{V}$ , arrondi seulement à la fin.

Exemple rédigé.

X

Y

sont indépendantes,

E (X) = 6

V (X) = 9

E (Y) = 10

V (Y) = 16

. On pose

T = 2 X - 3 Y + 5

.
Espérance :

E (T) = 2 \times 6 - 3 \times 10 + 5 = 12 - 30 + 5 = - 13

.
Variance : comme

X

Y

sont indépendantes,

V (T) = 2^{2} \times 9 + (- 3)^{2} \times 16 = 36 + 144 = 180

.
Écart type :

σ (T) = \sqrt{180} \approx 13, 4

Méthode 2 — Traiter un échantillon de taille $n$

Identifier la variable $X$ répétée et calculer $μ = E (X)$ et $σ^{2} = V (X)$ sur une seule répétition.
Vérifier que les répétitions sont indépendantes et de même loi : c'est ce qui autorise les formules.
Pour la somme : $E (S_{n}) = n μ$ , $V (S_{n}) = n σ^{2}$ , $σ (S_{n}) = σ \sqrt{n}$ .
Pour la moyenne : $E (M_{n}) = μ$ , $V (M_{n}) = \frac{σ^{2}}{n}$ , $σ (M_{n}) = \frac{σ}{\sqrt{n}}$ .

Exemple rédigé. Une machine remplit des sachets ; la masse

X

d'un sachet vérifie

E (X) = 252

g et

σ (X) = 6

g, les sachets étant indépendants. Pour un carton de

n = 25

sachets,

S_{25}

est la masse totale.
Les

X_{i}

forment un échantillon de taille 25 de la loi de

X

E (S_{25}) = 25 \times 252 = 6 300

V (S_{25}) = 25 \times 6^{2} = 900

, donc

σ (S_{25}) = \sqrt{900} = 30

g.
La masse moyenne

M_{25}

vérifie

E (M_{25}) = 252

g et

σ (M_{25}) = \frac{6}{\sqrt{25}} = 1, 2

g : la moyenne est cinq fois moins dispersée qu'un sachet isolé.

Méthode 3 — Déterminer la taille $n$ pour atteindre une précision

Exprimer la grandeur imposée en fonction de $n$ : le plus souvent $σ (M_{n}) = \frac{σ}{\sqrt{n}}$ .
Traduire la contrainte en inéquation, par exemple $\frac{σ}{\sqrt{n}} ⩽ s$ .
Isoler $\sqrt{n}$ puis élever au carré : $n ⩾ {(\frac{σ}{s})}^{2}$ .
Prendre le plus petit entier convenable et vérifier par le calcul.

Exemple rédigé. Ici

σ (X) = 6

g et l'on veut

σ (M_{n}) ⩽ 0, 5

\frac{6}{\sqrt{n}} ⩽ 0, 5 ⟺ \sqrt{n} ⩾ \frac{6}{0, 5} = 12 ⟺ n ⩾ 144

.
Il faut donc au moins 144 sachets. Vérification :

\frac{6}{\sqrt{144}} = \frac{6}{12} = 0, 5

g, la contrainte est bien atteinte.

Méthode 4 — Retrouver $E$ et $V$ d'une loi binomiale par décomposition

Décrire l'expérience comme $n$ épreuves identiques et indépendantes à deux issues.
Poser $X_{i} = 1$ si la $i$ -ième épreuve est un succès, $0$ sinon, et écrire $S_{n} = X_{1} + \dots + X_{n}$ .
Calculer $E (X_{i}) = p$ et $V (X_{i}) = p (1 - p)$ .
Conclure : $E (S_{n}) = n p$ et, par indépendance, $V (S_{n}) = n p (1 - p)$ .

Exemple rédigé. Un QCM comporte 32 questions à 4 options, répondues au hasard et indépendamment. Soit

X_{i} = 1

si la question

i

est juste :

p = 0, 25

E (X_{i}) = 0, 25

V (X_{i}) = 0, 25 \times 0, 75 = 0, 1875

.
Le nombre de bonnes réponses

S = X_{1} + \dots + X_{32}

suit

B (32; 0, 25)

E (S) = 32 \times 0, 25 = 8

V (S) = 32 \times 0, 1875 = 6

, donc

σ (S) = \sqrt{6} \approx 2, 45

: on attend 8 bonnes réponses, à environ 2,4 près.

Pièges et erreurs classiques

1. Additionner des variances sans indépendance.

V (X + Y) = V (X) + V (Y)

n'est valable que si

X

Y

sont indépendantes. Toute rédaction doit contenir la phrase « les variables sont indépendantes » avant cette ligne.

2. Additionner des écarts types.

σ (X + Y) \neq σ (X) + σ (Y)

. On additionne les variances, puis on prend la racine : avec

σ (X) = 3

σ (Y) = 4

indépendantes,

σ (X + Y) = \sqrt{9 + 16} = 5

, et non

7

3. Oublier le carré du coefficient.

V (3 X) = 9 V (X)

, pas

3 V (X)

. Et

V (- X) = V (X)

: un coefficient négatif ne diminue jamais la variance.

4. Croire que $V (X + b) = V (X) + b$ . Ajouter une constante translate la loi sans la disperser :

V (X + b) = V (X)

5. Confondre $S_{n}$ et $M_{n}$ . La somme se disperse (

σ \sqrt{n}

), la moyenne se concentre (

σ / \sqrt{n}

). Lire l'énoncé : « total », « masse du carton »

\Rightarrow S_{n}

; « moyenne », « fréquence »

\Rightarrow M_{n}

6. Confondre $σ$ et $σ^{2}$ . Les formules d'échantillon portent sur la variance. Si l'énoncé donne l'écart type, il faut l'élever au carré avant de multiplier par

n

7. Croire que la somme de deux binomiales est binomiale. C'est vrai seulement si elles sont indépendantes et de même probabilité

p

; sinon seules

E

V

restent calculables.

En bref

$E (X + Y) = E (X) + E (Y)$ et $E (a X + b) = a E (X) + b$ : toujours vrai, indépendance non requise.
$V (a X + b) = a^{2} V (X)$ et $σ (a X + b) = | a | σ (X)$ .
$V (X + Y) = V (X) + V (Y)$ seulement si $X$ et $Y$ sont indépendantes ; les écarts types ne s'additionnent jamais.
Échantillon de taille $n$ : $n$ variables indépendantes de même loi que $X$ , avec $E (X) = μ$ et $V (X) = σ^{2}$ .
Somme : $E (S_{n}) = n μ$ , $V (S_{n}) = n σ^{2}$ , $σ (S_{n}) = σ \sqrt{n}$ .
Moyenne : $E (M_{n}) = μ$ , $V (M_{n}) = \frac{σ^{2}}{n}$ , $σ (M_{n}) = \frac{σ}{\sqrt{n}}$ — précision multipliée par 2 quand $n$ est multiplié par 4.
Loi binomiale $B (n; p)$ = somme de $n$ Bernoulli indépendantes : $E = n p$ , $V = n p (1 - p)$ , $σ = \sqrt{n p (1 - p)}$ .

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