Qu'est-ce que la loi des grands nombres ?

La loi faible des grands nombres affirme que la moyenne $M_n$ d'un échantillon de $n$ variables aléatoires indépendantes et de même loi se rapproche de l'espérance $\mu$ quand $n$ grandit : pour tout écart $\delta > 0$, la probabilité $P(|M_n - \mu| \geq \delta)$ tend vers 0. Concrètement, la fréquence d'un événement observée sur un grand nombre de répétitions se stabilise autour de sa probabilité.

Comment calculer la moyenne dans la loi des grands nombres ?

La moyenne d'un échantillon $(X_1, \dots, X_n)$ est la variable $M_n = \dfrac{X_1 + \dots + X_n}{n}$. Si chaque $X_i$ a pour espérance $\mu$ et pour variance $V$, alors $E(M_n) = \mu$ et $V(M_n) = \dfrac{V}{n}$. C'est cette variance, qui diminue avec $n$, qui fait converger la moyenne vers $\mu$.

Existe-t-il un contre-exemple à la loi des grands nombres ?

Pas dans le cadre du programme : dès que les variables sont indépendantes, de même loi, avec une variance finie, la loi s'applique. Si l'une des hypothèses manque, la conclusion peut tomber : par exemple si $X_1 = X_2 = \dots = X_n$ (variables non indépendantes), alors $M_n = X_1$ ne se rapproche jamais de $\mu$.

À quoi sert l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?

Elle majore la probabilité qu'une variable aléatoire s'écarte de son espérance d'au moins $\delta$ : $P(|X - E(X)| \geq \delta) \leq \dfrac{V(X)}{\delta^2}$. Elle est valable pour n'importe quelle loi, sans la connaître : il suffit de connaître l'espérance et la variance. En contrepartie, la majoration est souvent grossière.

Quelle différence entre inégalité de Bienaymé-Tchebychev et inégalité de concentration ?

L'inégalité de concentration est l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à la moyenne $M_n$ d'un échantillon : comme $V(M_n) = \dfrac{V}{n}$, on obtient $P(|M_n - \mu| \geq \delta) \leq \dfrac{V}{n\delta^2}$. Le majorant est divisé par $n$, ce qui permet de choisir une taille d'échantillon garantissant une précision donnée.

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Concentration et loi des grands nombres

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev, inégalité de concentration, loi faible des grands nombres et échantillonnage (programme de Terminale spécialité maths)

À propos de cette page

Ce cours de spécialité mathématiques en terminale sur « Concentration et loi des grands nombres » suit le programme officiel de spécialité mathématiques de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : L'essentiel, L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, Moyenne d'un échantillon et inégalité de concentration, La loi faible des grands nombres. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en spécialité mathématiques.

L'essentiel

Rappels. Pour une variable aléatoire

X

d'espérance

μ = E (X)

et de variance

V (X)

, l'écart-type est

σ (X) = \sqrt{V (X)}

. Un échantillon de taille $n$ de

X

est une liste

(X_{1}, \dots, X_{n})

de variables aléatoires indépendantes et de même loi que

X

. Sa moyenne est

M_{n} = \frac{X_{1} + \dots + X_{n}}{n}

et l'on a

E (M_{n}) = μ

V (M_{n}) = \frac{V (X)}{n}

σ (M_{n}) = \frac{σ (X)}{\sqrt{n}}

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Pour tout réel

δ > 0

P (| X - μ | \geq δ) \leq \frac{V (X)}{δ^{2}} .

Inégalité de concentration. Si

M_{n}

est la moyenne d'un échantillon de taille

n

d'une variable d'espérance

μ

et de variance

V

, alors pour tout

δ > 0

P (| M_{n} - μ | \geq δ) \leq \frac{V}{n δ^{2}} .

Loi faible des grands nombres. Avec les mêmes notations, pour tout

δ > 0

{lim}_{n \to + \infty} P (| M_{n} - μ | \geq δ) = 0 .

Exemple. Une variable

X

vérifie

E (X) = 7

V (X) = 2, 25

. Alors

P (| X - 7 | \geq 6) \leq \frac{2, 25}{36} = 0, 0625

: la probabilité que

X

sorte de l'intervalle

] 1; 13 [

est au plus

6, 25 %

, quelle que soit la loi de

X

Lire l'événement.

| X - μ | \geq δ

signifie «

X \leq μ - δ

X \geq μ + δ

». Son contraire est «

μ - δ < X < μ + δ

» (inégalités strictes).

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev

L'inégalité affirme qu'une variable aléatoire a peu de chances de s'éloigner beaucoup de son espérance, d'autant moins que sa variance est petite. Elle ne demande aucune connaissance de la loi de $X$ : seules l'espérance et la variance interviennent.

Démonstration (exigible), cas d'une variable prenant un nombre fini de valeurs. Soit

X

prenant les valeurs

x_{1}, \dots, x_{k}

avec les probabilités

p_{1}, \dots, p_{k}

, et

μ = E (X)

. Par définition,

V (X) = \sum_{i = 1}^{k} p_{i} (x_{i} - μ)^{2}

.
Tous les termes de cette somme sont positifs ; en ne conservant que les indices

i

pour lesquels

| x_{i} - μ | \geq δ

, on obtient une somme plus petite :

V (X) \geq \sum_{| x_{i} - μ | \geq δ} p_{i} (x_{i} - μ)^{2} .

Pour ces indices,

(x_{i} - μ)^{2} \geq δ^{2}

, donc

V (X) \geq δ^{2} \sum_{| x_{i} - μ | \geq δ} p_{i} = δ^{2} P (| X - μ | \geq δ) .

Comme

δ^{2} > 0

, on divise :

P (| X - μ | \geq δ) \leq \frac{V (X)}{δ^{2}}

∎

Lecture en écarts-types. En prenant

δ = k σ

(avec

k > 0

) :

P (| X - μ | \geq k σ) \leq \frac{1}{k^{2}} .

Pour

k = 2

: au plus

\frac{1}{4}

; pour

k = 3

: au plus

\frac{1}{9}

. Pour

k \leq 1

, le majorant est supérieur ou égal à 1 : l'inégalité n'apprend rien.

Exemple.

X

suit la loi binomiale

ℬ (50; 0, 2)

μ = 10

V (X) = 50 \times 0, 2 \times 0, 8 = 8

. Alors

P (| X - 10 | \geq 5) \leq \frac{8}{25} = 0, 32

. Le calcul exact à la calculatrice,

P (X \leq 5) + P (X \geq 15)

, donne environ

0, 11

: l'inégalité est vraie, mais elle surestime largement la probabilité.

Un majorant, pas une valeur. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ne dit jamais « la probabilité vaut… » mais « la probabilité est au plus… ». Elle est valable pour toutes les lois de même espérance et de même variance, y compris les plus dispersées : c'est pour cela qu'elle est souvent très grossière.

Moyenne d'un échantillon et inégalité de concentration

On répète $n$ fois une expérience de manière indépendante et on note $X_{i}$ le résultat de la $i$ -ième répétition. Les $X_{i}$ sont indépendantes, de même loi qu'une variable $X$ d'espérance $μ$ et de variance $V$ . La question est : à quel point la moyenne observée $M_{n}$ est-elle proche de $μ$ ?

Propriété (inégalité de concentration). Pour tout

δ > 0

P (| M_{n} - μ | \geq δ) \leq \frac{V}{n δ^{2}} .

Démonstration. D'après le chapitre précédent,

E (M_{n}) = μ

et, par indépendance,

V (M_{n}) = \frac{V}{n}

. On applique l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à la variable

M_{n}

P (| M_{n} - μ | \geq δ) \leq \frac{V (M_{n})}{δ^{2}} = \frac{V}{n δ^{2}}

∎

Exemple. On lance

500

fois une pièce équilibrée et on note

M_{500}

la fréquence de « pile ». Chaque

X_{i}

suit la loi de Bernoulli de paramètre

0, 5

μ = 0, 5

V = 0, 5 \times 0, 5 = 0, 25

. Alors

P (| M_{500} - 0, 5 | \geq 0, 05) \leq \frac{0, 25}{500 \times 0, 05^{2}} = \frac{0, 25}{1, 25} = 0, 2 .

Autrement dit, la fréquence de pile est dans

] 0, 45; 0, 55 [

avec une probabilité d'au moins

0, 8

Pour cette pièce et cet écart $δ = 0, 05$ , le majorant vaut $\frac{0, 25}{0, 0025 n} = \frac{100}{n}$ : il décroît comme l'inverse de $n$ .

Effet de la taille. À

δ

fixé, multiplier

n

par

4

divise le majorant par

4

; à

n

fixé, diviser

δ

par

2

multiplie le majorant par

4

. La précision se paie en taille d'échantillon.

La loi faible des grands nombres

Théorème (loi faible des grands nombres). Soit

(X_{1}, \dots, X_{n})

un échantillon d'une variable aléatoire d'espérance

μ

et de variance

V

, et

M_{n}

sa moyenne. Pour tout

δ > 0

{lim}_{n \to + \infty} P (| M_{n} - μ | \geq δ) = 0 .

Démonstration. Pour tout

n

0 \leq P (| M_{n} - μ | \geq δ) \leq \frac{V}{n δ^{2}}

, et

\frac{V}{n δ^{2}} \to 0

quand

n \to + \infty

. Par le théorème des gendarmes, la probabilité tend vers

0

∎

Interprétation.
• Moyenne et espérance. La moyenne de

n

observations indépendantes d'une même variable se rapproche de son espérance : c'est ce qui justifie d'estimer

μ

par la moyenne d'un grand échantillon.
• Fréquence et probabilité. Si

X_{i}

vaut

1

lorsqu'un événement

A

se réalise et

0

sinon, alors

M_{n}

est la fréquence de

A

sur

n

répétitions et

μ = P (A)

: la fréquence observée se stabilise autour de la probabilité.

Exemple. Sur un très grand nombre de tirages d'une carte dans un jeu de

32

cartes (avec remise), la proportion de cœurs observée se rapproche de

\frac{8}{32} = 0, 25

: c'est la loi des grands nombres qui relie l'expérience (la fréquence) au modèle (la probabilité).

Ce que la loi ne dit pas. Elle ne dit pas que

M_{n}

finit par être égale à

μ

, ni qu'un déséquilibre passé sera « compensé » par les tirages suivants : chaque nouveau tirage est indépendant des précédents. Elle dit seulement que les écarts importants deviennent de moins en moins probables.

Taille d'échantillon et simulation

Choisir la taille d'un échantillon. On fixe une précision

δ

et un risque

α

(par exemple

α = 0, 05

). Pour garantir

P (| M_{n} - μ | \geq δ) \leq α

, il suffit d'imposer

\frac{V}{n δ^{2}} \leq α

, c'est-à-dire

n \geq \frac{V}{α δ^{2}} .

On arrondit à l'entier supérieur.

Exemple. La masse d'un paquet de café a pour espérance

500

g et pour écart-type

6

g. On veut que la masse moyenne de

n

paquets s'écarte de

500

g de moins de

0, 75

g avec une probabilité d'au moins

0, 96

, soit un risque

α = 0, 04

n \geq \frac{36}{0, 04 \times 0, 75^{2}} = \frac{36}{0, 0225} = 1 600 .

Il faut peser au moins

1 600

paquets.

Proportion inconnue. Pour une variable de Bernoulli de paramètre

p

V = p (1 - p) \leq \frac{1}{4}

. Quand

p

est inconnu, on remplace

V

par

\frac{1}{4}

: la taille obtenue convient pour toutes les valeurs de

p

Illustrer par simulation (Python). On lance

n

fois une pièce équilibrée et on mesure la proportion, sur

N

répétitions, des échantillons dont la fréquence s'écarte de

0, 5

d'au moins

d e l t a

from random import random

def frequence_pile(n):
    c = 0
    for k in range(n):
        if random() < 0.5:
            c = c + 1
    return c / n

def proportion_ecarts(n, N, delta):
    e = 0
    for k in range(N):
        if abs(frequence_pile(n) - 0.5) >= delta:
            e = e + 1
    return e / N

Avec n = 500, N = 10000 et delta = 0.05, on obtient une proportion d'environ $0, 025$ , très inférieure au majorant $0, 2$ trouvé dans la section 3 : la simulation illustre à la fois l'inégalité de concentration (la proportion observée reste sous le majorant) et son caractère grossier.

Méthodes

Méthode — Majorer une probabilité avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Déterminer $μ = E (X)$ et $V (X)$ (formules de la loi, ou données de l'énoncé).
Écrire l'événement sous la forme $| X - μ | \geq δ$ : l'intervalle doit être centré en $μ$ et les deux inégalités larges.
Appliquer $P (| X - μ | \geq δ) \leq \frac{V (X)}{δ^{2}}$ et calculer.
Si la question porte sur l'événement contraire $μ - δ < X < μ + δ$ , passer au complémentaire : $P \geq 1 - \frac{V (X)}{δ^{2}}$ .

Exemple rédigé.

X

suit la loi

ℬ (80; 0, 25)

. Majorer

P (X \leq 12 ou X \geq 28)

E (X) = 80 \times 0, 25 = 20

V (X) = 80 \times 0, 25 \times 0, 75 = 15

. L'événement «

X \leq 12

X \geq 28

» est

| X - 20 | \geq 8

. D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec

δ = 8

P (| X - 20 | \geq 8) \leq \frac{15}{64} \approx 0, 234

Méthode — Utiliser l'inégalité de concentration

Identifier la variable $X$ d'une observation, son espérance $μ$ et sa variance $V$ (attention : $V$ est le carré de l'écart-type).
Identifier la taille $n$ de l'échantillon et l'écart $δ$ demandé.
Écrire $P (| M_{n} - μ | \geq δ) \leq \frac{V}{n δ^{2}}$ et calculer.
Conclure par une phrase, en revenant au contexte (et à l'événement contraire si nécessaire).

Exemple rédigé. La durée de vie d'une ampoule a pour espérance

1 200

h et pour écart-type

150

h. On teste

90

ampoules. Majorer la probabilité que leur durée de vie moyenne s'écarte d'au moins

30

h de

1 200

V = 150^{2} = 22 500

n = 90

δ = 30

. D'après l'inégalité de concentration :

P (| M_{90} - 1 200 | \geq 30) \leq \frac{22 500}{90 \times 900} = \frac{22 500}{81 000} \approx 0, 278

. La durée moyenne est donc dans

] 1 170; 1 230 [

avec une probabilité d'au moins

0, 72

Méthode — Déterminer une taille d'échantillon

Traduire la contrainte : $P (| M_{n} - μ | \geq δ) \leq α$ (risque $α$ , précision $δ$ ).
Il suffit que le majorant soit inférieur à $α$ : $\frac{V}{n δ^{2}} \leq α ⟺ n \geq \frac{V}{α δ^{2}}$ .
Si $V$ est inconnue (proportion), la majorer par $\frac{1}{4}$ .
Arrondir à l'entier supérieur et conclure.

Exemple rédigé. On veut estimer une proportion

p

inconnue par une fréquence

F_{n}

avec

P (| F_{n} - p | \geq 0, 02) \leq 0, 1

V = p (1 - p) \leq \frac{1}{4}

, donc

P (| F_{n} - p | \geq 0, 02) \leq \frac{1}{4 n \times 0, 02^{2}} = \frac{1}{0, 0016 n}

. Il suffit que

\frac{1}{0, 0016 n} \leq 0, 1

, soit

n \geq \frac{1}{0, 00016} = 6 250

. Un échantillon de

6 250

personnes convient, quelle que soit la valeur de

p

Pièges et erreurs classiques

Confondre variance et écart-type. Dans

\frac{V}{δ^{2}}

V

est la variance. Si l'énoncé donne l'écart-type

σ

, il faut l'élever au carré :

δ

σ

sont dans l'unité de

X

V

dans l'unité au carré.

Oublier de diviser par $n$ . Pour la moyenne d'un échantillon, la variance est

\frac{V}{n}

, pas

V

. Utiliser

V

à la place de

\frac{V}{n}

donne un majorant

n

fois trop grand, souvent supérieur à

1

Un majorant supérieur à 1. Si

\frac{V}{δ^{2}} \geq 1

, l'inégalité est vraie mais inutile : on savait déjà qu'une probabilité est inférieure à

1

. Cela arrive dès que

δ \leq σ

Inégalité large, contraire strict. L'événement

| X - μ | \geq δ

contient les bornes

μ \pm δ

; son contraire est

μ - δ < X < μ + δ

, avec des inégalités strictes. Pour une variable à valeurs entières, traduire soigneusement («

X \leq 12

X \geq 28

»).

Prendre le majorant pour la probabilité. Écrire «

P (\dots) = 0, 32

» après l'inégalité est une erreur : la valeur exacte peut être bien plus petite. On écrit « au plus

0, 32

».

La fausse « compensation ». La loi des grands nombres ne dit pas qu'après une série de piles, face devient plus probable. Elle porte sur la fréquence à long terme, pas sur le prochain tirage.

En bref

Bienaymé-Tchebychev : $P (| X - μ | \geq δ) \leq \frac{V (X)}{δ^{2}}$ pour tout $δ > 0$ , quelle que soit la loi de $X$ .
En écarts-types : $P (| X - μ | \geq k σ) \leq \frac{1}{k^{2}}$ ; inutile si $k \leq 1$ .
Moyenne d'un échantillon : $E (M_{n}) = μ$ , $V (M_{n}) = \frac{V}{n}$ , donc $P (| M_{n} - μ | \geq δ) \leq \frac{V}{n δ^{2}}$ (inégalité de concentration).
Loi faible des grands nombres : $P (| M_{n} - μ | \geq δ) \to 0$ ; la fréquence observée se stabilise autour de la probabilité.
Taille d'échantillon : $n \geq \frac{V}{α δ^{2}}$ , avec $V \leq \frac{1}{4}$ pour une proportion inconnue.
Une inégalité donne un majorant, jamais la valeur exacte.

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