Concentration et loi des grands nombres

Démonstration (variable à valeurs en nombre fini). Tous les termes de $V(X)=\sum p_i(x_i-\mu {)}^2$ sont positifs. Si l’on ne garde que les indices $i$ tels que $|x_i-\mu |⩾\delta$, la somme diminue :

$V(X)⩾{\sum }_{|x_i-\mu |⩾\delta }{p}_i(x_i-\mu {)}^2$.

Pour ces indices, $(x_i-\mu {)}^2⩾{\delta }^2$, donc $V(X)⩾{\delta }^2{\sum }_{|x_i-\mu |⩾\delta }{p}_i$. Or cette dernière somme est exactement $P(|X-\mu |⩾\delta )$. On obtient $V(X)⩾{\delta }^{2}P(|X-\mu |⩾\delta )$, et l’on divise par ${\delta }^2>0$. $∎$

Appliquer. $X$ vérifie $E(X)=7$ et $V(X)=2,25$. Avec $\delta =6$ : $P(|X-7|⩾6)⩽{\displaystyle \frac{2,25}{36}}=0,0625$. La probabilité que $X$ sorte de l’intervalle $]1;13[$ est au plus $6,25\%$, quelle que soit la loi de $X$.

Le même calcul en écarts types. Ici $\sigma =\sqrt{2,25}=1,5$ et $6=4\times 1,5$ : c’est un écart de $4$ écarts types, d’où le majorant ${\displaystyle \frac{1}{4^2}}={\displaystyle \frac{1}{16}}=0,0625$.

Avec une loi binomiale. $X$ suit la loi $ℬ(80;0,25)$ : $E(X)=80\times 0,25=20$ et $V(X)=80\times 0,25\times 0,75=15$. L’événement « $X⩽12$ ou $X⩾28$ » est $|X-20|⩾8$, donc $P(|X-20|⩾8)⩽{\displaystyle \frac{15}{64}}\approx 0,235$ (par excès). Par contraire, $P(12<X<28)⩾{\displaystyle \frac{49}{64}}\approx 0,765$ (par défaut) ; comme $X$ est entière, c’est $P(13⩽X⩽27)$.

Intervalle à $95\%$. Même $X$, risque $\alpha =0,05$ : ${\displaystyle \frac{15}{{\delta }^2}}⩽0,05⟺{\delta }^2⩾300$, soit $\delta ⩾\sqrt{300}\approx 17,32$. Donc $P(|X-20|<\sqrt{300})⩾0,95$ ; pour des entiers, $|X-20|<\sqrt{300}$ revient à $3⩽X⩽37$.

Comparer à la valeur exacte. $Y$ suit $ℬ(50;0,2)$ : $E(Y)=10$, $V(Y)=8$. L’inégalité donne $P(|Y-10|⩾5)⩽{\displaystyle \frac{8}{25}}=0,32$. À la calculatrice, $P(Y⩽5)+P(Y⩾15)\approx 0,109$ : l’inégalité est vraie mais grossière.

Un seul côté. Même $Y$ : $Y⩾18$ entraîne $|Y-10|⩾8$, donc $P(Y⩾18)⩽{\displaystyle \frac{8}{64}}=0,125$.

Démonstration. On applique l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev à la variable $M_n$, d’espérance $\mu$ et de variance ${\displaystyle \frac{V}{n}}$ : $P(|M_n-\mu |⩾\delta )⩽{\displaystyle \frac{V(M_n)}{{\delta }^2}}={\displaystyle \frac{V}{n{\delta }^2}}$. $∎$

Une pièce lancée $500$ fois. $F_{500}$ est la fréquence de pile d’une pièce équilibrée : $\mu =0,5$ et $V=0,5\times 0,5=0,25$. Avec $\delta =0,05$ :

$P(|F_{500}-0,5|⩾0,05)⩽{\displaystyle \frac{0,25}{500\times 0,0025}}$ $={\displaystyle \frac{0,25}{1,25}}=0,2$.

La fréquence de pile est donc dans $]0,45;0,55[$ avec une probabilité d’au moins $0,8$. Pour un nombre $n$ quelconque de lancers, le majorant vaut ${\displaystyle \frac{0,25}{0,0025n}}={\displaystyle \frac{100}{n}}$.

Avec un écart type. La durée de vie d’une ampoule a pour espérance $1200$ h et pour écart type $150$ h ; on en teste $90$. Ici $V={150}^2=22500$ et, avec $\delta =30$ : $P(|M_{90}-1200|⩾30)⩽{\displaystyle \frac{22500}{90\times 900}}$ $={\displaystyle \frac{5}{18}}\approx 0,278$. La durée moyenne est dans $]1170;1230[$ avec une probabilité d’au moins ${\displaystyle \frac{13}{18}}\approx 0,722$.

Démonstration. Pour tout $n⩾1$, une probabilité est positive et l’inégalité de concentration s’applique :

$0⩽P(|M_n-\mu |⩾\delta )⩽{\displaystyle \frac{V}{n{\delta }^2}}$.

Comme $\delta$ et $V$ sont fixés, $\underset{n\to +\infty }{lim}{\displaystyle \frac{V}{n{\delta }^2}}=0$. D’après le théorème des gendarmes, la probabilité tend vers $0$. $∎$

Des cartes. On tire une carte avec remise dans un jeu de $32$ cartes, un très grand nombre de fois. La proportion de cœurs observée se rapproche de ${\displaystyle \frac{8}{32}}=0,25$.

Simulation en Python. On mesure, sur $N$ échantillons de $n$ lancers d’une pièce équilibrée, la proportion de ceux dont la fréquence de pile s’écarte de $0,5$ d’au moins d :

from random import random

def freq(n):
    c = 0
    for k in range(n):
        if random() < 0.5:
            c = c + 1
    return c / n

def proportion(n, N, d):
    e = 0
    for j in range(N):
        x = abs(freq(n) - 0.5)
        x = round(x, 9)
        if x >= d:
            e = e + 1
    return e / N

Avec proportion(500, 10000, 0.05), on obtient environ $0,028$ (la valeur exacte de la probabilité est $0,0283$ à ${10}^{-4}$ près) : bien en dessous du majorant $0,2$ trouvé plus haut pour $500$ lancers. La simulation illustre l’inégalité de concentration et montre qu’elle est grossière.

Le round évite une erreur d’arrondi des flottants : sans lui, $0,45-0,5$ ne donne pas exactement $-0,05$, et le cas $F=0,45$ ne serait pas compté.

Remplir des bouteilles. Le volume d’une bouteille de jus a pour espérance $1000$ mL et pour écart type $8$ mL. On veut que le volume moyen de $n$ bouteilles s’écarte de $1000$ mL de moins de $2$ mL avec une probabilité d’au moins $0,95$. Ici $V=64$, $\delta =2$, $\alpha =0,05$ : $n⩾{\displaystyle \frac{64}{0,05\times 4}}=320$. Il faut au moins $320$ bouteilles.

Sondage sans connaître $p$. On veut $P(|F_n-p|⩾0,02)⩽0,1$. Comme $V=p(1-p)⩽{\displaystyle \frac{1}{4}}$, le majorant est au plus ${\displaystyle \frac{0,25}{0,0004n}}$. Il suffit que $n⩾{\displaystyle \frac{0,25}{0,1\times 0,0004}}=6250$ : un échantillon de $6250$ personnes convient, quelle que soit la valeur de $p$.

Précision obtenue. Avec $n=2500$ personnes, $p$ inconnu et $\alpha =0,05$ : $\delta =\sqrt{{\displaystyle \frac{0,25}{2500\times 0,05}}}=\sqrt{0,002}\approx 0,045$. La fréquence est à moins de $0,045$ de $p$ avec une probabilité d’au moins $0,95$.