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Fiche de révision : sommes de variables aléatoires

Linéarité de l’espérance, variance d’une transformation affine, variance d’une somme de variables indépendantes, somme et moyenne d’un échantillon de taille n, espérance et variance de la loi binomiale par décomposition.

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Sommes de variables aléatoires

Fiche méthode

(Spécialité maths Terminale · Probabilités · Sommes de variables aléatoires)

La démarche pour une espérance ou une variance

1. J’écris la variable étudiée à partir de variables simples : $a X + b$ , $X + Y$ , $X_{1} + \dots + X_{n}$ , moyenne $\frac{S_{n}}{n}$ .

2. Espérance : linéarité, sans aucune condition.

3. Variance : coefficients au carré, constante supprimée ; pour une somme, je cite l’indépendance avant d’additionner.

4. Écart type : racine carrée de la variance, arrondie seulement à la fin.

Le réflexe — une variance de somme sans la phrase « les variables sont indépendantes car… » risque de ne pas rapporter tous les points.

Cas 1 · Espérance par linéarité

Réflexe — je découpe la variable en somme de variables simples (souvent des variables qui valent 1 ou 0) et j’additionne les espérances.

Exemple. Questions types : « Calculer $E (a X + b Y + c)$ », « Exprimer $N$ comme une somme et en déduire $E (N)$ ». Exemple : $E (X) = - 2$ , $E (Y) = 7$ , calculer $E (4 X - Y + 3)$ .

Par linéarité de l’espérance (aucune hypothèse nécessaire) :

$E (4 X - Y + 3) = 4 E (X) - E (Y) + 3$ $= 4 \times (- 2) - 7 + 3 = - 12$ .

Attention — $E (X^{2})$ n’est pas $E (X)^{2}$ : la linéarité ne s’applique pas aux carrés.

Cas 2 · Variance de aX + b

Réflexe — la constante disparaît, le coefficient passe au carré (variance) ou en valeur absolue (écart type).

Exemple. Questions types : « Calculer $V (a X + b)$ et $σ (a X + b)$ », « Trouver $a$ et $b$ pour obtenir une espérance et un écart type donnés ». Exemple : $E (X) = 9$ , $V (X) = 4$ et $Y = - 1, 5 X + 20$ .

$E (Y) = - 1, 5 \times 9 + 20 = 6, 5$ .

$V (Y) = (- 1, 5)^{2} \times 4 = 2, 25 \times 4 = 9$ , donc $σ (Y) = 3$ .

Attention — $V (X + b) = V (X)$ et $σ (- a X) = a σ (X)$ pour $a > 0$ : un écart type n’est jamais négatif.

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Cas 3 · Somme de variables indépendantes

Réflexe — je justifie l’indépendance par l’énoncé, j’additionne les variances (coefficients au carré), puis racine.

Exemple. Questions types : « Justifier que $V (X - Y) = \dots$ », « Calculer l’écart type de la masse totale ». Exemple : $X$ et $Y$ indépendantes, $σ (X) = 0, 5$ et $σ (Y) = 1, 2$ ; calculer $σ (X - Y)$ .

$X$ et $Y$ sont indépendantes, donc $V (X - Y) = V (X) + (- 1)^{2} V (Y)$ $= 0, 25 + 1, 44 = 1, 69$ .

$σ (X - Y) = \sqrt{1, 69} = 1, 3$ .

Attention — les écarts types ne s’ajoutent pas, et une différence ne soustrait pas les variances.

Cas 4 · Échantillon : somme et moyenne

Réflexe — μ et σ² sur une répétition ; « total » → Sₙ (nμ ; nσ²) ; « moyenne » → Mₙ (μ ; σ²/n).

Exemple. Questions types : « Calculer $E (S_{n})$ et $σ (S_{n})$ », « Montrer que $V (M_{n}) = \dots$ », « Plus petit $n$ tel que $σ (M_{n}) ⩽ s$ ». Exemple : $μ = 30$ , $σ = 5$ .

Pour $n = 400$ : $E (S_{400}) = 12 000$ , $σ (S_{400}) = 5 \sqrt{400} = 100$ et $σ (M_{400}) = \frac{5}{20} = 0, 25$ .

$σ (M_{n}) ⩽ 0, 1 ⟺ \sqrt{n} ⩾ 50 ⟺ n ⩾ 2 500$ : au moins $2 500$ répétitions.

Attention — si l’énoncé donne l’écart type, je l’élève au carré avant de multiplier par $n$ .

Cas 5 · Loi binomiale par décomposition

Réflexe — Xᵢ = 1 si succès à la i-ième épreuve ; E(Xᵢ) = p, V(Xᵢ) = p(1 − p) ; linéarité puis indépendance.

Exemple. Questions types : « Exprimer $N$ comme une somme de variables de Bernoulli », « Démontrer que $E (N) = n p$ et $V (N) = n p (1 - p)$ ». Exemple : $150$ ampoules, chacune défectueuse avec la probabilité $0, 04$ , indépendamment.

$N = X_{1} + \dots + X_{150}$ , somme de $150$ variables de Bernoulli indépendantes de paramètre $0, 04$ : $N$ suit $ℬ (150; 0, 04)$ .

$E (N) = 150 \times 0, 04 = 6$ ; $V (N) = 150 \times 0, 04 \times 0, 96 = 5, 76$ ; $σ (N) = 2, 4$ .

Attention — deux binomiales de paramètres $p$ différents ont une somme qui n’est pas binomiale.

Les pièges

Additionner des variances sans avoir écrit que les variables sont indépendantes.
Additionner des écarts types : avec σ(X) = 3 et σ(Y) = 4 indépendantes, σ(X + Y) = 5, pas 7.
Oublier le carré du coefficient : V(3X) = 9V(X), et V(−X) = V(X).
Écrire V(X + b) = V(X) + b : une constante ne disperse pas.
Confondre Sₙ (qui se disperse en σ√n) et Mₙ (qui se concentre en σ/√n).
Écrire σ(Sₙ/n) = σ(Sₙ)/√n : diviser par n divise l’écart type par n.

Ce document est la propriété intellectuelle de Ben, professeur particulier (benprofparticulier.fr), protégée par le Code de la propriété intellectuelle (art. L. 111-1 et L. 122-4). Il est mis à disposition pour un usage personnel de révision. Toute reproduction, diffusion, mise en ligne ou revente, totale ou partielle, sans autorisation écrite est interdite et constitue une contrefaçon (art. L. 335-2).

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche pour calculer une espérance ou une variance de somme, puis, pour chacun des cinq cas du cours, les questions types et une réponse rédigée : linéarité, aX + b, variables indépendantes, échantillon et précision d’une moyenne, décomposition d’une loi binomiale. Les formules à connaître par cœur sont rangées dans la fiche tableaux.

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