Sommes de variables aléatoires

1. a)Par linéarité de l’espérance : $E(2X-9)=2E(X)-9=2\times 14-9=28-9=19$. (1)
2. b)Pour une transformation affine, $V(aX+b)=a^{2}V(X)$ : $V(2X-9)=2^2\times 6=24$. La constante $-9$ ne change pas la dispersion. (1)
3. c)${\displaystyle \frac{X}{3}}={\displaystyle \frac{1}{3}}X$, donc $V\left({\displaystyle \frac{X}{3}}\right)={\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^2\times 6={\displaystyle \frac{6}{9}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$ et $\sigma \left({\displaystyle \frac{X}{3}}\right)=\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{3}}}\approx 0,82$. (1)
4. d)$V(bX)=b^{2}V(X)=6b^2$. On résout $6b^2=54$, soit $b^2=9$. Les solutions sont $3$ et $-3$ ; comme $b>0$, $b=3$. (1)

Repère — Pour aX + b, la constante disparaît de la variance et le coefficient passe au carré.

1. a)Par linéarité de l’espérance (aucune hypothèse nécessaire) : $E(U+W)=3,6+7,4=11$. (1)
2. b)$U$ et $W$ sont indépendantes, donc $V(U+W)=V(U)+V(W)=1,44+2,56=4$, et $\sigma (U+W)=\sqrt{4}=2$. On remarque que $\sigma (U)+\sigma (W)=1,2+1,6=2,8\ne 2$. (1)
3. c)Par linéarité : $E(5U-2W+3)=5\times 3,6-2\times 7,4+3$ $=18-14,8+3=6,2$. (1)
4. d)$U$ et $W$ sont indépendantes, donc $5U$ et $-2W$ aussi, et la constante $3$ disparaît : $V(5U-2W+3)=5^2\times 1,44+(-2{)}^2\times 2,56$ $=36+10,24=46,24$. (1)

Repère — L’espérance se calcule toujours par linéarité ; la variance d’une combinaison exige l’indépendance et les coefficients au carré.

1. a)$E(X)=0\times 0,40+1\times 0,35+2\times 0,20+3\times 0,05$ $=0,35+0,40+0,15=0,9$ appel par minute. (1)
2. b)$E(X^2)=1\times 0,35+4\times 0,20+9\times 0,05$ $=0,35+0,80+0,45=1,6$. D’après la formule de König-Huygens, $V(X)=E(X^2)-E(X{)}^2=1,6-0,81=0,79$. (1)
3. c)Les nombres d’appels des $400$ minutes sont indépendants et de même loi que $X$ : ils forment un échantillon de taille $400$. Par linéarité, $E(S_{400})=400\times 0,9=360$ appels. Par indépendance, $V(S_{400})=400\times 0,79=316$, donc $\sigma (S_{400})=\sqrt{316}\approx 17,78$ appels. (1)
4. d)Le nombre moyen d’appels par minute est $M_n={\displaystyle \frac{S_n}{n}}$, avec $V(M_n)={\displaystyle \frac{0,79}{n}}$. Comme la racine carrée est croissante sur $[0;+\infty [$ : $\sigma (M_n)⩽0,02⟺{\displaystyle \frac{0,79}{n}}⩽0,{02}^2=0,0004$ $⟺n⩾{\displaystyle \frac{0,79}{0,0004}}=1975$. Le plus petit entier est $n=1975$ minutes. (1)

Repère — Une précision sur la moyenne se traduit par une inéquation sur n : on compare les variances pour éviter les racines.

1. a)$N=X_1+X_2+\cdots +X_{250}$. Chaque $X_i$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $0,08$, et les $X_i$ sont indépendantes : $N$, somme de $250$ variables de Bernoulli indépendantes de même paramètre, suit la loi binomiale $ℬ(250;0,08)$. (1)
2. b)Pour chaque $i$, $E(X_i)=0,08$ et $E(X_i^2)=0,08$, donc $V(X_i)=0,08-0,{08}^2=0,08\times 0,92=0,0736$. Par linéarité, $E(N)=250\times 0,08=20$. Par indépendance, $V(N)=250\times 0,0736=18,4$, et $\sigma (N)=\sqrt{18,4}\approx 4,29$. (1)
3. c)$F={\displaystyle \frac{1}{250}}N$. Par linéarité, $E(F)={\displaystyle \frac{20}{250}}=0,08$. Et $V(F)={\displaystyle \frac{1}{{250}^2}}\times 18,4=0,0002944$, donc $\sigma (F)={\displaystyle \frac{\sigma (N)}{250}}\approx 0,017$. (1)
4. d)$F={\displaystyle \frac{1}{250}}N$ est une transformation affine de $N$ : $\sigma (F)={\displaystyle \frac{1}{250}}\sigma (N)$, et non ${\displaystyle \frac{\sigma (N)}{\sqrt{250}}}$. L’élève confond avec la formule $\sigma (M_n)={\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}$, où $\sigma$ est l’écart type d’une répétition ($\sigma (X_i)=\sqrt{0,0736}$), pas celui de la somme $N$. Les deux calculs corrects concordent : ${\displaystyle \frac{\sqrt{0,0736}}{\sqrt{250}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{18,4}}{250}}\approx 0,017$. (1)

Repère — Diviser une somme par n divise son écart type par n ; le √n n’apparaît qu’à partir de l’écart type d’une seule répétition.

1. a)Par linéarité : $E(T)=48+62=110$ g. Les pièces sont produites indépendamment, donc $A$ et $B$ sont indépendantes et $V(T)=1,5^2+2^2=2,25+4=6,25$. Ainsi $\sigma (T)=\sqrt{6,25}=2,5$ g. (1)
2. b)$E(D)=62-48=14$ g. Par indépendance, $V(D)=V(B)+(-1{)}^{2}V(A)=4+2,25=6,25$, donc $\sigma (D)=2,5$ g. Ainsi $\sigma (D)=\sigma (T)$ : soustraire deux variables indépendantes disperse autant que les additionner. (1)
3. c)Les masses des $9$ assemblages forment un échantillon de taille $9$ de la loi de $T$. La masse totale $S_9$ vérifie $E(S_9)=9\times 110=990$ g et $V(S_9)=9\times 6,25=56,25$, donc $\sigma (S_9)=7,5$ g (soit $2,5\sqrt{9}$). (1)
4. d)La formule $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$ exige que $X$ et $Y$ soient indépendantes. Or dans $A+A$, les deux termes sont la même variable : connaître l’un donne l’autre, ils ne sont pas indépendants. On utilise la transformation affine : $V(2A)=2^2\times V(A)=4\times 2,25=9$, et non $4,5$. En revanche, deux pièces $A_1$ et $A_2$ produites indépendamment, de même loi que $A$, donnent $V(A_1+A_2)=2,25+2,25=4,5$ : doubler une même mesure disperse plus qu’additionner deux mesures indépendantes. (1)

Repère — V(X − Y) = V(X) + V(Y) pour des variables indépendantes ; deux fois la même variable n’est pas une somme de variables indépendantes.