Sommes de variables aléatoires

1. Une variable aléatoire $X$ vérifie $E(X)=14$ et $V(X)=6$. Calculer $E(2X-9)$.
2. Calculer $V(2X-9)$.
3. Calculer l'écart type de ${\displaystyle \frac{X}{3}}$, arrondi au centième.
4. Déterminer le réel $b>0$ tel que $V(bX)=54$.

$U$ et $W$ sont deux variables aléatoires indépendantes telles que $E(U)=3,6$, $V(U)=1,44$, $E(W)=7,4$ et $V(W)=2,56$.
a) Calculer $E(U+W)$.

1. Calculer $V(U+W)$ et $\sigma (U+W)$.
2. Calculer $E(5U-2W+3)$.
3. Calculer $V(5U-2W+3)$.

Le nombre $X$ d'appels reçus en une minute par un standard suit la loi ci-dessous, les minutes étant indépendantes.

1. Montrer que $V(X)=0,79$.
2. On observe 400 minutes consécutives. Calculer l'espérance et l'écart type, au centième, du nombre total d'appels $S_{400}$.
3. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que l'écart type du nombre moyen d'appels par minute sur $n$ minutes soit inférieur ou égal à 0,02.

Un composant électronique est défectueux avec la probabilité $0,08$, indépendamment des autres. On en teste 250 et on note $N$ le nombre de composants défectueux.
a) En posant $X_i=1$ si le $i$-ième composant est défectueux et $X_i=0$ sinon, exprimer $N$ et préciser la loi de $N$.

1. Calculer $E(N)$, $V(N)$ et $\sigma (N)$, arrondi au centième.
2. On note $F={\displaystyle \frac{N}{250}}$ la fréquence de composants défectueux. Calculer $E(F)$ et $\sigma (F)$, arrondi au millième.
3. Un élève écrit $\sigma (F)={\displaystyle \frac{\sigma (N)}{\sqrt{250}}}$. Expliquer son erreur.

Une pièce $A$ a une masse d'espérance 48 g et d'écart type 1,5 g ; une pièce $B$ a une masse d'espérance 62 g et d'écart type 2 g. Les deux pièces sont produites indépendamment et assemblées : la masse de l'assemblage est $T=A+B$.
a) Calculer $E(T)$, $V(T)$ et $\sigma (T)$.

1. On pose $D=B-A$. Calculer $E(D)$ et $\sigma (D)$, puis comparer $\sigma (D)$ à $\sigma (T)$.
2. Un lot contient 9 assemblages indépendants. Calculer l'espérance et l'écart type de la masse totale du lot.
3. Un technicien affirme que si l'on assemblait deux pièces $A$ strictement identiques, la masse totale $2A$ aurait pour variance $2V(A)$. Expliquer l'erreur et donner $V(2A)$.