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Sommes de variables aléatoires

Espérance et variance d'une somme, échantillon de variables indépendantes, application à la loi binomiale (programme de Terminale spécialité maths)

À propos de cette page

Ces problèmes corrigés sur « Sommes de variables aléatoires » en terminale permettent d'appliquer le cours à des situations concrètes en spécialité mathématiques. Ils suivent le programme officiel de terminale et se résolvent étape par étape. Au programme : L'essentiel : espérance et variance d'une somme, Variables aléatoires indépendantes, Échantillon de taille n : somme et moyenne, Application : la loi binomiale comme somme de Bernoulli. Cherche au brouillon, rédige, puis compare avec la correction détaillée de chaque problème. Idéal pour développer le raisonnement, la rigueur et la confiance avant une évaluation. Problèmes gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour progresser en spécialité mathématiques en terminale.

Problèmes corrigés, type devoir surveillé ou bac : plusieurs parties, un raisonnement à rédiger. Traite chaque problème en entier au brouillon, puis déplie la correction rédigée.

Problème 1 — Cartons de conserves

Moyen

Une chaîne produit des boîtes de conserve dont la masse $X$ , en grammes, vérifie $E (X) = 185$ et $σ (X) = 7$ . Les masses des différentes boîtes sont indépendantes. Un carton contient 64 boîtes et un emballage de masse constante 900 g. On note $S_{64}$ la masse totale des 64 boîtes, $M_{64}$ leur masse moyenne et $T = S_{64} + 900$ la masse du carton complet.

1. Justifier que $(X_{1}, \dots, X_{64})$ est un échantillon de taille 64 de la loi de $X$ , puis calculer $E (S_{64})$ et $V (S_{64})$ .
2. a) Calculer $σ (S_{64})$ .
2. b) En déduire $E (T)$ et $σ (T)$ .
3. Calculer $E (M_{64})$ et $σ (M_{64})$ , puis comparer $σ (M_{64})$ à $σ (X)$ .
4. Le service qualité exige que l'écart type de la masse moyenne des boîtes d'un carton soit au plus égal à 1 g. Déterminer le nombre minimal de boîtes par carton.
5. Un technicien affirme : « en doublant le nombre de boîtes par carton, on divise par deux l'écart type de la masse totale ». Expliquer pourquoi c'est faux et donner l'effet réel.

1. Les boîtes sont produites par la même chaîne, donc les masses $X_{1}, \dots, X_{64}$ suivent toutes la loi de $X$ ; l'énoncé précise qu'elles sont indépendantes. C'est donc bien un échantillon de taille 64 de la loi de $X$ .
On a $V (X) = σ (X)^{2} = 7^{2} = 49$ . Par linéarité de l'espérance, $E (S_{64}) = 64 \times 185 = 11 840$ g. Par indépendance, $V (S_{64}) = 64 \times 49 = 3 136$ .

2. a) $σ (S_{64}) = \sqrt{3 136} = 56$ g. On retrouve $σ \sqrt{n} = 7 \times 8 = 56$ .

2. b) $T = S_{64} + 900$ : ajouter une constante translate l'espérance sans modifier la dispersion. Donc $E (T) = 11 840 + 900 = 12 740$ g et $V (T) = V (S_{64}) = 3 136$ , soit $σ (T) = 56$ g. L'emballage, de masse fixe, n'ajoute aucune variabilité.

3. $E (M_{64}) = E (X) = 185$ g et $σ (M_{64}) = \frac{7}{\sqrt{64}} = \frac{7}{8} = 0, 875$ g. C'est 8 fois moins que $σ (X) = 7$ g : la masse moyenne d'un carton est bien plus stable que la masse d'une boîte isolée.

4. On cherche le plus petit entier $n$ tel que $\frac{7}{\sqrt{n}} ⩽ 1$ , c'est-à-dire $\sqrt{n} ⩾ 7$ , soit $n ⩾ 49$ . Il faut donc au minimum 49 boîtes par carton. Vérification : $\frac{7}{\sqrt{49}} = 1$ g exactement ; avec 48 boîtes, $\frac{7}{\sqrt{48}} \approx 1, 01$ g $> 1$ g.

5. Avec $2 n$ boîtes, $σ (S_{2 n}) = σ \sqrt{2 n} = \sqrt{2} \times σ \sqrt{n}$ . L'écart type de la masse totale est donc multiplié par $\sqrt{2} \approx 1, 41$ , il augmente au lieu de diminuer : avec 128 boîtes, $σ (S_{128}) = 7 \sqrt{128} \approx 79, 2$ g. Le technicien confond la somme et la moyenne : c'est l'écart type de la moyenne qui diminue, et il est divisé par $\sqrt{2}$ , non par 2.

Problème 2 — Une loterie de kermesse

Moyen

À une kermesse, un joueur paie 2 € pour tirer un jeton. Le gain algébrique $G$ d'une partie, en euros (mise déduite), suit la loi ci-dessous ; les parties successives sont indépendantes.

Gain $g$	−2	1	6
$P (G = g)$	0,60	0,30	0,10

1. a) Calculer $E (G)$ et interpréter le résultat pour le joueur.
1. b) Montrer que $V (G) = 6, 21$ .
2. Un joueur enchaîne 45 parties. On note $R$ son résultat total. Calculer $E (R)$ , $V (R)$ et $σ (R)$ , arrondi au centième.
3. Calculer l'espérance et l'écart type du gain moyen par partie sur ces 45 parties.
4. L'organisateur veut rendre le jeu équitable en modifiant uniquement le prix du jeton. Déterminer le nouveau prix et préciser si la variance du gain change.
5. Avec ce nouveau prix, déterminer le nombre de parties à partir duquel l'écart type du gain moyen par partie devient inférieur à 0,25 €.

1. a) $E (G) = - 2 \times 0, 60 + 1 \times 0, 30 + 6 \times 0, 10 = - 1, 2 + 0, 3 + 0, 6 = - 0, 30$ €. En moyenne, le joueur perd 30 centimes par partie : le jeu est défavorable au joueur.

1. b) $E (G^{2}) = (- 2)^{2} \times 0, 60 + 1^{2} \times 0, 30 + 6^{2} \times 0, 10 = 2, 4 + 0, 3 + 3, 6 = 6, 3$ .
Donc $V (G) = E (G^{2}) - E (G)^{2} = 6, 3 - (- 0, 30)^{2} = 6, 3 - 0, 09 = 6, 21$ , ce qu'il fallait montrer.

2. Les 45 parties forment un échantillon de taille 45 de la loi de $G$ , donc $R = G_{1} + \dots + G_{45}$ .
$E (R) = 45 \times (- 0, 30) = - 13, 50$ €.
Par indépendance, $V (R) = 45 \times 6, 21 = 279, 45$ , donc $σ (R) = \sqrt{279, 45} \approx 16, 72$ €. La perte attendue est modeste, mais la dispersion du résultat est grande.

3. Le gain moyen par partie est $M_{45} = \frac{R}{45}$ : $E (M_{45}) = E (G) = - 0, 30$ € et $σ (M_{45}) = \frac{\sqrt{6, 21}}{\sqrt{45}} = \frac{2, 492}{6, 708} \approx 0, 37$ €.

4. Baisser le prix du jeton de $c$ euros ajoute $c$ à chaque gain : le nouveau gain est $G^{'} = G + c$ , donc $E (G^{'}) = E (G) + c = - 0, 30 + c$ . Le jeu est équitable lorsque $E (G^{'}) = 0$ , soit $c = 0, 30$ € : le jeton doit coûter 1,70 €. Comme $V (G + c) = V (G)$ , la variance est inchangée et vaut toujours 6,21 : on déplace le gain moyen sans modifier le risque.

5. On cherche $n$ tel que $\frac{\sqrt{6, 21}}{\sqrt{n}} < 0, 25$ , soit $\sqrt{n} > \frac{2, 4920}{0, 25} = 9, 968$ , donc $n > 99, 36$ . Il faut donc au moins 100 parties. Vérification : $\frac{2, 4920}{10} = 0, 2492 < 0, 25$ , alors qu'avec 99 parties on obtient environ $0, 2505$ €.

Problème 3 — Sondage : du nombre de favorables à la fréquence

Difficile

Dans une très grande population, une proportion $p$ d'habitants est favorable à un projet. On interroge 625 personnes tirées au hasard, les réponses étant indépendantes. Pour $i$ allant de 1 à 625, on pose $X_{i} = 1$ si la $i$ -ième personne est favorable et $X_{i} = 0$ sinon. On note $S = X_{1} + \dots + X_{625}$ le nombre de personnes favorables et $F = \frac{S}{625}$ la fréquence observée.

1. Donner la loi de $X_{i}$ , puis $E (X_{i})$ et $V (X_{i})$ en fonction de $p$ . En déduire la loi de $S$ .
2. Exprimer $E (F)$ et $σ (F)$ en fonction de $p$ .
3. Montrer que pour tout $p$ de $[0; 1]$ , on a $p (1 - p) ⩽ \frac{1}{4}$ , et en déduire que $σ (F) ⩽ 0, 02$ .
4. On suppose dans cette question que $p = 0, 52$ . Calculer $E (S)$ , $σ (S)$ au centième, puis $σ (F)$ au millième.
5. Déterminer le nombre minimal de personnes à interroger pour que $σ (F)$ soit inférieur ou égal à 0,01, quelle que soit la valeur de $p$ .
6. Justifier cette apparente contradiction : quand le nombre de personnes interrogées augmente, $σ (S)$ augmente alors que $σ (F)$ diminue.

1. $X_{i}$ ne prend que les valeurs 0 et 1 avec $P (X_{i} = 1) = p$ : c'est une variable de Bernoulli de paramètre $p$ , donc $E (X_{i}) = p$ et $V (X_{i}) = p (1 - p)$ . Les réponses étant indépendantes et de même loi, $S$ est la somme de 625 variables de Bernoulli indépendantes de paramètre $p$ : $S$ suit la loi binomiale $B (625; p)$ , avec $E (S) = 625 p$ et $V (S) = 625 p (1 - p)$ .

2. $F = \frac{1}{625} S$ , donc $E (F) = \frac{625 p}{625} = 𝐩$ : la fréquence observée a pour espérance la proportion cherchée. Pour la variance, le coefficient est élevé au carré : $V (F) = \frac{625 p (1 - p)}{625^{2}} = \frac{p (1 - p)}{625}$ , d'où $σ (F) = \frac{\sqrt{p (1 - p)}}{25}$ .

3. Pour tout réel $p$ , $\frac{1}{4} - p (1 - p) = \frac{1}{4} - p + p^{2} = {(p - \frac{1}{2})}^{2} ⩾ 0$ comme carré d'un réel. Donc $p (1 - p) ⩽ \frac{1}{4}$ , avec égalité pour $p = 0, 5$ .
On en déduit $σ (F) = \frac{\sqrt{p (1 - p)}}{25} ⩽ \frac{\sqrt{1 / 4}}{25} = \frac{0, 5}{25} = 0, 02$ , quelle que soit la valeur de $p$ .

4. Avec $p = 0, 52$ : $E (S) = 625 \times 0, 52 = 325$ personnes favorables. $V (S) = 625 \times 0, 52 \times 0, 48 = 156$ , donc $σ (S) = \sqrt{156} \approx 12, 49$ . Enfin $σ (F) = \frac{12, 490}{625} \approx 0, 020$ , valeur bien conforme à la majoration de la question 3.

5. Pour un effectif $n$ , $σ (F_{n}) = \frac{\sqrt{p (1 - p)}}{\sqrt{n}} ⩽ \frac{1}{2 \sqrt{n}}$ d'après la question 3. Il suffit donc que $\frac{1}{2 \sqrt{n}} ⩽ 0, 01$ , soit $\sqrt{n} ⩾ \frac{1}{0, 02} = 50$ , c'est-à-dire $n ⩾ 2 500$ . Il faut interroger au minimum 2 500 personnes ; pour diviser l'écart type par 2, il a fallu multiplier l'effectif par 4.

6. Il n'y a pas de contradiction : $σ (S) = \sqrt{n p (1 - p)}$ croît comme $\sqrt{n}$ , car on additionne de plus en plus de réponses aléatoires, alors que $σ (F) = \frac{\sqrt{p (1 - p)}}{\sqrt{n}}$ décroît, car on divise cette somme par $n$ , qui croît bien plus vite que $\sqrt{n}$ . Le total devient plus dispersé, la fréquence plus précise : c'est exactement ce qui rend les sondages fiables.

Problème 4 — Simuler une moyenne en Python

Difficile

Une roue de jeu rapporte 0 €, 5 € ou 20 € selon la loi ci-dessous ; les parties sont indépendantes.

Gain $x$	0	5	20
$P (X = x)$	0,70	0,25	0,05

On donne la fonction Python suivante.

from random import random

def partie():
    u = random()
    if u < 0.7:
        return 0
    elif u < 0.95:
        return 5
    else:
        return 20

def moyenne(n):
    s = 0
    for i in range(n):
        s = s + partie()
    return s / n

La fonction

r a n d o m ()

renvoie un nombre aléatoire de

[0; 1 [

, chaque sous-intervalle ayant une probabilité égale à sa longueur.

1. Justifier que la fonction $p a r t i e ()$ simule bien la loi de $X$ .
2. a) Calculer $E (X)$ et montrer que $V (X) = 21, 1875$ .
2. b) Que représente la valeur renvoyée par $m o y e n n e (900)$ ? Donner son espérance et son écart type, arrondi au millième.
3. On note $S_{900}$ le gain total sur 900 parties. Calculer $E (S_{900})$ et $σ (S_{900})$ , arrondi au dixième.
4. Déterminer l'intervalle $[E (M_{900}) - 2 σ (M_{900}); E (M_{900}) + 2 σ (M_{900})]$ , bornes arrondies au centième.
5. Quelle valeur de $n$ faut-il donner à $m o y e n n e (n)$ pour que l'écart type du résultat soit au plus 0,05 € ?

1. L'appel $r a n d o m ()$ tombe dans $[0; 0, 7 [$ avec la probabilité $0, 7$ : la fonction renvoie alors 0, ce qui correspond bien à $P (X = 0) = 0, 70$ . Il tombe dans $[0, 7; 0, 95 [$ , de longueur $0, 25$ , avec la probabilité $0, 25$ : la fonction renvoie 5. Sinon, c'est-à-dire dans $[0, 95; 1 [$ de longueur $0, 05$ , elle renvoie 20. Les trois probabilités correspondent exactement à la loi de $X$ .

2. a) $E (X) = 0 \times 0, 70 + 5 \times 0, 25 + 20 \times 0, 05 = 1, 25 + 1 = 2, 25$ €.
$E (X^{2}) = 0^{2} \times 0, 70 + 5^{2} \times 0, 25 + 20^{2} \times 0, 05 = 6, 25 + 20 = 26, 25$ .
Donc $V (X) = 26, 25 - 2, 25^{2} = 26, 25 - 5, 0625 = 21, 1875$ , ce qu'il fallait montrer. On a alors $σ (X) = \sqrt{21, 1875} \approx 4, 603$ €.

2. b) La boucle cumule 900 gains simulés indépendants, puis divise par 900 : $m o y e n n e (900)$ renvoie une réalisation de la moyenne $M_{900}$ d'un échantillon de taille 900 de la loi de $X$ , c'est-à-dire le gain moyen par partie sur 900 parties.
$E (M_{900}) = E (X) = 2, 25$ € et $σ (M_{900}) = \frac{4, 6030}{\sqrt{900}} = \frac{4, 6030}{30} \approx 0, 153$ €.

3. $E (S_{900}) = 900 \times 2, 25 = 2 025$ €. Par indépendance des parties, $V (S_{900}) = 900 \times 21, 1875 = 19 068, 75$ , donc $σ (S_{900}) = \sqrt{19 068, 75} \approx 138, 1$ €.

4. $2 σ (M_{900}) \approx 2 \times 0, 15343 = 0, 30687$ . L'intervalle est donc $[2, 25 - 0, 31; 2, 25 + 0, 31]$ , soit $[1, 94; 2, 56]$ : les valeurs renvoyées par $m o y e n n e (900)$ se regroupent dans cet intervalle très resserré autour de 2,25 €, alors qu'une partie isolée ne rapporte que 0 €, 5 € ou 20 €.

5. On cherche $n$ tel que $\frac{σ (X)}{\sqrt{n}} ⩽ 0, 05$ , soit $\sqrt{n} ⩾ \frac{σ (X)}{0, 05}$ , donc $n ⩾ \frac{V (X)}{0, 05^{2}} = \frac{21, 1875}{0, 0025} = 8 475$ . Il faut donc appeler $m o y e n n e (8475)$ : $n = 8 475$ parties. Vérification : $\frac{4, 6030}{\sqrt{8475}} = \frac{4, 6030}{92, 06} = 0, 05$ € exactement.

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