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Sommes de variables aléatoires

Linéarité de l’espérance, variance d’une transformation affine, variance d’une somme de variables indépendantes, somme et moyenne d’un échantillon de taille n, espérance et variance de la loi binomiale par décomposition.

À propos de cette page

Quatre problèmes corrigés dans l’esprit du bac : la recette d’une boulangerie, des mesures que l’on moyenne pour gagner en précision, des lancers francs comptés par une loi binomiale, et deux machines dont le nombre total de pièces défectueuses ne suit pas une loi binomiale.

4 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je nomme les variables de l’énoncé et j’écris la variable étudiée comme une combinaison : aX + b, X + Y, somme ou moyenne d’un échantillon.
Je calcule sur une seule répétition : espérance, puis E(X²) et variance si la loi est donnée.
Je justifie avant d’additionner des variances : indépendance (et même loi pour un échantillon), citée à partir de l’énoncé.
Je conclus : espérance par linéarité, variance avec les coefficients au carré, écart type par racine carrée, arrondi à la fin.
J’interprète dans la situation : valeur moyenne, dispersion, taille d’échantillon nécessaire.

Problème 1 · Recette d’une boulangerie★★★Facile

Chaque jour, une boulangerie vend

X

croissants et

Y

pains au chocolat, avec

E (X) = 120

σ (X) = 15

E (Y) = 80

σ (Y) = 10

. On admet que

X

Y

sont indépendantes. Un croissant est vendu

1, 20

€ et un pain au chocolat

1, 50

€. La recette du jour est

R = 1, 2 X + 1, 5 Y

et le bénéfice du jour est

B = R - 150

(coût fixe de

150

€).

1. Justifier que $E (R) =$ €
Rédaction attendue. Par linéarité de l’espérance : $E (R) = 1, 2 E (X) + 1, 5 E (Y)$ $= 1, 2 \times 120 + 1, 5 \times 80 = 144 + 120 = 264$ €.
2. Démontrer que $V (R) =$
Rédaction attendue. $X$ et $Y$ sont indépendantes, donc $V (R) = 1, 2^{2} V (X) + 1, 5^{2} V (Y)$ $= 1, 44 \times 225 + 2, 25 \times 100$ $= 324 + 225 = 549$ .
3. $σ (B) =$ € (au centième)
$B = R - 150$ : la constante ne change pas la dispersion, donc $V (B) = V (R) = 549$ et $σ (B) = \sqrt{549} \approx 23, 43$ €.
4. Sur $6$ jours aux ventes indépendantes et de même loi, l’écart type du bénéfice total vaut € (au centième)
Les bénéfices des $6$ jours forment un échantillon de taille $6$ de la loi de $B$ . Le bénéfice total $S_{6}$ vérifie $V (S_{6}) = 6 \times 549 = 3 294$ , donc $σ (S_{6}) = \sqrt{3 294} \approx 57, 39$ €, soit $σ (B) \sqrt{6}$ , et non $6 σ (B)$ .

Problème 2 · Moyenner des mesures★★★Moyen

Un capteur mesure une distance

d

(en mm). Chaque mesure vaut

d + X

, où l’erreur

X

vérifie

E (X) = 0

σ (X) = 0, 6

mm. On fait

n

mesures indépendantes et on note

M_{n}

leur moyenne. Écris les résultats en écriture décimale.

1. Justifier que $E (M_{n}) = d$ et que $V (M_{n}) = \frac{0, 36}{n}$ . Pour $n = 4$ mesures : $V (M_{4}) =$ mm²
Rédaction attendue. Les mesures $d + X_{1}, \dots, d + X_{n}$ ont chacune pour espérance $d + E (X) = d$ (linéarité). Par linéarité, $E (M_{n}) = \frac{1}{n} (d + \dots + d) = \frac{n d}{n} = d$ . En moyenne, la méthode ne fait pas d’erreur systématique. Chaque mesure a pour variance $V (d + X) = V (X) = 0, 6^{2} = 0, 36$ ; les mesures sont indépendantes, donc $V (M_{n}) = \frac{n \times 0, 36}{n^{2}} = \frac{0, 36}{n}$ et $V (M_{4}) = 0, 09$ .
2. $σ (M_{9}) =$ mm
Chaque mesure $d + X_{i}$ a pour écart type $σ (X) = 0, 6$ (la constante $d$ ne disperse pas). Les mesures forment un échantillon, donc $σ (M_{9}) = \frac{0, 6}{\sqrt{9}} = 0, 2$ mm.
3. Plus petit nombre de mesures tel que $σ (M_{n}) ⩽ 0, 04$ mm : $n =$
$\frac{0, 6}{\sqrt{n}} ⩽ 0, 04 ⟺ \sqrt{n} ⩾ \frac{0, 6}{0, 04} = 15 ⟺ n ⩾ 225$ .
4. Un second capteur a une erreur d’écart type $0, 3$ mm, mais chaque mesure coûte $4$ fois plus cher. Démontrer que, pour la même précision, le plus petit nombre de mesures est $n =$ , puis comparer les coûts.
Rédaction attendue. On veut $\frac{0, 3}{\sqrt{n}} ⩽ 0, 04$ , soit $\sqrt{n} ⩾ 7, 5$ , soit $n ⩾ 56, 25$ : le plus petit entier est $n = 57$ . Coût en unités d’une mesure du premier capteur : $225$ pour le premier, $57 \times 4 = 228$ pour le second. Le premier capteur reste un peu moins cher : diviser l’écart type par $2$ divise le nombre de mesures nécessaires par $4$ ( $\frac{225}{4} = 56, 25$ ), ce que compense exactement un prix $4$ fois plus élevé ; c’est l’arrondi à l’entier $57$ qui rend le second capteur plus coûteux.

Problème 3 · Lancers francs à l’entraînement★★★Moyen

À chaque séance, une joueuse tire

10

lancers francs ; chacun est réussi avec la probabilité

0, 8

, indépendamment des autres. On note

N

le nombre de lancers réussis lors d’une séance. On étudie ensuite

25

séances indépendantes, de nombres de réussites

N_{1}, \dots, N_{25}

, et leur total

T = N_{1} + \dots + N_{25}

. Écris les résultats en écriture décimale.

1. En décomposant $N$ en somme de variables de Bernoulli, justifier que $E (N) =$
Rédaction attendue. Pour $i$ de $1$ à $10$ , on pose $X_{i} = 1$ si le $i$ -ième lancer est réussi, $0$ sinon : $X_{i}$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $0, 8$ et $N = X_{1} + \dots + X_{10}$ . Les lancers sont indépendants : $N$ suit $ℬ (10; 0, 8)$ . Par linéarité, $E (N) = 10 \times 0, 8 = 8$ .
2. $V (N) =$
Par indépendance : $V (N) = 10 \times 0, 8 \times 0, 2 = 1, 6$ .
3. Justifier que $T$ suit une loi binomiale, de paramètres $p = 0, 8$ et $n =$
Rédaction attendue. $T$ compte les réussites sur l’ensemble des $25 \times 10 = 250$ lancers. Ces lancers sont indépendants et réussis chacun avec la probabilité $0, 8$ : $T$ est la somme de $250$ variables de Bernoulli indépendantes de paramètre $0, 8$ , donc $T$ suit $ℬ (250; 0, 8)$ . (C’est aussi la somme de $25$ binomiales indépendantes de même paramètre $0, 8$ .)
4. $σ (T) =$ (au centième)
$V (T) = 250 \times 0, 8 \times 0, 2 = 40$ (ou $25 \times V (N) = 25 \times 1, 6 = 40$ ), donc $σ (T) = \sqrt{40} \approx 6, 32$ .

Problème 4 · Deux machines, une somme qui n’est pas binomiale★★★Difficile

Chaque jour, la machine A produit

400

pièces, chacune défectueuse avec la probabilité

0, 05

; la machine B produit

600

pièces, chacune défectueuse avec la probabilité

0, 02

. Toutes les pièces sont indépendantes. On note

N_{A}

N_{B}

les nombres de pièces défectueuses,

D = N_{A} + N_{B}

, et l’on estime que chaque pièce défectueuse coûte

3

€, soit un coût

C = 3 D

. Écris les résultats en écriture décimale.

1. $E (D) =$
$N_{A}$ suit $ℬ (400; 0, 05)$ et $N_{B}$ suit $ℬ (600; 0, 02)$ . Par linéarité : $E (D) = 400 \times 0, 05 + 600 \times 0, 02 = 20 + 12 = 32$ .
2. Démontrer que $V (D) =$
Rédaction attendue. $V (N_{A}) = 400 \times 0, 05 \times 0, 95 = 19$ et $V (N_{B}) = 600 \times 0, 02 \times 0, 98 = 11, 76$ . Les pièces des deux machines sont indépendantes, donc $N_{A}$ et $N_{B}$ le sont, et $V (D) = V (N_{A}) + V (N_{B}) = 19 + 11, 76 = 30, 76$ .
3. $σ (C) =$ € (au centième)
$C = 3 D$ , donc $σ (C) = 3 σ (D) = 3 \sqrt{30, 76} \approx 16, 64$ €.
4. Si $D$ suivait une loi binomiale $ℬ (m; q)$ , on aurait $m q = E (D)$ et $m q (1 - q) = V (D)$ . La valeur de $q$ serait alors (écriture décimale)
Rédaction attendue. En divisant : $1 - q = \frac{30, 76}{32} = 0, 96125$ , donc $q = 0, 03875$ et $m = \frac{32}{0, 03875} \approx 825, 8$ , qui n’est pas un entier. Aucune loi binomiale n’a l’espérance et la variance de $D$ : $D$ ne suit pas de loi binomiale. (La loi $ℬ (1 000; 0, 032)$ , de même espérance, aurait pour variance $30, 976$ .) Les deux machines n’ont pas le même paramètre : la somme n’est pas binomiale.

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